苏科版八年级数学上册专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结同步练习(学生版+解析)，共106页。


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\l "_Tc25850" 【题型1 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc25850 \h 1
\l "_Tc2644" 【题型2 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc2644 \h 3
\l "_Tc28224" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc28224 \h 5
\l "_Tc18620" 【题型4 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc18620 \h 7
\l "_Tc24570" 【题型5 利用整式加减确定方案问题】 PAGEREF _Tc24570 \h 9
\l "_Tc14813" 【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】 PAGEREF _Tc14813 \h 10
\l "_Tc21071" 【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】 PAGEREF _Tc21071 \h 12
\l "_Tc18393" 【题型8 一元一次方程的实际应用】 PAGEREF _Tc18393 \h 13
\l "_Tc22282" 【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】 PAGEREF _Tc22282 \h 15
\l "_Tc5306" 【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】 PAGEREF _Tc5306 \h 16
\l "_Tc10705" 【题型11 动点或旋转角的综合运用】 PAGEREF _Tc10705 \h 18
\l "_Tc4170" 【题型12 数式或图形中的规律问题】 PAGEREF _Tc4170 \h 19
\l "_Tc31511" 【题型13 数式或图形中的新定义问题】 PAGEREF _Tc31511 \h 21
【题型1 数轴上的动点定值问题】
【例1】（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知A,B,C,D四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．动点P,Q同时分别从点A,D出发，相向而行，点P的运动速度为每秒4个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，线段BC所在部分为“交换区”，规则为：点P从点B进入“交换区”，其运动速度变为点Q原来的运动速度，点Q从点C进入“交换区”，其运动速度变为点P原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为t秒．
(1)分别求a，d的值；
(2)当P,Q两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数；
(3)当点P在点Q的左侧且满足BP=CQ时，求t的值．
【变式1-1】（2023上·浙江·七年级统考期末）【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n−m．

【应用】请用上面的知识解答下面的问题：

如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．
(1)求A、B两点之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且a+10+b−32=0．

(1)请直接写出：a= ______，b= ______；
(2)动点CM从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（a>0），三个动点同时出发，设运动时间为t秒．
①请用含a或t的式子表示：
动点CM对应的数为______，
动点N对应的数为______，
动点T对应的数为______；
②若在运动过程中，正好先后两次出现TM=TN的情况，且两次间隔的时间为10秒，求a的值；
③若在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是______．
【变式1-3】（2023上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，数轴上有三个点A，B，C，它们的起始位置表示的数分别是−5，−3，6，如图所示．

(1)若将点B从起始位置开始沿数轴向右移动，使得B，C两点之间的距离与A，B两点之间的距离相等，则须将点B向右移动______单位；
(2)若点A从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点B也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为AC，设运动的时间为t（秒）．
①求AC−BC（用含t的代数式表示）；
②若点C也与点A，B同时从起始位置开始运动，且点C以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数k，使得k⋅AB−2BC的值不随运动时间t（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数k，并求此时k⋅AB−2BC的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 数轴上的折叠问题】
【例2】（2023上·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−16、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（t>0）秒．

(1)点A与原点O的距离是 ．
(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）．
(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．
(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，求t的值．
【变式2-1】（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为−6，点B表示的数为5，点C表示为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒．
(2)若P，Q两点在点CM处相遇，则点CM在折线数轴上所表示的数是多少？
(3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【变式2-2】（2023下·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；
(2)P，Q两点在点CM处相遇，求出相遇点CM所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【变式2-3】（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足a+122+b−8=0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍．
(1)填空：a= _____，b= _____，c= _____；
(2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和mm>4个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．
①t为何值时，AD=3BD？
②若AB−32AC的值始终保持不变，求m的值：
(3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为_____．
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023上·河南周口·七年级统考期末）（1）探索材料1（填空）：
数轴上表示数cm和数n的两点之间的距离等于m−n．例如数轴上表示数2和5的两点距离为2−5= ；数轴上表示数3和−1的两点距离为3−−1= ；x+4的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
（2）探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？

②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？

③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？

（3）结论应用（填空）：
①代数式x+3+x−4的最小值是______，此时x的范围是_______；
②代数式x+6+x+3+x−2的最小值是_______，此时x的值为______；
③代数式x+7+x+4+x−2+x−5的最小值是______，此时x的范围是______．
【变式3-1】（2023上·湖南怀化·七年级校考期末）阅读下列材料：
我们知道a的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，a=a−0也就是表示数a与数0的两点之间的距离，a−b表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．

