苏科版八年级数学上册专题7.3期末复习之选填压轴题十四大题型总结同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题7.3期末复习之选填压轴题十四大题型总结同步练习(学生版+解析)，共81页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14841" 【题型1 化简绝对值】 PAGEREF _Tc14841 \h 1
\l "_Tc21213" 【题型2 数轴上的距离和动点问题】 PAGEREF _Tc21213 \h 2
\l "_Tc30053" 【题型3 有理数运算的应用】 PAGEREF _Tc30053 \h 3
\l "_Tc11042" 【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】 PAGEREF _Tc11042 \h 4
\l "_Tc17187" 【题型5 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc17187 \h 6
\l "_Tc23525" 【题型6 一元一次方程解与参数的问题】 PAGEREF _Tc23525 \h 7
\l "_Tc2556" 【题型7 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc2556 \h 8
\l "_Tc1686" 【题型8 展开与折叠】 PAGEREF _Tc1686 \h 9
\l "_Tc27740" 【题型9 由三视图判断小立方体的个数】 PAGEREF _Tc27740 \h 11
\l "_Tc6074" 【题型10 与线段有关的计算】 PAGEREF _Tc6074 \h 12
\l "_Tc28990" 【题型11 与角度有关的计算】 PAGEREF _Tc28990 \h 13
\l "_Tc15560" 【题型12 数式或图形规律的探索】 PAGEREF _Tc15560 \h 13
\l "_Tc20760" 【题型13 数式或图形中新定义问题】 PAGEREF _Tc20760 \h 15
\l "_Tc29133" 【题型14 数式或图形中多结论问题】 PAGEREF _Tc29133 \h 15
【题型1 化简绝对值】
【例1】（2023上·天津和平·七年级耀华中学校考期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a+|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【变式1-1】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．2
【变式1-2】（2023上·浙江杭州·七年级校考期末）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y=（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【变式1-3】（2023上·广东东莞·七年级校考期末）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
【题型2 数轴上的距离和动点问题】
【例2】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为−3和8，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动，当点Q返回至点B时，整个运动过程停止．设运动时间为t秒．
(1)当t=3时，点P对应的有理数是___________，PQ的长度是___________．
(2)①当0②点P运动到原点O时，点Q所在的数字是___________；
(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”．当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数是___________．
【变式2-1】（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，数轴上有A，B，C三点，AB=2BC=8个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且a+5c=0．动点P，Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点PQ重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足2PB−QB=6，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ．

【变式2-2】（2023上·河北沧州·七年级校考期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当t=2时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当t=6时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当t=2时，点P，Q之间的距离为8；
④小俐：当t=4时，点P，Q之间的距离可能为6
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-3】（2023上·湖南永州·七年级统考期末）如下图，数轴上，点A表示的数为−7，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；
(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？
(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【题型3 有理数运算的应用】
【例3】（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖200斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；
(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
【变式3-1】（2023上·江苏苏州·七年级期末）小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司的股票2000股，在接下来的一周交易日内，他记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况(单位：元)：
1星期二收盘时，该股票每股多少元？
2本周内，该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
3已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的2.5‰的交易费，卖出股票还需支付成交金额的1‰的手续费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【变式3-2】（2023上·陕西渭南·七年级统考期末）出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程(km)如下：
2，+5，-4，+1，-6，-2
(1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置?
(2)若汽车耗油量为0.1L/km，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升?
(3)若出租车起步价为6元，起步里程为2km (包括2km)，超过部分(不足1km按1km计算)每千米1．5元，王师傅这天早上共得车费多少元?
【变式3-3】（2023上·湖南·七年级校考期末）已知A、B两地相距30米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米……，按此规律行进，如果数轴的单位长度为1米，A地在数轴上表示的数为−16．
(1)求出B地在数轴上表示的数；
(2)若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
(3)若B地在原点右侧，那么经过n次行进后，小乌龟到达的点与B地之间的距离为多少(用n表示)？
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】
【例4】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：a＝ ；b＝ ；
【归纳规律】
（2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是： ；
（3）观察表格，下列说法正确的有 （填序号）；
①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1
②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1
③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2
④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2
【应用迁移】
（4）已知代数式ax+b与cmx+n（a，b，cm，n为常数且a≠0，cm≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于cmx+n的值，试分别写出a与cm，b与n的关系．
【变式4-1】（2023下·四川眉山·七年级校考开学考试）若2ax2−b3x+2=−4x2−x+2对任何x都成立，则a+b的值为（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【变式4-2】（2023上·四川遂宁·七年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）一个多项式的次数为m，项数为n，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，例如：5x3y2−2x2y+3xy为五次三项式，2x2−2y2+3xy+2x为二次四项式．
（1）−3xy+2x2y2−4x3y3+3为________次________项式．
（2）若关于x、y的多项式A=ax2−3xy+2x，B=bxy−4x2+2y，已知2A−3B中不含二次项，求a+b的值．
（3）已知关于x的二次多项式，ax3−x2+3x+b2x2+x+x3−5在x=2时，值是−17，求当x=−2时，该多项式的值．
【变式4-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2ccm，点C对齐刻度6.0ccm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．

(1)在图1的数轴上，AC= 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC= ccm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ccm；刻度尺上的1ccm对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ=2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒t>0．在M，N运动过程中，若AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．
【题型5 整式加减的应用】
【例5】（2023上·广东广州·七年级执信中学校考期末）水果批发市场梨的价格如下表：
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买30千克梨，且第一次购买的数量为a千克0【变式5-1】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期末）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）

A．路口CB．路口DC．路口ED．路口F
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图长方形的面积S2的比是 ．
【变式5-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：3+4=7，十位数字与个位数字的和为：5+3=8，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数”m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义Fm=m−m'2，若Fm与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】
【例6】（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A．b=−y−1,c=y+1B．b=1−y,c=y−1
C．b=y+1,c=−y−1D．b=y−1,c=1−y
【变式6-1】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【变式6-2】（2023下·安徽芜湖·七年级竞赛）方程x3+x15+x35+⋯+x2005×2007=1的解是x＝（ ）
A．20062007B．20072006C．20072003D．20032007
【变式6-3】（2023上·江苏南通·七年级统考期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab= ．
【题型7 一元一次方程的应用】
【例7】（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．

【变式7-1】（2023上·湖北武汉·七年级湖北省水果湖第一中学校联考期末）下表是某校七~七年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3B．a=3，b=2C．a=3，b=4D．a=2，b=2
【变式7-2】（2023上·山东临沂·七年级校考期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为

【变式7-3】（2023上·重庆九龙坡·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）由于竞争激烈，某超市准备提前进行“双十一”促销活动，将A、B、C三种糖果采用两种不同方式搭配成礼盒销售，分别是“心意满满”礼盒、“幸福多多”礼盒，每盒的总成本为盒中A、B、C三种糖果成本之和（盒子由供货商提供，成本不计）．“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克；“幸福多多”礼盒每盒装有400克A糖果、800克B糖果、1200克C糖果；“心意满满”礼盒的售价是60元．利润率是25%；“心意满满”礼盒、“孝福多多”礼盒一共买出81盒，每克B糖果的成本价是每克C糟果成本价的3倍，当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元，那么实际总成本应为 元．
【题型8 展开与折叠】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期末）如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=______，y=______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点CM为所在棱的中点，在图2中找点CM的位置，直接写出图2中△ABCM的面积．
【变式8-1】（2023上·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（ ）
A．9和13B．2和9C．1和13D．2和8
【变式8-2】（2023下·七年级单元测试）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
​
A．​B．
C．​D．​
【变式8-3】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为cm，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比cm正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【题型9 由三视图判断小立方体的个数】
【例9】（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题：
(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图；
(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 种不同形状．
(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？
【变式9-1】（2023上·江苏连云港·七年级校考期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．
（2）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【变式9-2】（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b=__________，a=__________．
（2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
【变式9-3】（2023·七年级单元测试）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 ccm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?
【题型10 与线段有关的计算】
【例10】（2023上·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从−1到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．
【变式10-1】（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200cm，小车从A地出发，以8cm/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5cm/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=200cm，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-2】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，一条数轴上有点A,B,C，其中点A、B表示的数分别是−16、9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B=3，则C点表示的数是 ．
【变式10-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC= ．
【题型11 与角度有关的计算】
【例11】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE=∠DOE=15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC=x°，∠NOE=y°，则x与y之间的数量关系为 ．
【变式11-1】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）已知：∠AOB=40°，过点O作射线OC，OM平分∠COA，如果∠BOC∠AOC=mn，且关于x的方程(2m−n)x+3n=2(2x+m)有无数多个解，那么∠BOM= ．
【变式11-2】（2023上·重庆渝北·七年级统考期末）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 CM是线段 AB 的中点，则线段 CMC的长为（ ）
A．a+b2B．a−b2C．a+b2或a−b2D．a+b2或|a−b|2
【变式11-3】（2023·浙江金华·七年级期末）如图，点O是钟面的中心，射线OC正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与OC所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【题型12 数式或图形规律的探索】
【例12】（2023上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝（ ）
A．10+5214B．10+5215C．10−5215D．10−5214
【变式12-1】（2023上·浙江湖州·七年级校考期末）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ．
【变式12-2】（2023上·河北邯郸·七年级校考开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是1.5米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（ ）
A．15B．16C．17D．18
【变式12-3】（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（ ）

A．ADB．CDC．BCD．AB
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）定义：对于任意一个三位自然数m，若m满足十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数n，若n满足十位数字比百位数字小1，个位数字比十位数字小1，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”m的7倍记为Fm，“向下数”n的8倍记为Gn，若Fm+Gn18是整数，则称每对m，n为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，|m−n|的最大值是 ．
【变式13-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，b=2时，a,b的最大值为 ．
【变式13-2】（2023上·江苏常州·七年级统考期末）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（ ）

A．4159B．6419C．5179D．6174
【变式13-3】（2023上·江西抚州·七年级校联考期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为 ．
【题型14 数式或图形中多结论问题】
【例14】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式a+b−m−n−e中，除首尾项a、−e外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式a+b−m−n−e进行．例如：+b“闪减操作”为a−−m−n−e，−m与−n同时“闪减操作”为a+b−−e，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项+b，−m，−n满足：
(|+b|+|+b+2|)(|−m+1|+|−m+4|)(|−n+1|+|−n−6|)=42，则2b+m+n的最小值为−9．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式14-1】（2023上·安徽安庆·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE:EC=2:1，则下列结论：①EC= 13 AE；②DE=5BD；③BE= 12 (AE+BC)；④AE= 65 (BC−AD)，其中正确结论的有 （ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式14-2】（2023上·四川宜宾·七年级统考期末）规定：f(x)=x−2，g(y)=y+3，例如f(-4)=−4−2=6，g(-4)=−4+3=1.
下列结论中，正确的是 （填写正确选项的番号）.
①若f(x)+g(y)=0，则2x−3y=13； ②若x<−3，则f(x)+g(x)=−1−2x；
③能使f(x)=g(x)成立的x的值不存在； ④式子f(x−1)+g(x+1)的最小值是7.
【变式14-3】（2023上·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF，则BA平分∠DBF；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次；
④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
专题7.3 期末复习之选填压轴题十四大题型总结
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14841" 【题型1 化简绝对值】 PAGEREF _Tc14841 \h 1
\l "_Tc21213" 【题型2 数轴上的距离和动点问题】 PAGEREF _Tc21213 \h 5
\l "_Tc30053" 【题型3 有理数运算的应用】 PAGEREF _Tc30053 \h 11
\l "_Tc11042" 【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】 PAGEREF _Tc11042 \h 14
\l "_Tc17187" 【题型5 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc17187 \h 19
\l "_Tc23525" 【题型6 一元一次方程解与参数的问题】 PAGEREF _Tc23525 \h 25
\l "_Tc2556" 【题型7 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc2556 \h 28
\l "_Tc1686" 【题型8 展开与折叠】 PAGEREF _Tc1686 \h 32
\l "_Tc27740" 【题型9 由三视图判断小立方体的个数】 PAGEREF _Tc27740 \h 35
\l "_Tc6074" 【题型10 与线段有关的计算】 PAGEREF _Tc6074 \h 39
\l "_Tc28990" 【题型11 与角度有关的计算】 PAGEREF _Tc28990 \h 44
\l "_Tc15560" 【题型12 数式或图形规律的探索】 PAGEREF _Tc15560 \h 30
\l "_Tc20760" 【题型13 数式或图形中新定义问题】 PAGEREF _Tc20760 \h 54
\l "_Tc29133" 【题型14 数式或图形中多结论问题】 PAGEREF _Tc29133 \h 57
【题型1 化简绝对值】
【例1】（2023上·天津和平·七年级耀华中学校考期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a+|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到|b|b+|c|c=−2，则b<0，c<0，再进行化简计算，即可得到答案．
【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当x=5时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴a=8，
∵|a|a+|b|b+|c|c=−1，
∴|8|8+|b|b+|c|c=−1，
∴|b|b+|c|c=−2，
∴|b|b=−1，|c|c=−1，
∴b<0，c<0，
∴bc>0
∴|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc
=|8b|8b+|bc|bc+|8c|8c+|8bc|8bc
=|b|b+|bc|bc+|c|c+|bc|bc
=−2+|bc|bc+|bc|bc
=−2+1+1
=0；
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出a=8，b<0，c<0．
【变式1-1】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．2
【答案】D
【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【详解】解：∵|a−d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a−b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b−d|＝4，
∴|b−c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c−d|＝|8−10|＝2，
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．
【变式1-2】（2023上·浙江杭州·七年级校考期末）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y=（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出cm不同的值，看有多少个，最小的值是多少．
【详解】解：∵abc>0，a+b+c=0，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，
∴m=−cc+2−aa+3−bb，
分三种情况讨论，
当a<0，b<0，c>0时，m=1−2−3=−4，
当a<0，c<0，b>0时，m=−1−2+3=0，
当b<0，c<0，a>0时，m=−1+2−3=−2，
∴x=3，y=−4，则x+y=3−4=−1．
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
【变式1-3】（2023上·广东东莞·七年级校考期末）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
【答案】A
【分析】可得a+b=2c，从而可得a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c =a+b−b+a；然后根据选项判断a，b，a+b的符号，进行化简即可求解．
【详解】解：∵ C是AB的中点，
∴a+b=2c，
∴ a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c
=a+b−a−a+b+b−a+b−a+b−a+b
=a+b−b+a−0
=a+b−b+a；
A． 在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b+a=2a≠0，
故此项不符合题意；
B． 在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b−a=0，
故此项符合题意；
C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b−b−a
=−2a−2b≠0，
故此项不符合题意；
D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b+b−a
=−2a≠0，
故此项不符合题意；
【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．
【题型2 数轴上的距离和动点问题】
【例2】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为−3和8，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动，当点Q返回至点B时，整个运动过程停止．设运动时间为t秒．
(1)当t=3时，点P对应的有理数是___________，PQ的长度是___________．
(2)①当0②点P运动到原点O时，点Q所在的数字是___________；
(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”．当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数是___________．
【答案】(1)3，2；
(2)①7；②6.5或−1.5；
(3)−3
【分析】（1）根据移动的速度和时间求出移动的距离，再根据数轴表示数的方法及数轴上两点间的距离进行计算即可；
（2）①根据点Q运动到整数点2求出移动的时间，再求出点P所在的数字；
②分别求出4次到原点时所用的时间，再求出点Q移动的距离，进而得出答案；
（3）分析得出P，Q两点第一次在整点处重合时，移动的时间为11秒，即点P返回到点A，点Q移动到点A，进而可得答案．
【详解】（1）解：当t=3时，点P对应的有理数为−3+3×2=3，点Q对应的有理数为8−3×1=5，
则PQ的长度是为5−3=2，
故答案为：3，2；
（2）解：①当0则移动的时间为8−2÷1=6s，
∴点P移动的距离为6×2=12，
∵AB=8−−3=11，
∴点P所在的数字为8−6×2−11=7，
故答案为：7；
②当点P第1次运动到原点时，t=3÷2=1.5s，
此时点Q所表示的数为8−1.5×1=6.5，
当点P第2次运动到原点时，t=11+82=9.5s，
此时点Q所表示的数为8−9.5×1=−1.5，
当点P第3次运动到原点时，t=22+32=12.5s，
此时点Q所表示的数为−3+12.5−11=−1.5，
当点P第4次运动到原点时，t=33+82=20.5s，
此时点Q所表示的数为−3+20.5−11=6.5，
综上所述，点P运动到原点O时，点Q所在的数字是6.5或−1.5，
故答案为：6.5或−1.5；
（3）解：∵点P、Q每秒移动的距离之和为3个单位长度，且重合时移动的距离之和为11的整数倍，
∴当P，Q两点第一次在整点处重合时，移动的时间为11秒，即点P返回到点A，点Q移动到点A，
∴此整点对应的数是−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，理解数轴表示数的方法是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，数轴上有A，B，C三点，AB=2BC=8个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且a+5c=0．动点P，Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点PQ重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足2PB−QB=6，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ．