例1．已知x=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为−2和2，即x的值为−2和2．
例2．已知x−1=2，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和−1，即x的值为3和−1．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若x=3，则x=________，若x+2=4，则x=________；
(2)x+1+x−2的最小值是________，若x+1+x−2=5，则x=________；
(3)代数式x+11+x−3+x−5的最小值为________；
(4)求代数式x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−200的最小值．
【变式3-2】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=|a−b|．
（2）理解：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果AB=2，那么x= ；
（3）运用：
③当代数式x+1+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
④当代数式x+1+|x−2+x−4|取最小值时，相应的x的值是 ；
（4）提升：
⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？
【变式3-3】（2023上·广东广州·七年级校考期末）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
(1)应用一：已知图①，点A在数轴上表示为−2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为x+2，应用这个知识，请写出：
①x−1+x+3有最小值为____________，此时x满足条件__________；
②x−1+2x+3有最小值为__________，此时x满足条件____________；
③12x−1+12x−3+x+12有最小值为___________，此时x满足条件____________．
(2)应用二：在图①中，将数轴沿着点A折叠，若数轴上点CM在点N的左侧，CM，N两点之间距离为12，CM，C两点之间距离为4，且CM，N两点沿着A点折叠后重合，则点CM表示的数是____________；点C表示的数是____________．
(3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为AB=4，AC=3，BC=5的三角形ABC的顶点A与原点重合，AB边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿A→B→C→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上，负半轴的线沿A→C→B→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上．
①如果正半轴的线缠绕了n圈，负半轴的线缠绕了n圈，求绕在点C上的所有数之和；（用n表示）
②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点−2的位置对应着拉长后的数−1，并将三角形ABC向正半轴平移一个单位后再开始绕，则绕在点B且绝对值不超过200的所有数之和是__________．
【题型4 有理数的实际应用】
【例4】（2023上·河南郑州·七年级校联考期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2200个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
【变式4-1】（2023上·浙江·七年级期末）出租车司机李师傅从上午8:00~9:15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）+8,−6,+3,−7,+8,+4,−7,−4,+3,+4
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？
（2）上午8:00~9:15李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午8:00~9:15一共收入多少元？
【变式4-2】（2023上·福建泉州·七年级校考阶段练习）股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票2000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)
(1)星期二收盘时，每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?最低价每股多少元?
(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何?
【变式4-3】（2023上·浙江金华·七年级校考期末）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
【题型5 利用整式加减确定方案问题】
【例5】（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且为整数）．
(1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？
(2)若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算；
(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【变式5-1】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【变式5-2】（2023上·吉林长春·七年级统考期末） 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价30元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装30套，领带x条（x>30）.
（1）若该客户按方案①购买，西装需付款_______元，领带需付款_______元（用含x的代数式表示）.
若该客户按方案②购买，西装需付款_______元，领带需付款______元（用含x的代数式表示）.
（2）若x=30，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需付款金额.
【变式5-3】（2023上·浙江·七年级期末）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b(1)当a=3，b=2时，农户在水果市场或在果园中出售完全部水果的总收入分别是多少元？
(2)用a，b分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入=总收入−总支出）
(3)若a=b+kk>0，k−2=2−k且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好．
【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】
【例6】（2023上·陕西西安·七年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A开始以2ccm/s的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1ccm/s的速度沿C→A→B的方向移动．若AB=16ccm，AC=12ccm，BC=20ccm，已知点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；
(2)如图②，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，△QAB的面积等于△ABC面积的14；
(3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，当t为何值时，AQ=BP
【变式6-1】（2023上·广东广州·七年级广州市第二中学校考期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为3a厘米，宽为（2a－b）厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
（1）求大长方形ABCD的周长；
（2）求图②中两块阴影部分周长之和．（用含a，b的式子表示）
【变式6-2】（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市第三十五中学校考期末）为了进行农业试验，某村开辟了A、B、C、D四块试验田．如图所示，A试验田可分割成3块长方形的小试验田（图中长度单位：米），B试验田的面积比A试验田面积的2倍还多m+4n−4平方米．
A试验田示意图
(1)用含m、n的式子表示A试验田的面积为______平方米，B试验田的面积为______平方米；
(2)已知C、D试验田的面积相等，且都比A试验田的面积少2cm平方米．
①用含m、n的式子表示出A、B、C、D四块试验田的面积之和为多少平方米？
②当A、B、C、D四块试验田的面积之和为200平方米时，求B试验田的面积比C试验田的面积多多少平方米？
【变式6-3】（2023上·贵州毕节·七年级统考期末）如图是1925年数学家莫伦发现的完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中正方形1，2的边长分别为x，y，则正方形3的边长为x+y，正方形4的边长为x+y+y=x+2y．
(1)用含x，y的代数式继续表示正方形5∼9的边长；
(2)已知在完美长方形中，y=1.2x，则当x=5时，求这个完美长方形的周长．
【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】
【例7】（2023上·广东广州·七年级统考期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子E−13AB的值．
【变式7-1】（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
(1)若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；
(2)若关于的方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，求k的值；
(3)若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，求a与b的关系.
【变式7-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）已知cm，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（cm+1）x2+cmx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
【变式7-3】（2023上·广东广州·七年级广州市第五中学校考期末）已知代数式A=3ax5+bx3−2cx+4，B=ax4+2bx2−c，E=3ax3+4bx2−cx+3，其中a，b，c为常数，当x=1时，A=5，x=−1时，B=4．
(1)求3a+b−2c的值；
(2)关于y的方程k−4by=2a−cy−20的解为y=2，求k的值．
(3)当x=−1时，求式子E−13AB的值．
【题型8 一元一次方程的实际应用】
【例8】（2023上·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩12cm2地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺2cm2瓷砖．
(1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．
(2)现该学校有26个宿舍的地板和74cm2的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为2：3，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？
【变式8-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【变式8-2】（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
(1)若小明家有5口人，年用气量2000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
【变式8-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了A、B两种商品，A商品每件进价40元，B商品每件进价10元，两种商品共购进了300件，所用资金为12000元．
(1)求12月A、B两种商品各购进了多少件？
(2)12月初，该网店在出售A、B两种商品时，A商品在进价的基础上加价30%出售，并以此价格售出了14，B商品以一定价格售出了15．为了促销，余下的A、B两种商品．网店推出买一件A商品送一件B商品的优惠活动，但是单独购买B商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的A、B两种商品全部售完，且剩余的A商品都参加了促销活动，最终网店通过销售A、B两种商品共获利15%，求12月份每件B商品的售价是多少元？
(3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A、B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案．
甲厂家优惠方案：
乙厂家优惠方案：
1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A、B两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A商品实际付款4320元，第二次全部购进B商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A商品每件进价34元，购买B商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A、B两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？
【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】
【例9】（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．