【答案】165或323
【分析】根据数轴上两点间的距离可得c−a=12，联立方程求得a=−10，b=−2，c=2，根据题意可求得当点P，Q运动的时间为12秒时，P，Q两点都停止运动；分类讨论：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求得BP和QB的值，代入求解即可得到当t=65或t=263时，点P，Q满足2PB−QB=6；分别求得CQ的值，即可求得此时点Q在数轴上对应的数．
【详解】解：∵AB=2BC=8，∴BC=4，即c−b=4，∴AC=AB+BC=8+4=12，即c−a=12，又∵a+5c=0，联立得c−a=12a+5c=0，解得a=−10c=2，∴b=−2，
∵动点P，Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设点P，Q的运动时间为t，则AP=2t，CQ=t，
当点PQ重合时，P，Q两点都停止运动，
即AP=AC+CQ，
∴2t=12+t，
解得：t=12，即当点P，Q运动的时间为12秒时，点PQ重合；
当点P在点B的左侧时，BP=BA−AP=8−2t，
QB=BC+CQ=4+t，
若满足2PB−QB=6，即28−2t−4+t=6，
解得：t=65；
当点P在点B的右侧时，BP=PA−AB=2t−8，
QB=BC+CQ=4+t，
若满足2PB−QB=6，即22t−8−4+t=6，
解得：t=263；
∵65<12，263<12，
故当t=65或t=263时，点P，Q满足2PB−QB=6；
当t=65时，CQ=t=65，则此时点Q在数轴上对应的数是65+2=165，
当t=263时，CQ=t=263，则此时点Q在数轴上对应的数是263+2=323，
故答案为：165或323．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题等，分别求得BP和QB的值是解题的关键．
【变式2-2】（2023上·河北沧州·七年级校考期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当t=2时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当t=6时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当t=2时，点P，Q之间的距离为8；
④小俐：当t=4时，点P，Q之间的距离可能为6
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可．
【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行，
当t=2时，
P点所在的位置为：-4+2=-2，Q点所在的位置为：2-2×2=-2，
∴点P和点Q重合，
∴①正确；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，
当t=6时，
P点所在的位置为：-4-6=-10，Q点所在的位置为：2-2×6=-10，
∴点P和点Q重合，
∴②正确；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，
当t=2时，
P点所在的位置为：-4+2=-2，Q点所在的位置为：2+2×2=6，
6--2=8，
∴点P，Q之间的距离为8，
∴③正确；
④小俐：当t=4时，
若点P，Q相对而行，
P点所在的位置为：-4+4=0，Q点所在的位置为：2-2×4=-6，
0--6=6，
∴此时点P，Q之间的距离为6，
∴④正确．
综上所述，正确的有①②③④，有4个．
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解．
【变式2-3】（2023上·湖南永州·七年级统考期末）如下图，数轴上，点A表示的数为−7，点B表示的数为−1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；
(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？
(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【答案】(1)2.5
(2)15
(3)15或13
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；
（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，
∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，
∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为
6÷2+10÷22+4÷2=3+10+2=15(秒)；
（3）设运动时间为t秒，
①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，
解得t=5，
此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3∴|t-4|=|17-4t|，
解得t=215或t=133，
∴P表示的数是15或13；
④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，
解得t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是15或13．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论．
【题型3 有理数运算的应用】
【例3】（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖200斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；
(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；
(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
【答案】(1)296 ;(2)31; (3)3575.
【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可；
（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【详解】解：（1）4-3-5+300=296（斤）．
答：根据记录的数据可知前三天共卖出296斤．
（2）23+8=31（斤）．
答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售31斤．
（3）∵+4-3-5+10-8+23-6=15＞0，
∴一周收入=（15+200×7）×（7-2）
=715×5
=3575（元）．
答：小明本周一共收入3575元．
故答案为296；31；3575元．
【点睛】此题考查利用正数和负数解决实际问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．
【变式3-1】（2023上·江苏苏州·七年级期末）小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司的股票2000股，在接下来的一周交易日内，他记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况(单位：元)：
1星期二收盘时，该股票每股多少元？
2本周内，该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
3已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的2.5‰的交易费，卖出股票还需支付成交金额的1‰的手续费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)26.3元 (2)28元；26.2元 (3) 收益1922元
【分析】（1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.7元，则星期二收盘价表示为25+2-0.7，然后计算；
（2）星期一的股价为25+2=27；星期二为27-0.7=26.3；星期三为26.3+1.7=28；星期四为28-1.8=26.2；星期五为26.2+0.8=27；则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；
（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱×（1-2.5‰-1‰）-买进时的价钱×（1+2.5‰）即为小王的收益．
【详解】（1）星期二收盘价为25+2-0.7=26.3（元/股）．
（2）收盘最高价为25+2-0.7+1.7=28（元/股），收盘最低价为25+2-0.7+1.7-1.8=26.2（元/股）．
（3）小王的收益为：27×2000（1-2.5‰-1‰）-25×2000（1+2.5‰）=1843（元）．
∴小王的本次收益为1843元．
【点睛】考核知识点：有理数运算的运用.
【变式3-2】（2023上·陕西渭南·七年级统考期末）出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程(km)如下：
2，+5，-4，+1，-6，-2
(1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置?
(2)若汽车耗油量为0.1L/km，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升?
(3)若出租车起步价为6元，起步里程为2km (包括2km)，超过部分(不足1km按1km计算)每千米1．5元，王师傅这天早上共得车费多少元?
【答案】（1）西4千米；（2）2升；（3）49.5元
【分析】（1）计算出六次行车里程的和，看其结果上午正负即可判断位置；
（2）求出所记录的六次行车里程的绝对值的和，再计算油耗即可；
（3）分别计算每位乘客的车费求和即可．
【详解】解：（1）2+(+5)+(−4)+(+1)+(−6)+(−2)=−4（千米）
答：将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点西侧4千米处；
（2）2++5+−4++1+−6+−2=20（千米），
0.1×20=2(L)
答：这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油2升；
（3）6×6+1.5×5+4+6−3×2=36+13.5=49.5（元）
答：王师傅这天早上共得车费49.5元．
【点睛】本题考查的知识点是正数和负数，理解正负数所代表的意义是解此题的关键．
【变式3-3】（2023上·湖南·七年级校考期末）已知A、B两地相距30米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米……，按此规律行进，如果数轴的单位长度为1米，A地在数轴上表示的数为−16．
(1)求出B地在数轴上表示的数；
(2)若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
(3)若B地在原点右侧，那么经过n次行进后，小乌龟到达的点与B地之间的距离为多少(用n表示)？
【答案】(1)34或−66
(2)点P、点Q到A地的距离相等，理由见解析
(3)即经过n次行进后，小乌龟到达的点与点B的之间的距离为99−n2或n−992或200+n2
【分析】本题考查了数轴、有理数加减法的应用，
（1）分B地在A地的左侧和B地在A地的右侧两种情况，再分别根据数轴的定义即可得；
（2）先求出点P、Q表示的数，再根据数轴的定义即可得；
（3）先分别求出n为奇数时，小乌龟到达的点表示的数和n为偶数时，小乌龟到达的点表示的数，再根据数轴的定义即可得．
正确进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】（1）解：由题意，分以下两种情况：
①当B地在A地的左侧时，
则B地在数轴上表示的数为−16−30=−66，
②当B地在A地的右侧时，
则B地在数轴上表示的数为−16+30=34，
答：B地在数轴上表示的数是34或−66；
（2）由题意，点P表示的数为−16+1−2+3−4+5−6+7=−12，
点Q表示的数为−16+1−2+3−4+5−6+7−8=−20，
则点P到A地的距离为−12−−16=4（米），
点Q到A地的距离为−16−−20=4（米），
故点P、点Q到A地的距离相等；
（3）由（1）知，当B地在原点右侧，B地在数轴上表示的数为34，
由题意，分以下两种情况：
①当n为奇数时，
小乌龟到达的点表示的数为−16+1−2+3−4+…+(n−2)−(n−1)+n=n−312，此时该点表示的数可能在点B的左侧，也可能在点B的右侧，
则小乌龟到达的点与B地之间的距离为34−n−312=99−n2或n−312−34=n−992；
②当n为偶数时，
小乌龟到达的点表示的数为−16+1−2+3−4+…+(n−1)−n=−32−n2，此时该点表示的数必定为负数，在点B的左侧，
则小乌龟到达的点与B地之间的距离为34−−32−n2=200+n2．
综上，即经过n次行进后，小乌龟到达的点与点B的之间的距离为99−n2或n−992或200+n2．
【题型4 整式加减中无关型或恒成立问题】
【例4】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：a＝ ；b＝ ；
【归纳规律】
（2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是： ；
（3）观察表格，下列说法正确的有 （填序号）；
①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1
②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1
③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2
④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2
【应用迁移】
（4）已知代数式ax+b与cmx+n（a，b，cm，n为常数且a≠0，cm≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于cmx+n的值，试分别写出a与cm，b与n的关系．
【答案】（1）﹣4，﹣2；（2）x的值每增加1，2x+1的值就增加2；（3）②③；（4）a＝cm，b＞n
【分析】（1）将x值代入对应的代数式求值即可；
（2）根据2x+1的变化规律进行描述即可；
（3）结合表格进行分析即可得出结果；
（4）无论x取何值，ax+b的值始终大于cmx+n的值，即(ax+b)−(mx+n)>0，合并同类项后可得：(a−m)x+(b−n)>0，结合代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化的规律即可求解．
【详解】解：（1）当x＝2时，﹣x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4，
故a＝﹣4；
当x＝0时，2x﹣2＝2×0﹣2＝﹣2，
故b＝﹣2，
故答案为：﹣4，﹣2；
（2）2x+1的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
故答案为：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
（3）①当x＜﹣1时，﹣x﹣2＞-1，2x+1＜-1,所以﹣x﹣2＞2x+1，故①说法错误；
②当x＞﹣1时，﹣x﹣2＜-1，2x+1＞-1,所以﹣x﹣2＜2x+1，故②说法正确；
③当x＞1时，﹣x﹣2＜-3，2x-2＞0,所以﹣x﹣2＜2x-2，故③说法正确；
④当x＜1时，结合②③可知两个代数式值大小不能确定，故④说法错误；
故答案为：②③；
（4）(ax+b)−(mx+n)=(a−m)x+(b−n)，
∵无论x取何值，ax+b的值始终大于cmx+n的值，即(a−m)x+(b−n)>0
∴a−m=0，b−n＞0
∴a=m，b＞n．
【点睛】本题主要考查了代数式求值和代数式值的变化规律，解题关键是得出代数式值的变化规律．
【变式4-1】（2023下·四川眉山·七年级校考开学考试）若2ax2−b3x+2=−4x2−x+2对任何x都成立，则a+b的值为（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】D
【分析】先把已知条件式变形为2a+4x2−b3−1x=0，再根据题意可得2a+4=0，b3−1=0，由此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵2ax2−b3x+2=−4x2−x+2，
∴2ax2−b3x+2+4x2+x−2=0，
∴2a+4x2−b3−1x=0，
∵2ax2−b3x+2=−4x2−x+2对任何x都成立，
∴2a+4=0，b3−1=0，
∴a=−2，b=3，
∴a+b=−2+3=1，
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，正确推出2a+4=0，b3−1=0是解题的关键．
【变式4-2】（2023上·四川遂宁·七年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）一个多项式的次数为m，项数为n，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，例如：5x3y2−2x2y+3xy为五次三项式，2x2−2y2+3xy+2x为二次四项式．
（1）−3xy+2x2y2−4x3y3+3为________次________项式．
（2）若关于x、y的多项式A=ax2−3xy+2x，B=bxy−4x2+2y，已知2A−3B中不含二次项，求a+b的值．
（3）已知关于x的二次多项式，ax3−x2+3x+b2x2+x+x3−5在x=2时，值是−17，求当x=−2时，该多项式的值．
【答案】（1）六，四；（2）−8；（3）−1．
【分析】（1）根据一个多项式的次数为m，项数为n，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，即可解答；
（2）计算出2A−3B，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出a，b的值，即可解答；
（3）先将关于x的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出a、b的值，进而求出当x=−2时，该多项式的值．
【详解】解：（1）−3xy+2x2y2−4x3y3+3为六次四项式；
故答案为：六，四；
（2）2A−3B=2(ax2−3xy+2x)−3(bxy−4x2+2y)=(2a+12)x2−(6+3b)xy+4x−6y，
∵2A−3B中不含二次项，
∴2a+12=0，6+3b=0，
∴a=−6，b=−2，
∴a+b=(−6)+(−2)=−8；
（3）a(x3−x2+3x)+b(2x2+x)+x3−5=(a+1)x3+(2b−a)x2+(3a+b)x−5．
∵ (a+1)x3+(2b−a)x2+(3a+b)x−5是关于x的二次多项式
∴a+1=0，即a=−1．
∴(a+1)x3+(2b−a)x2+(3a+b)x−5=(2b+1)x2+(b−3)x−5
又当x=2时，原代数式的值是−17
∴4(2b+1)+2(b−3)−5=−17
解得：b=−1．
∴关于x的二次多项式a(x3−x2+3x)+b(2x2+x)+x3−5
=(2b+1)x2+(b−3)x−5
=[2×(−1)+1]x2+(−1−3)x−5
=−x2−4x−5
∴当x=−2时，原式=−(−2)2−4×(−2)−5=−1．
【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．
【变式4-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2ccm，点C对齐刻度6.0ccm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．

(1)在图1的数轴上，AC= 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC= ccm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ccm；刻度尺上的1ccm对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ=2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒t>0．在M，N运动过程中，若AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．
【答案】(1)10； 6； 0.6； 53
(2)b的值是0，点Q所表示的数为2或10
(3)k=−52或52．
【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；
（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ=2AB，可以列式求得点Q所表示的数；
（3）根据AM−k⋅MN列出式子，AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k的值．
【详解】（1）AC=|8−−2|=10，
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0ccm，
∴在图2中刻度尺上，AC=6ccm，
6÷10=0.6ccm，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6ccm，
1÷0.6=53，
刻度尺上的1ccm对应数轴上的53个单位长度，
故答案为：10，6，0.6，53；
（2）∵点B对齐刻度1.2ccm，
∴数轴上点B所对应的数为b，b=−2+1.2÷0.6=0，
∵CQ=2AB，AB=|−2−0|=2，
设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ=|8−x|，
∴|8−x|=4，
解得：x=4或x=12，
点Q所表示的数为4或12，
∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；
（3）由题意得，点M追上点N前，即t<4，
AM=AB+BM=2+5t，k⋅MN=kBC+CN−BM=k8+3t−5t=k8−2t，
AM−k⋅MN=2+5t−k8−2t=2−8k+5+2kt，
∵AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，
∴5+2k=0，
解得：k=−52，
点M追上点N后，即t>4，
AM=AB+BM=2+5t，，k⋅MN=kBM−CN−BC=k5t−3t−8=k2t−8，
AM−k⋅MN=2+5t−k2t−8=2+8k+5−2kt，
∵AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，
∴5−2k=0，
解得：k=52，
∴k=−52或52．
【题型5 整式加减的应用】
【例5】（2023上·广东广州·七年级执信中学校考期末）水果批发市场梨的价格如下表：
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买30千克梨，且第一次购买的数量为a千克0【答案】(1)30，(5x+10)
(2)9，19，25
(3)当0【分析】本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；总费用=单价×数量；
（1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元/千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费；
（2）由小强买梨花了54元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收费；
（3）由两次共购买30千克，且第一次购买的数量为a千克0当a≤10时，分别算第一次和第二次的总费用；
当10分类讨论思想的运用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵5千克在“不超过10千克的部分”按6元/千克收费，
∴5×6=30元；
∵第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），
∴10×6+5(x−10)=(5x+10)元
故答案为：30，(5x+10)；
（2）由小强买梨花了54元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克，
故小强购买梨54÷6=9千克；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，
故小强购买梨10+105−60÷5=19千克；
由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，
故小强购买梨20+130−110÷4=25千克；
故答案为：9，19，25；
（3）∵两次共购买30千克，且第一次购买的数量为a千克0∴第二次购买30−a千克，
当06a+10×6+10×5+4×(30−a−20)=2a+230元，
当106×10+5(a−10)+10×6+10×5+430−a−20=a+240元，
故当0当10【变式5-1】（2023上·北京西城·七年级北京四中校考期末）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）

A．路口CB．路口DC．路口ED．路口F
【答案】A
【分析】本题主要考查了实际问题中的大小比较，列代数式，整式的加减，根据给定图形，用d表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，BC=d1，CD=d2，DE=d3，EF=d4，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答．
【详解】解∶观察图形知，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A5到E、A6到E、A7到F的小公路距离总和为d，BC= d1，CD= d2，DE= d3，EF= d4，
路口C为中转站时，距离总和SC=d+d1+d2+d2+d3+d2+d3+d2+d4+d3+d2=d+d1+5d2+3d3+d4．
路口D为中转站时，距离总和SD=d+d1+d2+d2+d3+d3+d4+d3=d+d1+2d2+3d3+d4．
路口E为中转站时，距离总和SE=d+d1+d2+d3+d2+d3+d3+d3+d4=d+d1+2d2+4d3+d4 ．
路口F为中转站时，距离总和SF=d+d1+d2+d3+d4+d2+d3+d4+2d3+d4+2d4=d+d1+2d2+4d3+5d4，
∴SC>SD，SF>SE>SD，
∴这个中转站最好设在路口D．
故选∶ B．
【变式5-2】（2023下·浙江杭州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图长方形的面积S2的比是 ．
【答案】23
【分析】本题需先设图（1）中长方形的长为accm，宽为bccm，图（2）中长方形的宽为xccm，长为yccm，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：a＝2y，x＝3b，最后根据长方形面积公式可得结论．
【详解】解：设图（1）中长方形的长为accm，宽为bccm，图（2）中长方形的宽为xccm，长为yccm，
由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x，

∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC，
∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y，

∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝23，
故答案是：23．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意结合图形得出3b＋2y＝a＋x ，2a＋2DC＝2DC＋4y是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：3+4=7，十位数字与个位数字的和为：5+3=8，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数”m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义Fm=m−m'2，若Fm与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017
【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可；
（2）设七上八下数cm=2000a+200b+10c+d，根据Fm=m−m'2、Fm与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，可得b−c+3d=n245，从而得b=n245+8−4d，再对d的值进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下：
∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8，
∴2571是七上八下数，
∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8，
∴4425不是七上八下数；
（2）设七上八下数cm=2000a+200b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8，
其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为m'=2000a+200c+10b+d，
∴Fm=m−m'2=2000a+200b+10c+d−2000a+200c+10b+d2=45b−c，
∵Fm与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设Fm+135d=n2，
∴b−c+3d=n245，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，
∴n245是正整数，
∵c+d=8，即c=8-d，
∴b−8−d+3d=n245，即：b=n245+8−4d，
当d=0时，b=n245+8＞8，不合题意，舍去；
当d=1时，b=n245+4，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合的n值；
当d=2时，b=n245，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴n245=5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6，
∴cm=2562，
同理：当d=3时，b=n245−4，
∵0≤b≤6，
∴n245=4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴n245=5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5，
∴cm=6153；
同理：当d=4时，没有满足条件的n；
当d=5时，没有满足条件的n；
当d=6时，cm=3426；
当d=7时，cm=7017；
当d=8时，没有满足条件的n．
综上所述：满足条件的所有“七上八下数”m为2562、6153、3426、7017．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键．
【题型6 一元一次方程解与参数的问题】
【例6】（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A．b=−y−1,c=y+1B．b=1−y,c=y−1
C．b=y+1,c=−y−1D．b=y−1,c=1−y
【答案】A
【分析】根据x=2022，y=−2021得到x=1−y，得到1−y2023+2023y−1=−a的解为y=−2021，类比b2023+2023c=−a得到答案．
【详解】∵x=2022，y=−2021得到x=1−y，
∴1−y2023+2023y−1=−a的解为y=−2021，
∵方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021，
∴b=1−y,c=y−1，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【答案】D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x−2−ax6=x3−2
去分母，得6x−2−ax=2x−12
去括号，得6x−2+ax=2x−12
移项、合并同类项，得4+ax=−10
将系数化为1，得x=−104+a
∵ x=−104+a是非负整数解
∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数
则−5+−6+−9+−14=−34
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式6-2】（2023下·安徽芜湖·七年级竞赛）方程x3+x15+x35+⋯+x2005×2007=1的解是x＝（ ）
A．20062007B．20072006C．20072003D．20032007
【答案】D
【详解】∵x3+x15+x35…+x2005×2007＝1 ，
∴提取公因式，得
x(13+115+135…+12005×2007)＝1，
将方程变形，得
x[12(1−13)+12(13−15)+...+12(12005−12007)]=1 ，
提取公因式，得
x2(1−13+13−15…+12005−12007)＝1，
移项，合并同类项，得
x2(1−12007)＝1，
系数化为1，得
x=20072003.
故选C.
【变式6-3】（2023上·江苏南通·七年级统考期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab= ．
【答案】−4
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，b=−43，
∴ab=3×(−43)=−4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【题型7 一元一次方程的应用】
【例7】（2023上·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．

【答案】224
【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，设第2个正方形的边长为x，根据图形分别表示出10个正方形的边长，根据长方形的对边相等求得x=6，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设第2个正方形的边长为x，
则第3个正方形的边长为5+x，
第4个正方形的边长为x+5+x=5+2x，
第5个正方形的边长为5+2x+x=5+3x，
第6个正方形的边长为5+3x+x−5=4x，
第7个正方形的边长为4x−5，
第10个正方形的边长为4x−5−5−5+x=3x−15，
第8个正方形的边长为4x−5+3x−15=7x−20
第9个正方形的边长为3x−15+7x−20=10x−35
根据长方形的对边相等，可得5+3x+4x=7x−20+10x−35
解得：x=6
∴长方形的周长为25+3x+4x+4x+4x−5+7x−20=222x−20=222×6−20=224,
故答案为：224．
【变式7-1】（2023上·湖北武汉·七年级湖北省水果湖第一中学校联考期末）下表是某校七~七年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3B．a=3，b=2C．a=3，b=4D．a=2，b=2
【答案】D
【分析】对比图表中七、七年级小组活动次数可知，七年级比七年级多活动1次文艺小组，总时间多2小时，由此可以指导文艺小组活动每次2小时，再通过七年级的活动次数可以求出科技小组活动每次1.5小时，然后列代数式，求代数式的整数解．
【详解】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设七年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为7−2x1.5次，因为活动次数为整数，所以当x=2时，7−2x1.5=2．
故选D
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．
【变式7-2】（2023上·山东临沂·七年级校考期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为

【答案】−3
【分析】根据将数字−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知−a+3与−a−3相差6，只有−3，3或0，6满足，依此即可求解．
【详解】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为x−1，如图所示：