(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，求CDAB的值．
【变式9-1】（2023上·山东济宁·七年级统考期末）线段AB和CD在同一直线上，CM，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6ccm，CD=8ccm．
(1)当A，C两点重合时，如图1，求CMN的长；
(2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2ccm，求CMN的长；
(3)在(2)的情况下，CMN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果)
【变式9-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC,BD中点．
(1)若AC=4，BC=10，求CE的长；
(2)若AB=5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系．
【变式9-3】（2023上·广西桂林·七年级统考期末）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．CM为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN= ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PCM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】
【例10】（2023上·山西晋城·七年级校考期末）已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）
【变式10-1】（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度数；
（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB=14∠COB，∠COM=34∠COA”，且∠AOB=α，求∠AOM+∠BON的度数；
（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【变式10-2】（2023上·重庆·七年级校联考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式10-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC=∠BOD．

(1)试说明：∠AOB=∠COD；
(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG时，请正确画出图形，并直接写出∠AOG的度数．
【题型11 动点或旋转角的综合运用】
【例11】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）点C在线段AB上，BC＝2AC．
(1) 如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1ccm/s，2ccm/s的速度沿直线AB向左运动；

①在P还未到达A点时，APCQ的值为 ；
②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直线AB上一点，且AD−BD=12CD．则BDAB的值为 ．
【变式11-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图1，已知∠AOC=140∘，∠BOC的余角比它的补角的12少20°．
(1)求∠BOC的度数；
(2)如图1，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC=20∘时，求旋转时间．
(3)如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，∠DOE+∠BOC∠COE=92，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【变式11-2】（2023上·重庆綦江·七年级统考期末）已知：如图1，CM是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从CM、B出发以1ccm/s、3ccm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段ACM上，D在线段BCM上）
(1)若AB＝11ccm，当点C、D运动了1s，求AC+CMD的值．
(2)若点C、D运动时，总有CMD＝3AC，直接填空：ACM＝ BCM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝CMN，求2CMN3AB的值．
【变式11-3】（2023上·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒．
(1)当t=2s时，求∠BOC和∠AOD的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．
①用含t的代数式表示射线OA和射线OD重合前∠BOC和∠AOD的度数；
②整个旋转过程中，当满足∠AOD−∠BOC=5°时，求出相应的t的值．
【题型12 数式或图形中的规律问题】
【例12】（2023上·贵州安顺·七年级校联考期末）阅读理解题．
我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有：
S1=13=12=1×(1+1)22；
S2=13+23=(1+2)2=2×(1+2)22；
S3=13+23+33=(1+2+3)2=3×(1+3)22
⋯