观察图形还有−4，−3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知−a+3与−a−3相差6，只有−3，3或0，6满足，
则−a−3=−3或−a−3=0，
解得a=0或a=−3，
当a=0时，x−(x+a−4)=4，x或x+a−4又有1个为0（不合题意舍去），
当a=−3时，符合题意．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出−4，−3，0，3，4，6五个数字，难度较大．
【变式7-3】（2023上·重庆九龙坡·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）由于竞争激烈，某超市准备提前进行“双十一”促销活动，将A、B、C三种糖果采用两种不同方式搭配成礼盒销售，分别是“心意满满”礼盒、“幸福多多”礼盒，每盒的总成本为盒中A、B、C三种糖果成本之和（盒子由供货商提供，成本不计）．“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克；“幸福多多”礼盒每盒装有400克A糖果、800克B糖果、1200克C糖果；“心意满满”礼盒的售价是60元．利润率是25%；“心意满满”礼盒、“孝福多多”礼盒一共买出81盒，每克B糖果的成本价是每克C糟果成本价的3倍，当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元，那么实际总成本应为 元．
【答案】4288
【分析】根据题意可得“心意满满”礼盒的成本价格，进而可求出A糖果、B糖果各800克的成本价格为48元；设每克C糟果成本价为x，则，每克B糟果成本价为3x，每克A糖果的成本价为48−800×3x800可得实际成本和弄错了的成本分别2400x+24 元和48元；设买出“心意满满”礼盒cm盒，“孝福多多”礼盒n盒，则：m+n=81 ，然后根据“当天盘点结算时，把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了，这导故卖出的实际总成本比盘点结束的总成本少200元”列出方程整理得2400xn−24n=200，然后再列出实际成本的代数式，将m+n=81和2400xn−24n=200整体代入即可解答．
【详解】设“心意满满”礼盒成本价格a元，由题意可得：60−a=25%a，解得a=48，
∵“心意满满”礼盒每盒只装有A糖果、B糖果各800克，
∴A糖果和B糖果各800克的成本价格是48元，
设每克C糟果成本价为x，则每克B糟果成本价为3x，每克A糖果的成本价为48−800×3x800
∴“幸福多多”礼盒的实际成本为48−800×3x800×400+800×3x+1200x= 2400x+24 元；把A糖果与B糖果每克的成本价弄反了“幸福多多”礼盒的实际成本为400×3x+48−800×3x800×800+1200x=48（元）
设买出“心意满满”礼盒cm盒，“孝福多多”礼盒n盒，则：m+n=81，
根据题意可得：48m+n2400x+24+200=48m+48n
整理得:2400xn−24n=200
∴实际总成本为：
48m+n2400x+24+200
=2400xn−24n+48m+n+200
=200+48×81+200
=4288（元）．
故答案为：4288．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识点，正确理解题意是解答本题的关键．
【题型8 展开与折叠】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期末）如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=______，y=______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点CM为所在棱的中点，在图2中找点CM的位置，直接写出图2中△ABCM的面积．
【答案】（1）12；8（2）2；（3）16或80
【分析】（1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和相等，列式计算即可；
（2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案；
（3）由点CM所在的棱为两个面共用，可以判断得到点CM的位置，根据三角形面积公式，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵正方体相对面上的两个数字之和相等
∴2+x=4+10，6+y=4+10
∴x=12，y=8
故答案为：12；8
（2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“2”
（3）因为点CM所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下图：
设点CM左边的顶点为点D，则S△ABM=12AB·DM=12×8×4=16
第二种情况如下图：
S△ABM=12AB·AM=12×8×20=80
综上所述，△ABM的面积为：16或80
【点睛】本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的关键．
【变式8-1】（2023上·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（ ）
A．9和13B．2和9C．1和13D．2和8
【答案】D
【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
【点睛】本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力．
【变式8-2】（2023下·七年级单元测试）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
​
A．​B．
C．​D．​
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】选项A、C、D折叠后都符合题意；
只有选项B折叠后两个画一条线段与另一个画一条线段的三角形不交于一个顶点，与正方体三个画一条线段的三角形交于一个顶点不符．
故选B.
【点睛】此题考查的知识点是几何体的展开图，关键是解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
【变式8-3】（2023上·河南郑州·七年级校考期末）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为cm，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比cm正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解析
【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；
（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；
（3）根据展开图判断即可．
【详解】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b
故答案为：a＝b；
（2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比cm正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的；
（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示．
【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量．
【题型9 由三视图判断小立方体的个数】
【例9】（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题：
(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图；
(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 种不同形状．
(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？
【答案】(1)10，图见解析
(2)7，6
(3)9
【分析】（ 1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论；
（2 ）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可；
（3 ）根据题意判断即可．
【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：2+2+2+2+2＝10（个），左视图如图所示．
故答案为：10；
（2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要3个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状．
故答案为：7，6；
（3）∵从俯视图可知下层有5块小正方体，
∴上层有3个小正方体，
当右侧放2个小正方体时，有3种形状，
当右侧放1块小正方体时，有2×3=6种形状，
∴用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有9种不同形状．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2023上·江苏连云港·七年级校考期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．
（2）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【答案】（1）答案见解析；（2）9，14．
【分析】（1）根据三视图的性质，作出该几何体的三视图即可．
（2）通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有6+2+1=9个小立方块；
最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有6+5+3=14个小立方块．
故答案为：9；14．
【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b=__________，a=__________．
（2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
【答案】（1）1；3（2）9（3）7
【详解】试题分析：（1）由主视图可知，第2列小正方体个数都为1，所以b=1,，第三列小正方体个数为3，所以a=3；（2）正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4个，第2列正方体个数为：1+1=2个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；（3）第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列正方体个数确定为：3个，第1列正方体情况可能为：①d=1，e=1，f=2；②d=1，e=2，f=1；③d=2，e=1，f=1；④d=2，e=2，f=1；⑤d=2，e=1，f=2；⑥d=1，e=2，f=2；⑦d=2，e=2，f=2，共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多，左视图如图所示.
试题解析：
（1）b=1，a=3；
（2）1+1+2+1+1+3=9个；
（3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.
此时，左视图为：
点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数.
【变式9-3】（2023·七年级单元测试）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 ccm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?
【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米.
【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；
（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，
故答案为：2
II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，
故答案为：2
III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可.
【详解】(1)画图
(2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；
Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；
2个小正方体;
Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为19×102=1900平方厘米；
若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为21×102=2200平方厘米；
综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.
【题型10 与线段有关的计算】
【例10】（2023上·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从−1到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．
【答案】54或2或114
【分析】设三条线段的长分别是x，x，2x，由题意可得4x=6，求出x=32，再分三种情况讨论：①当AB：BC：CD=1：1：2时；②当AB：BC：CD=1：2：1时；③当AB：BC：CD=2：1：1时；分别求解即可．
【详解】∵三条线段的长度之比为1：1：2，
∴设三条线段的长分别是x，x，2x，
∵−1到5的距离是6，
∴4x=6，
解得x=32，
∴三条线段的长分别为32，32，3，
如图所示：
①当AB：BC：CD=1：1：2时，折痕点表示的数是−1+32+32×12=54；
②当AB：BC：CD=1：2：1时，折痕点表示的数是−1+32+32=2；
③当AB：BC：CD=2：1：1时，折痕点表示的数是−1+3+32×12=114；
综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是54或2或114．
故答案为：54或2或114
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．
【变式10-1】（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200cm，小车从A地出发，以8cm/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5cm/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=200cm，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由题意可求出AC=900cm，BC=300cm，CD=800cm，BD=400cm．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知AB=1200cm．
∵AC=3BC，
∴AC=34AB=900cm，BC=14AB=300cm，
∴AD=AC−CD=800cm，BD=BC+CD=400cm．
当大货车第一次到达D地时，用时4005=80s，
∴此时小车行驶路程为8×80=640cm．
∵640+400=1040cm<1200cm，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵CD=200cm，
∴大货车到达C地用时2005=20s．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则(900−640)−200+5t=8t，
解得：t=1603s>20s，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵BC=300cm，
∴大货车到达B地用时3005=60s．
此时大货车共行驶80+20+60=160s．
∵小车到达C地用时9008=112.5s<160s，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠160−112.5=47.5s．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即180s，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠180−47.5=132.5s．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时4005=80s，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间132.5−80=52.5s，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了52.5×5=262.5cm．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为t1，
则262.5+5t1=8t1，
解得：t1=87.5s>80s，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．
【变式10-2】（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，一条数轴上有点A,B,C，其中点A、B表示的数分别是−16、9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B=3，则C点表示的数是 ．
【答案】−5或−2
【分析】根据题意，点A'分两种情况：①在B右侧；②在B左侧，作图求解即可得到答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示：
∵点A、B表示的数分别是−16、9，
∴AB=9−−16=25，
∵以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B=3，
∴ AA'=A'B+AB=28，
∴BC=A'C−A'B=12AA'−A'B=11，
∴ C点表示的数是−2；
②如图所示：
∵点A、B表示的数分别是−16、9，
∴AB=9−−16=25，
∵以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B=3，
∴ AB=A'B+AA'=28，
∴BC=12AB=14，
∴ C点表示的数是−5；
综上所述，C点表示的数是−2或−5．
【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上线段和差倍分关系是解决问题的关键．
【变式10-3】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC= ．
【答案】132或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论①AC=13AB；②AC=23AB．设AB=x，，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出AC的长.
【详解】①当AC=13AB时，如图1
设AB=x，，则AC=13x, CB=23x, AD=DB=12x，CE=EB=12×23x=13x, CB=23x，CD=AD−AC=12x−13x=16x，DE=DB−EB=12x−13x=16x
∵直线l上所有线段的长度之和为91
∴AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+EB=91
∴(AC+CB)+(AD+DB)+(AE+EB)+AB+CD+CE+DE=91
∴4AB+CD+CE+DE=91
∴4x+16x+13x+16x=91
143x=91
x=392
∴AB=392
∴AC=13AB=13×392=132
②当AC=23AB时，如图2,
AC=23AB=23×392=13
故答案为：132或13
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.
【题型11 与角度有关的计算】
【例11】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE=∠DOE=15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC=x°，∠NOE=y°，则x与y之间的数量关系为 ．
【答案】x+2y=255或x−2y=105
【分析】分∠AOM≤90°和∠AOM>90°，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由题意，得：OM的运动时间为：180°÷60°=3秒，ON的运动时间为：90°÷30°=3秒；
∴OM,ON运动的时间相同；
设运动时间为t秒，
则：∠AOM=60t°,∠BON=30t°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
当∠AOM≤90°时：∠COM=∠AOM+∠AOC=∠AOM+∠AOE−∠COE，
∴x=60t+90−15=60t+75，
∠NOE=∠BOE−∠BON，
∴y=90−30t，
∴30t=90−y，
∴x=290−y+75，即：x+2y=255；
当∠AOM>90°，ON在OD上方时：如图1，∠COM=∠BOM+∠BOE+∠EOC=180°−∠AOM+∠AOE+∠COE，
∴x=180−60t+90+15=285−60t，
∠NOE=∠BOE−∠BON，
∴y=90−30t，
∴30t=90−y，
∴x=285−290−y，即：x−2y=105；
当∠AOM>90°，ON在OD下方时：如图2，∠COM=∠BOM+∠BOE+∠EOC=180°−∠AOM+∠AOE+∠COE，
∴x=180−60t+90+15=285−60t，
∠NOE=∠BOE−∠BON，
∴y=90−30t，
∴30t=90−y，
∴x=285−290−y，即：x−2y=105；
综上：x与y之间的数量关系为x+2y=255或x−2y=105；
故答案为：x+2y=255或x−2y=105．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
【变式11-1】（2023上·福建厦门·七年级厦门市松柏中学校考期末）已知：∠AOB=40°，过点O作射线OC，OM平分∠COA，如果∠BOC∠AOC=mn，且关于x的方程(2m−n)x+3n=2(2x+m)有无数多个解，那么∠BOM= ．
【答案】80°或32°
【分析】先通过方程(2m−n)x+3n=2(2x+m)有无数多个解解出m,n的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可．
【详解】∵关于x的方程(2m−n)x+3n=2(2x+m)有无数多个解
∴ (2m−n−4)x+3n−2m=0，则2m−n−4=03n−2m=0，解得m=3n=2
∴ ∠BOC∠AOC=mn=32
1.当C在∠AOB内部时，如图
∵ OM平分∠COA，∠BOC∠AOC=32
∴设∠COM=x，则∠AOM=x，∠AOC=2x，∠BOC=3x
∵ ∠AOB=40°
∴ 2x+3x=40°，解得 x=8°
∴ ∠BOM=4x=32°
2.当C在∠AOB外部时，如图
∵ OM平分∠COA，∠BOC∠AOC=32
∴设∠COM=x，则∠AOM=x，∠AOC=2x，∠BOC=3x
∵ ∠AOB=40°
∴ 3x−2x=40°，解得 x=40°
∴ ∠BOM=2x=80°
综上所述：∠BOM=80°或32°．
故答案为：80°或32°．
【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线OC需要分类讨论不同的位置．
【变式11-2】（2023上·重庆渝北·七年级统考期末）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 CM是线段 AB 的中点，则线段 CMC的长为（ ）
A．a+b2B．a−b2C．a+b2或a−b2D．a+b2或|a−b|2
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点CM是AB的中点，∴ACM=12AB=12(a+b)，
∴CMC=AC﹣ACM=a−12(a+b)=a−b2．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点CM是AB的中点，∴ACM=12AB=12(a−b)，
∴CMC=AC﹣ACM=a−12(a−b)=a+b2．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点CM是AB的中点，∴ACM=12AB=12(a+b)，
∴CMC=ACM﹣AC=12(a+b)−a=b−a2．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点CM是AB的中点，∴ACM=12AB=12(b−a)，
∴CMC=AC+ACM=a+12(b−a)=a+b2．
综上所述：CMC的长为a+b2或a−b2（a＞b）或b−a2（a＜b），即CMC的长为a+b2或a−b2．
故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
【变式11-3】（2023·浙江金华·七年级期末）如图，点O是钟面的中心，射线OC正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过 分钟，时针，分针，与OC所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或24013
【分析】分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线进行计算即可．
【详解】设时针为OB，分针为OA．
当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+x60×30°，∠BOC=30゜－x60×30°，依题意得：
60-6x+x60×30＝30－x60×30
解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－x60×30°，依题意得：
6x-90＝30－x60×30
解得x=24013；
综合上述可得：经过6分钟或24013分钟时，时针，分针，与OC所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或24013．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和角平分线的性质，解题关键是分两种情况讨论：当时针为角平分线和OC为角平分线和利用方程求得其角度．
【题型12 数式或图形规律的探索】
【例12】（2023上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝（ ）
A．10+5214B．10+5215C．10−5215D．10−5214
【答案】D
【分析】根据线段中点定义先求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，从而找到MnNn的规律，即可求出结果．
【详解】解：∵线段MN=10，线段AM和AN的中点分别为M1，N1，
∴M1N1=AM1−AN1
=12AM−12AN
=12AM−AN
=12MN
=12×10
=5，
∵线段AM1和AN1的中点M2，N2，
∴M2N2=AM2﹣AN2
=12AM1−12AN1
=12（AM1﹣AN1）
=12M1N1
=12×12×10
=122×10
=2.5，
发现规律：
MnNn=12n×10，
∴M1N1+M2N2+…+M15N15
=12×10+122×10+123×10+⋯+1215×10
=1012+122+123+⋯+1215
=10215−1215
=101−1215
=10−10215
=10−5214，
【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．
【变式12-1】（2023上·浙江湖州·七年级校考期末）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ．
【答案】3044
【分析】翻转两次后点B落在数轴上，根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数得出翻转几个周期循环，确定点B落在数轴上推算出移动的距离得出结果.
【详解】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10，
∴一个周期后右边的点移动10个单位长度，
∵2016÷4=304，
∴翻转2018次后，点B落在数轴上，
点B所对应的数是304×10+5−1=3044，
故答案为：3044.
【点睛】此题考查旋转的性质，长方形的性质，图形规律类运算探究，根据图形得到变化的规律是解题的关键.
【变式12-2】（2023上·河北邯郸·七年级校考开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是1.5米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【分析】设有2n+1块石头，n为自然数，中间石头的两边都有n块石头，两边最远的距离都是1.5n米，再往中间的距离依次为1.5n−1，1.5n−2，……，1.5×2，1.5×1，除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，列式求解即可．
【详解】解：设有2n+1块石头，n为自然数，
由题意可得：中间石头的两边都有n块石头，两边最远的距离都是1.5n米，再往中间的距离依次为1.5n−1，1.5n−2，……，1.5×2，1.5×1，
除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，
则：1.5×1×4+1.5×2×4+……+1.5×n−1×4+1.5×n×3=204
即61+2+……+n−1+4.5n=204
3nn−1+4.5n=204
因为石头的总数为奇数个，
所以排除B、D选项，
当石头总数为15块时，即2n+1=15，解得n=7
将n=7代入3nn−1+4.5n可得21×7−1+4.5×7=157.5≠204，A选项不符合题意；
当石头总数为17块时，即2n+1=17，解得n=8
将n=8代入3nn−1+4.5n可得24×8−1+4.5×8=204，则C选项符合题意，
即这些石头共有17块
故选C
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，规律问题的探索，解题的关键是表示出当石头个数为2n+1块时，所需要走的距离．
【变式12-3】（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（ ）