观察上面式子的规律，完成下面各题．
(1)猜想出Sn= （用n表示）．
(2)依规律，直接求13+23+33+⋯+103的值为 ．
(3)依规律，23+43+63+⋯+203的值．
(4)依规律，求113+123+133+⋯+403的值．
【变式12-1】（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：
(1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；
(2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
(3)【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．
(4)【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？
【变式12-2】（2023上·江苏宿迁·七年级校考期末）观察下列各式：−1×12=−1+12=−12,−12×13=−12+13=−16,−13×14=−13+14=−112，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12018×12019；
（3）拓展应用：计算：1×13+13×15+15×17+17×19+⋯+12017×12019；
【变式12-3】（2023上·山西临汾·七年级统考期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.
（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条.
（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条.
（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角
（4）解决问题：曲沃县某学校七年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？
【题型13 数式或图形中的新定义问题】
【例13】（2023上·北京朝阳·七年级校联考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【变式13-1】（2023上·江苏连云港·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求cm的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程，”求关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+k+2的解．
【变式13-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
（2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝a+b2，a⊕b＝a−b2．
若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
【变式13-3】（2023上·北京昌平·七年级统考期末）给出如下定义：如果∠AOC+∠BOC=90°，且∠AOC=k∠BOC（k为正整数），那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①∠BOC=15°；②∠AOC=70°；③OC是∠AOB的角平分线；
(2)如图，当∠BOC=30°时，在图中画出∠BOC的一个“倍锐角”∠AOC；
(3)如图，当∠BOC=60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”∠AOC=_____°；
(4)当∠BOC=m°且存在它的“倍锐角”∠AOC时，则∠AOB=________°．
专题7.4 期末复习之解答压轴题十三大题型总结
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23601" 【题型1 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc23601 \h 1
\l "_Tc12791" 【题型2 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc12791 \h 8
\l "_Tc13154" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc13154 \h 17
\l "_Tc6553" 【题型4 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc6553 \h 26
\l "_Tc3961" 【题型5 利用整式加减确定方案问题】 PAGEREF _Tc3961 \h 31
\l "_Tc15485" 【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】 PAGEREF _Tc15485 \h 35
\l "_Tc12536" 【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】 PAGEREF _Tc12536 \h 41
\l "_Tc10916" 【题型8 一元一次方程的实际应用】 PAGEREF _Tc10916 \h 45
\l "_Tc6972" 【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】 PAGEREF _Tc6972 \h 51
\l "_Tc18382" 【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】 PAGEREF _Tc18382 \h 58
\l "_Tc16758" 【题型11 动点或旋转角的综合运用】 PAGEREF _Tc16758 \h 67
\l "_Tc10008" 【题型12 数式或图形中的规律问题】 PAGEREF _Tc10008 \h 75
\l "_Tc19537" 【题型13 数式或图形中的新定义问题】 PAGEREF _Tc19537 \h 80
【题型1 数轴上的动点定值问题】
【例1】（2023上·四川成都·七年级校考期末）已知A,B,C,D四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．动点P,Q同时分别从点A,D出发，相向而行，点P的运动速度为每秒4个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，线段BC所在部分为“交换区”，规则为：点P从点B进入“交换区”，其运动速度变为点Q原来的运动速度，点Q从点C进入“交换区”，其运动速度变为点P原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为t秒．
(1)分别求a，d的值；
(2)当P,Q两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数；
(3)当点P在点Q的左侧且满足BP=CQ时，求t的值．
【答案】(1)−24，12
(2)当P,Q两点相遇时，t=416，相遇点在数轴上所对应的数为−43
(3)t的值为4或194或112
【分析】（1）由|b|=|c|=6，且如图点B，点C分别在原点两侧，可求b=−6，c=6，则BC=12，由AB=32BC=95CD，可得AB=18，CD=10，然后求a，d的值即可；
（2）由题意得，点P从A到B需184=92秒，点Q从D到C需要102=5秒，即P与Q在线段BC上相遇，依题意得，18+2t−92+4t−5+10=40，计算求解，然后求相遇点在数轴上所对应的数即可；
（3）分当点P在A，B间，点Q在C，D间时，即0【详解】（1）解：∵|b|=|c|=6，且如图点B，点C分别在原点两侧，
∴b=−6，c=6，
∴BC=12，
∵AB=32BC=95CD，
∴AB=32×12=95CD，
解得，AB=18，CD=10，
∴a=−6−18=−24，d=6+10=16，
∴a，d的值为−24，16；
（2）解：由题意得，点P从A到B需184=92秒，点Q从D到C需要102=5秒，
∴P与Q在线段BC上相遇，
∵AB=18，CD=10，AD=18+12+10=40，
依题意得，18+2t−92+4t−5+10=40，
解得，t=416，
∴相遇点在数轴上所对应的数为−24+18+2416−92=−43，
∴当P,Q两点相遇时，t=416，相遇点在数轴上所对应的数为−43；
（3）解：当点P在A，B间，点Q在C，D间时，即0∴BP=−6−−24+4t=18−4t，CQ=16−2t−6=10−2t，
∵BP=CQ，
∴18−4t=10−2t，
【变式1-1】（2023上·浙江·七年级统考期末）【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n−m．

【应用】请用上面的知识解答下面的问题：

如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．
(1)求A、B两点之间的距离；
(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．
【答案】(1)22；
(2)点P表示的数为−10.5或−27；
(3)2或134．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；
（2）分三种情况：①点P在B点右边时，②点在线段AB上；③点在线段A的左边时，根据AP=13PB求解即可；
（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；
②当t>3时，点Q从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP=4OQ列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）根据题可得：6−(−16)=22，
（2）①当P在B点右边时，不存在，
②当P在AB之间时，22÷4=5.5，−16+5.5=−10.5，
∴点P表示的数为−10.5，
③当P在A点左边时，22÷2=11，−16−11=−27，
∴点P表示的数为−27 ，
∴点P表示的数为−10.5或−27；
（3）当016−4t=4(6−2t)，解得t=2 ，
当316−4t−4×3(−3)，解得t=134 ，
当t>4时，
4t−16=4×3(t−3)，解得t=2.5（舍去），
∴t的值为：2或134．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且a+10+b−32=0．

(1)请直接写出：a= ______，b= ______；
(2)动点CM从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（a>0），三个动点同时出发，设运动时间为t秒．
①请用含a或t的式子表示：
动点CM对应的数为______，
动点N对应的数为______，
动点T对应的数为______；
②若在运动过程中，正好先后两次出现TM=TN的情况，且两次间隔的时间为10秒，求a的值；
③若在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是______．
【答案】(1)−10，32
(2)①−10−2t，32−4t，−at②2或8231③a≥4
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可作答；
（2）①向左运动用减法运算，向右运动用加法运算：则动点CM对应的数为−10−2t，动点N对应的数为32−4t，动点T对应的数为−at；
②当CM与N重合时，−10−2t=32−4t，t=21，根据两次间隔的时间为10秒，可知另一次TM=TN是在t=11或t=31时；可得11a−12=−11a+32，或−31a+92=31a−72，即可解得答案；
③t=21时，CM与N重合，此时TM=TN，根据在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，故当t=21时，T在CM的左侧，有−21a<−10−2×21，当t>21时，T不能是MN的中点，可知N不能追上T，有a≥4．
【详解】（1）解：∵a+10+b−32=0，
∴a+10=0，b−32=0，
解得a=−10，b=32；
（2）解：①根据题意，因为动点CM从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，
所以动点CM对应的数为−10−2t，
因为动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，
所以动点N对应的数为32−4t，
因为动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动
动点T对应的数为−at；
②当CM与N重合时，TM=TN，
∴−10−2t=32−4t
解得t=21，
∵两次间隔的时间为10秒，
∴另一次TM=TN是在t=11或t=31时；
当t=11时，
则TN=32−4×11−−11a=11a−12，TM=−11a−−10−2×11=−11a+32，
∴11a−12=−11a+32，
解得a=2；
当t=31时，
则TN=−31a−32−4×31=−31a+92，TM=−10−2×31−−31a=31a−72，
∴−31a+92=31a−72，
解得a=8231，
∴a的值为2或8231；
③由②知，当t=21时，CM与N重合，此时TM=TN，
∵在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，
∴当t≤21时，T不能是MN的中点，即当t=21时，T在CM的左侧，
∴−21a<−10−2×21，
解得a>5221；
当t>21时，T也不能是MN的中点，即N不能追上T，
故T的速度要大于等于N的速度，
∴a≥4，
综上所述，a≥4．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式表示式，数轴上表示有理数，数轴上的动点问题，绝对值的非负性，化简绝对值，熟练运用分类讨论思想，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示动点所表示的数．
【变式1-3】（2023上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，数轴上有三个点A，B，C，它们的起始位置表示的数分别是−5，−3，6，如图所示．

(1)若将点B从起始位置开始沿数轴向右移动，使得B，C两点之间的距离与A，B两点之间的距离相等，则须将点B向右移动______单位；
(2)若点A从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点B也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为AC，设运动的时间为t（秒）．
①求AC−BC（用含t的代数式表示）；
②若点C也与点A，B同时从起始位置开始运动，且点C以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数k，使得k⋅AB−2BC的值不随运动时间t（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数k，并求此时k⋅AB−2BC的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)①当04.5时，AC−BC=20−t；②k=23，原式=−303
【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用等，用含t的代数式表示各动点所在位置表示的数是解题的关键．
（1）设点B向右移动了x个单位，根据两点间距离公式表示出AB和BC，列等式解方程即可；
（2）①分点B在点C左侧与右侧两种情况，用含t的代数式表示出AC和BC，作差即可；②用含t的代数式表示出AB和BC，进而表示出k⋅AB−2BC，令t的系数为0可求出常数k的值．
【详解】（1）解：当B，C两点之间的距离与A，B两点之间的距离相等时，B在A和C之间，
设点B向右移动了x个单位，则移动后所在位置表示的数为−3+x，
则−3+x−−5=6−−3+x，
解得x=3.5，
故答案为：3.5；
（2）解：①运动的时间为t（秒）时，点A表示的数为−5−t，点B表示的数为−3+2t，
当点B与点C重合时，−3+2t=6，
解得t=4.5，
当0∴AC−BC=11+t−9−2t=3t+2；
当t>4.5时，点B在点C右侧，AC=6−−5−t=11+t，BC=−3+2t−6=2t−9，
∴AC−BC=11+t−2t−9=20−t；
②运动的时间为t（秒）时，点C表示的数为6+3t，
AB=−3+2t−−5−t=3t+2，BC=6+3t−−3+2t=t+9，
∴k⋅AB−2BC=k3t+2−2t+9=3k−2t+2k−18，
令3k−2=0，得k=23，
∴当k=23时，k⋅AB−2BC的值不随运动时间t（秒）的变化而改变，
∴23⋅AB−2BC=2×23−18=−303．
【题型2 数轴上的折叠问题】
【例2】（2023上·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−16、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（t>0）秒．