A．ADB．CDC．BCD．AB
【答案】D
【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1:3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为2a×31+3=3a2，甲行的路程为2a×11+3=a2，在AD边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在CD边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在BC边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AB边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AD边的中点相遇；
四次一个循环，因为2023÷4=305⋯3，所以它们第2023次相遇在边BC上，
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）定义：对于任意一个三位自然数m，若m满足十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数n，若n满足十位数字比百位数字小1，个位数字比十位数字小1，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”m的7倍记为Fm，“向下数”n的8倍记为Gn，若Fm+Gn18是整数，则称每对m，n为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，|m−n|的最大值是 ．
【答案】531
【分析】设“向上数”m的百位数字为a，则十位数字为a+1，个位数字为a+2，“向下数”n的百位数字为b，则十位数字为b−1，个位数字为b−2，得到Fm=777a+84，Gn=888b−96，即Fm+Gn18=259a+296b−46，设259a+296b−4=6k，推出259a+296b=6k+4=23k+2，259a+296b是偶数，|m−n|=111a+12−111b+12=111a−b+24，当a−b的值最大时，|m−n|的值最大，据此即可求解．
【详解】解：设“向上数”m的百位数字为a，则十位数字为a+1，个位数字为a+2，
“向下数”n的百位数字为b，则十位数字为b−1，个位数字为b−2，
∴m=200a+10a+1+a+2=111a+12，n=200b+10b−1+b−2=111b−12，∴Fm=777a+84，Gn=888b−96，
∴Fm+Gn18=777a+84+888b−9618=259a+296b−46，
∵Fm+Gn18是整数，
∴259a+296b−46是整数，设259a+296b−4=6k，
即259a+296b=6k+4=23k+2，
∵1≤a≤7，3≤b≤9，259a+296b是偶数，
∴a一定是偶数，
|m−n|=111a+12−111b+12=111a−b+24，当a−b的值最大时，|m−n|的值最大，
当a=6，b=5时，259a+296b=3034，此时k=305，
∴|m−n|=111a−b+24=135；
当a=6，b=8时，259a+296b=3922，此时k=653，
∴|m−n|=111a−b+24=198；
当a=4，b=3时，259a+296b=1924，此时k=320，
∴|m−n|=111a−b+24=135；
当a=4，b=6时，259a+296b=2812，此时k=468，
∴|m−n|=111a−b+24=198；
当a=4，b=9时，259a+296b=3700，此时k=616，
∴|m−n|=111a−b+24=531；
当a=2，b=7时，259a+296b=2590，此时k=431，
∴|m−n|=111a−b+24=531；
综上，|m−n|的最大值是531．
故答案为：531．
【点睛】本题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“向上数”“向下数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．
【变式13-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，b=2时，a,b的最大值为 ．
【答案】0
【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出a=±1，b=±2，再分a=1，b=2、a=1，b=−2、a=−1，b=2、a=−1，b=−2分别求出a,b的值，比较大小，即可求解．
【详解】∵a=1，b=2，
∴a=±1，b=±2，
∴当a=1，b=2时，a,b=1−2×2=1−4=−3；
当a=1，b=−2时，a,b=−2−2×1=−2−2=−4；
当a=−1，b=2时，a,b=−1−2×2=−1−4=−5；
当a=−1，b=−2时，a,b=−2−2×−1=2−2=0．
∵−5<−4<−3<0，
∴a,b的最大值为0．
故答案为：0
【变式13-2】（2023上·江苏常州·七年级统考期末）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（ ）