(1)点A与原点O的距离是 ．
(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）．
(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．
(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，求t的值．
【答案】(1)16
(2)6+4t
(3)t=1
(4)1，2.5，3.5
【分析】（1）由点A表示的数是−16，根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）由OB=6，BP=4t，再根据OP=OB+BP即可求解；
（3）可求得当点P与点C重合时，t=3，所以当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，此时点P表示的数是6+4t，点Q表示的数是18+2t，且点Q在点P右侧，再根据两点间的距离公式代入即可求解；
（4）可求得当点Q与点D重合时，t=4，当3【详解】（1）解：∵点A表示的数是−16，
∴OA=|−16−0|=16，
故答案为：16．
（2）解：∵点B表示的数是6，
∴OB=6−0=6，
∵BP=4t，
∴OP=OB+BP=6+4t，
故答案为：6+4t.
（3）解：当点P与点C重合时，则6+4t=18，
解得t=3，
∴当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，
∵点P表示的数是6+4t，点Q表示的数是18+2t，且点Q在点P右侧，
∴OP=6+4t，PQ=18+2t−(6+4t)=12−2t，
由OP=PQ，得6+4t=12−2t，
解得：t=1．
（4）解：当点Q与点D重合时，则18+2t=26，
解得t=4，
当3∴OP=30−4t，PQ=18+2t−(30−4t)=6t−12，
当0≤t≤3，且OP=OA时，则6+4t=16，
解得：t=2.5；
当3解得：t=3.5；
当0≤t≤3，且OP=PQ时，由（3）得t=1；
当3解得：t=215，不符合题意，舍去；
当0≤t≤3，且PQ=OA时，由（3）得PQ=12−2t，
∴12−2t=16，
解得t=−2，不符合题意，舍去；
当3解得：t=143，不符合题意，舍去，
综上所述，t的值是1，2.5，3.5．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的关键．
【变式2-1】（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为−6，点B表示的数为5，点C表示为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒．
(2)若P，Q两点在点CM处相遇，则点CM在折线数轴上所表示的数是多少？
(3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】(1)3，5，2
(2)点CM在折线数轴上所表示的数是73；
(3)当t=2，3.5，5，9.5时秒，OP=BQ．
【分析】（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；
（2）先判断相遇时间大于5秒，再利用相遇时两点在O，B上的路程和为5，再列方程求解即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在AO上，点Q在CB上时；②当点P在OB上时，点Q在CB上时；③当点P在OB上时，点Q在OB上时；④当点P在BC上时，点Q在OA上时，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要0−−6÷2=3秒，
从点O运动至点B需要5÷1=5秒，
从点B运动至点C需要9−5÷2=2秒
故答案为：3，5，2；
（2）解：由题意可得相遇时间t>5，
∴t−3+2t−4=5，
解得t=163，
∴163−3=73
∴点CM在折线数轴上所表示的数是73；
（3）解：①当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=6−2t，BQ=4−t，
∵OP=BQ，
∴6−2t=4−t，
解得t=2；
②当点P在OB上时，点Q在CB上时，OP=t−3，BQ=4−t，
∵OP=BQ，
∴t−3=4−t，
解得t=3.5；
③当点P在OB上时，点Q在OB上时，OP=t−3，BQ=2t−4，
∵OP=BQ，
∴t−3=2t−4，
解得t=5；
④当点P在BC上时，点Q在OA上时，OP=5+2t−8，BQ=5+t−6.5，
∵OP=BQ，
∴5+2t−8=5+t−6.5，
解得t=9.5；
综上：当t=2或3.5，5，9.5时秒，OP=BQ．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式2-2】（2023下·广东梅州·七年级校考开学考试）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q对应的点是______；
(2)P，Q两点在点CM处相遇，求出相遇点CM所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】(1)10，C
(2)点CM所对应的数为1779
(3)当t=143或223秒时，P，B 两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等
【分析】（1）依据动点P在各段运行的距离除以相应运行的速度算出各段运行的时间，然后相加即可算出动点P从点A运动至E点需要的时间共为10秒．然后再计算动点Q在10秒内运行到什么位置．
（2）分析相遇点所在路段在C—D段，当点P运动到C点时与Q点相距2个长度单位，则可算出点P从C点运动到CM点所需的时间为29秒，则点CM对应的数为16+29×8=1779．
（3）分段讨论PB与QD在数轴上的长度相等时的各种情况即可．
【详解】（1）由题意可知，动点P在AO、BC、DE段的速度均为4单位/秒，在OB段的速度为2单位/秒，在CD段的速度为8单位/秒，
AO=OB=BC=CD=8，DE=4，
∴动点P从点A运动至E点需要的时间为t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），
∵动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在DE段的速度为2单位/秒，CD段的速度为1单位/秒，
∴动点Q从点E运动到点D需要4÷2=2（秒），从点D运动到点C需要8÷1=8（秒），
∴此时点Q对应的点是C；
故答案为：10，C；
（2）由（1）可知，P，Q两点在CM处相遇时，点CM在C−D−E段，
动点P由点A到点C点用时为8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），
动点Q从点E到点D用时为4÷2=2（秒），
∵(8−2)×12×2=6，
∴当动点P到达点C时，点Q与点C的距离8−6=2，
∵28+1=29（秒），
∴此时P、Q两点再运动29秒在点CM处相遇，
∴点CM所对应的数16+29×8=1779；
（3）①当点P在OA段时，点Q在DE段，此时PB大于8，QD小于4，不符合题意；
②当点P在OB段时，点Q在CD段，
若PB=QD，则OB−t−2×2=PB，QD=t−2×1，
∴8−2t+4=t−2，
解得：t=143；
③当点P在BC段时，点Q在CD段，
PB=t−6×4，QD=t−2×1，
∴4t−24=t−2，
解得：t=223；
④当点P在CD段或DE段时，PB大于8，QD小于8，不符合题意．
综上所述，当t=143或223秒时，P，B 两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
【变式2-3】（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足a+122+b−8=0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍．
(1)填空：a= _____，b= _____，c= _____；
(2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和mm>4个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．
①t为何值时，AD=3BD？
②若AB−32AC的值始终保持不变，求m的值：
(3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为_____．
【答案】(1)−12，8，16
(2)①t=12，②m=6
(3)7211
【分析】（1）由a+122+b−8=0可得：a+12=0，b−8=0，从而可求出a、b，再根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可求出c；
（2）①把AD，BD用含有t的式子表达，根据AD=3BD列出关于t的方程即可求解；
②先把AB、AC的长度分别用含有t的式子表达，然后再用含有t的式子表达出AB−32AC，由AB−32AC的值始终保持不变，可令t=0，t=1分别得出AB−32AC的值，最后列出关于m的一元一次方程即可求解；
（3）先由题意分别计算Q点运动到点C、B、O三点时的t值，再分类讨论在CD、BC、OB上相遇的t值是否符合题意即可．
【详解】（1）解：∵ a+122+b−8=0，
∴ a+12=0，b−8=0，
∴解得：a=−12，b=8，
∵点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，OB=8，
∴ OC=2OB=2×8=16，
∴ c=16，
故答案为：−12，8，16；
（2）解：①由（1）可知，a=−12，b=8，c=16，
∴点A向左平移对应的点的数是−12−4t，点B向左平移对应的点的数是8−t，点C向左平移对应的点的数是16−mt，
∴ AD=24−−12−4t=36+4t，BD=24−8−t=16+t，
∵ AD=3BD，
∴ 36+4t=316+t，
∴ t=12；
②已知点A以每秒4个单位长度向左运动，B以每秒1个单位长度向左运动，C以每秒mm>4个单位长度向左运动，
∵ AB=8−t−−12−4t=20+3t，AC=16−mt−−12−4t=28−m−4t，
∴ AB−32AC=20+3t−32m−4t−28，
第一种情况：当(m−4)t≥28时，AB−32AC=20+3t−32m−4t−28=62+9t−32mt，
令t=0时，AB−32AC=62；令t=1时，AB−32AC=71−32m；
∵ AB−32AC的值始终保持不变，
∴ 71−32m=62，
∴ m=6；
第二种情况：当(m−4)t<28时，AB−32AC=20+3t+32m−4t−28=32mt−3t−22，
令t=0时，AB−32AC=−22；令t=1时，AB−32AC=32m−25；
∵ AB−32AC的值始终保持不变，
∴32m−25=−22，
解得，m=2；
∵m>4，
∴m=2不符合题意，舍去，
∴m=6．
（3）解：点A表示的数为−12，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点D，
∴移动后的数表示为：−12+3t，当点A移动至点D时，AD=24−−12=36，
∴t=16s，
根据题意可知CD=8、BC=8、OB=8，
∴当Q点运动到点C时，t=84=2；运动到点B时，t=84+82=6，运动到点O时，t=84+82+88=7，
①P点、Q点在CD上相遇，
则3t+4t=36，t=365，
∵365>2，
∴t=365不符合题意；
②P点、Q点在BC上相遇，
则3t+2t−2+8=36，
∴ t=325，
∵325>6，
∴t=325不符合题意；
③P点、Q点在OB上相遇，
则3t+16+8t−6=36，t=6811，
∵6811<7，符合题意，
∴点M表示的数为：−12+3t=−12+3×6811=7211，
∴点M表示的数为7211，
故答案为：7211．
【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化．
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023上·河南周口·七年级统考期末）（1）探索材料1（填空）：
数轴上表示数cm和数n的两点之间的距离等于m−n．例如数轴上表示数2和5的两点距离为2−5= ；数轴上表示数3和−1的两点距离为3−−1= ；x+4的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
（2）探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？