A．4159B．6419C．5179D．6174
【答案】D
【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值．
【详解】由题意，不妨设这个四位数为1234，
则经过第1次F运算的结果为4321−1234=3087，
经过第2次F运算的结果为8730−378=8352，
经过第3次F运算的结果为8532−2358=6174，
经过第4次F运算的结果为7641−1467=6174，
由此可知，这个定值为6174，
【点睛】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F运算的定义是解题关键．
【变式13-3】（2023上·江西抚州·七年级校联考期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为 ．
【答案】94x或92x或9x
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
【详解】如图，
∵射线OP是∠MON的三等分线，
∴OP把∠MON分成1:2的两部分，
∴∠MON=3∠MOP或∠MON=32∠MOP，
∵射线OQ是∠MOP的三等分线，
∴OQ把∠MOP分成1:2的两部分，
∴∠MOP=3∠MOQ或∠MOP=32∠MOQ，
∵∠MOQ=x，
∴∠MOP=3∠MOQ=3x或∠MOP=32∠MOQ=32x，
当∠MOP=3x时，∠MON=3∠MOP=9x或∠MON=32∠MOP=92x，
当∠MOP=32x时，∠MON=3∠MOP=92x或∠MON=32∠MOP=94x，
故答案为：94x或92x或9x．
【题型14 数式或图形中多结论问题】
【例14】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式a+b−m−n−e中，除首尾项a、−e外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式a+b−m−n−e进行．例如：+b“闪减操作”为a−−m−n−e，−m与−n同时“闪减操作”为a+b−−e，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项+b，−m，−n满足：
(|+b|+|+b+2|)(|−m+1|+|−m+4|)(|−n+1|+|−n−6|)=42，则2b+m+n的最小值为−9．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出b，m，n的最小值，即可得出结论．
【详解】①−n“闪减操作”后的式子为a+b−m−−e，−m−n“闪减操作”后的式子为a+b−−e，对这两个式子作差，得：
a+b−m−−e−a+b−−e=a+b−m−−e−a+b+−e=a+b−m−a+b，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：
+b“闪减操作”结果为a−−m−n−e，
当a≥0,−m−n−e≥0时，a−−m−n−e=a+m+n+e，
当a≥0,−m−n−e≤0时，a−−m−n−e=a−m−n−e，
当a≤0,−m−n−e≥0时，a−−m−n−e=−a+m+n+e，
当a≤0,−m−n−e≤0时，a−−m−n−e=−a−m−n−e，
−m “闪减操作”结果为a+b−−n−e，
当a+b≥0,−n−e≥0时，a+b−−n−e=a+b+n+e，
当a+b≥0,−n−e≤0时，a+b−−n−e=a+b−n−e，
当a+b≤0,−n−e≥0时，a+b−−n−e=−a−b+n+e，
当a+b≤0,−n−e≤0时，a+b−−n−e=−a−b−n−e，
−n “闪减操作”结果为a+b−m−−e，
当a+b−m≥0,−e≥0时，a+b−m−−e=a+b−m+e，
当a+b−m≥0,−e≤0时，a+b−m−−e=a+b−m−e，
当a+b−m≤0,−e≥0时，a+b−m−−e=−a−b+m+e，
当a+b−m≤0,−e≤0时，a+b−m−−e=−a−b+m−e，
共有12种不同的结果，故②错误；
③∵|+b|+|+b+2|=b−0+b−−2，在数轴上表示点b与0和−2的距离之和，
∴当距离取最小值0−−2=2时，b的最小值为−2，
同理：|−m+1|+|−m+4|=1−m+4−m，在数轴上表示点m与1和4的距离之和，
∴当距离取最小值4−1=3时，m的最小值为1，
|−n+1|+|−n−6|=1−n+−6−n，在数轴上表示点n与1和−6的距离之和，
∴当距离取最小值1−−6=7时，n的最小值为−6，
∴当|+b|+|+b+2|，|−m+1|+|−m+4|，|−n+1|+|−n−6|都取最小值时，
(|+b|+|+b+2|)(|−m+1|+|−m+4|)(|−n+1|+|−n−6|)=2×3×7=42，
此时，2b+m+n的最小值为2×−2+1+−6=−9，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式14-1】（2023上·安徽安庆·七年级统考期末）如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE:EC=2:1，则下列结论：①EC= 13 AE；②DE=5BD；③BE= 12 (AE+BC)；④AE= 65 (BC−AD)，其中正确结论的有 （ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．
【详解】解：∵ E是BC的三等分点，BC=3AB，
∴EC=13BC，AB=13BC，
∴AB=EC，
∴AB+BE=EC+BE，
∴AE=BC，
∴EC=13AE，
故①正确；
∵EC=13AE，
∴AE=3EC，
∵AB=EC，
∴AE=3AB，
∵ D是线段AB的中点，
∴AD=BD=12AB，
∴DE=AE−AD=3AB−12AB=52AB，
∴DE=52×2BD=5BD，
故②正确；
∵BE=2AB，AE=3AB
∴12AE+BC=123AB+3AB=3AB，
∵BE=AE−AB=3AB−AB=2AB，
∴BE12AE+BC=2AB3AB=23，
∴BE=23×12AE+BC=13AE+BC，
故③不正确；
∵BC=3AB，AD=12AB，
∴65BC−AD=653AB−12AB=3AB，
∵AE=3AB，
∴AE=65BC−AD，
故④正确；
综上，正确的有①②④，
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．
【变式14-2】（2023上·四川宜宾·七年级统考期末）规定：f(x)=x−2，g(y)=y+3，例如f(-4)=−4−2=6，g(-4)=−4+3=1.
下列结论中，正确的是 （填写正确选项的番号）.
①若f(x)+g(y)=0，则2x−3y=13； ②若x<−3，则f(x)+g(x)=−1−2x；
③能使f(x)=g(x)成立的x的值不存在； ④式子f(x−1)+g(x+1)的最小值是7.
【答案】①②④
【分析】根据f(x)=x−2，g(y)=y+3进行分析.
【详解】①fx+gy=x−2+|y+3|=0,则x-2=0,y+3=0,x=2,y=-3,所以2x-3y=13.故正确；
②当x<-3时，f(x)+g(x)=x−2+|x+3|＝－（x-2）-(x+3)=-x+2-x-3=-1-2x,故正确；
③f(x)＝x−2，g(x)＝｜x+3|,当x=-12时，有f(x)=g(x)，即x−2=|x+3|，故不正确;
④f(x−1)+g(x+1)=|x-1-2|+|x+1+3|=|x-3|+|x+4|，当x=0时，|x-3|+|x+4|有最小值为7，即f(x−1)+g(x+1)的最小值是7,故正确;
故答案是：①②④.
【点睛】考查了去化简绝对值符号，解题关键是看绝对值符号里是正数还是负数.
【变式14-3】（2023上·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF，则BA平分∠DBF；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次；
④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得∠DBA=∠ABF=15°，所以BA平分∠DBF，①正确；
②当0°<∠CBE<45°时，设∠DBM=x，
∵BM平分∠DBA，
∴∠ABM=∠DBM=x，
∴ ∠ABE=60°−2x，∠EBC=45°−60°−2x=2x−15°，
∴∠EBN=x−7.5°，∠MBN=x+60°−2x+x−7.5°=52.5°
当45°<∠CBE<90°时，设∠DBM=x，
∵BM平分∠DBA，
∴∠ABM=∠DBM=x，
∴∠ABE=60°−2x，
∴∠EBC=2x−15°，∠MBE=60°−x
∴∠EBN=∠CBN=x−7.5°，
∴∠MBN=60°−x+x−7.5°=52.5°，故②正确；
③∠CBE=30°时BD⊥BC，∠CBE=45°时AB⊥DE，∠CBE=75°时DB⊥AB故③正确；
④当0°<∠CBE<45°时∠DBC+∠ABE=105°，当45°<∠CBE<90°时∠DBC+∠ABE>105°，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
-3
-5
+10
-8
+23
-6
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+2
−0.7
+1.7
−1.8
+0.8
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
﹣x﹣2
…
0
﹣1
﹣2
﹣3
a
…
2x﹣2
…
﹣6
﹣4
b
0
2
…
2x+1
…
﹣3
﹣1
1
3
5
…
购买梨（千克）
单价
不超过10千克的部分
6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分
5元/千克
超出20千克的部分
4元千克
课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
12.5
4
3
七年级
10.5
3
3
七年级
7
a
b
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+4
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-5
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星期
一
二
三
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五
每股涨跌
+2
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x
…
﹣2
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0
1
2
…
﹣x﹣2
…
0
﹣1
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﹣3
a
…
2x﹣2
…
﹣6
﹣4
b
0
2
…
2x+1
…
﹣3
﹣1
1
3
5
…
购买梨（千克）
单价
不超过10千克的部分
6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分
5元/千克
超出20千克的部分
4元千克
课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
12.5
4
3
七年级
10.5
3
3
七年级
7
a
b