②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？

③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？

（3）结论应用（填空）：
①代数式x+3+x−4的最小值是______，此时x的范围是_______；
②代数式x+6+x+3+x−2的最小值是_______，此时x的值为______；
③代数式x+7+x+4+x−2+x−5的最小值是______，此时x的范围是______．
【答案】（1）3,4,x,−4；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①7;−3≤x≤4；②8，−3；③18,−4≤x≤2
【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案；
（2）根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小；
（3）根据问题（2）得出的结论填空即可．
【详解】解：（1）|2−5|=3，
|3−(−1)|=4,
|x+4|=|x−(−4)|, x+4的意义可理解为数轴上表示数x和−4这两点的距离；
故答案为：3,4,x,−4．
（2）①当点P在点A左边，
PA+PB=2AP+AB,
当点P在点A、点B之间，
PA+PB=AB,
当点P在点B右边，
PA+PB=2PB+AB.
∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．
故答案为：点A、点B之间．
②当点P在点A左边，
PA+PB+PC=2PA+AC+BP,
当点P在点A、点B之间时，
PA+PB+PC=AC+BP,
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC=AC+BP，
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC=AC+BP，
当点P在点C右边，PA+PB+PC=AC+BP+2PC，
∴点P应设在点B时才能使P到A,B,C三点的距离之和最小．
故答案为：点B．
③当点P在点A左边，PA+PB+PC+PD=4PA+2AB+CB+AD，
当点P在点A、点B之间时，PA+PB+PC+PD=2PB+BC+AD，
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC+PD=BC+AD，
当点P在点C、点D之间时，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2PC，
当点P在点D右边时，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2DC+4PD，
∴当点P在点C、点B之间时，P到A,B,C,D四点的距离之和最小．
故答案为：点B、点C之间．
（3）①由探究材料2得，当−3≤x≤4时，有最小值，最小值为7．
|x+3|+|x−4|=x+3+4−x=7,
∴有最小值，最小值为7．
故答案为：7;−3≤x≤4．
②由探究材料2得，这是在求点x到−6、−3、2三点的最小距离，
∴当x=−3时，有最小值，最小值为8，|x+6|+|x+3|+|x−2|=|−3+6|+|−3+3|+|−3−2|=8．
故答案为：8;−3．
③由探究材料2得，这是在求点x到−7、−4、2、5四点的最小距离，
∴当−4≤x≤2时，有最小值，最小值为18，|x+7|+|x+4|+|x−2|+|x−5|=x+7+x+4+2−x +5−x=18．
故答案为：18,−4≤x≤2．
【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键．
【变式3-1】（2023上·湖南怀化·七年级校考期末）阅读下列材料：
我们知道a的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，a=a−0也就是表示数a与数0的两点之间的距离，a−b表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．

例1．已知x=2，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为−2和2，即x的值为−2和2．
例2．已知x−1=2，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和−1，即x的值为3和−1．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
(1)若x=3，则x=________，若x+2=4，则x=________；
(2)x+1+x−2的最小值是________，若x+1+x−2=5，则x=________；
(3)代数式x+11+x−3+x−5的最小值为________；
(4)求代数式x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−200的最小值．
【答案】(1)3或−3；2或−6
(2)3；−2或3
(3)16
(4)2300
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为−1，2，则x+1+x−2的值即为线段AB的长度与线段AC的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种情况求出AB+AC的最小值为3，再由x+1+x−2=5，得到x<−1或x>2，据此去绝对值解方程即可；
（3）同（2）可得，当−11≤x≤5时，x+11+x−5有最小值，又有当x=3时，x−3有最小值，则当x=3时，x+11+x−3+x−5有最小值，据此求解即可；
（4）同理推出当30≤x≤51时，x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−200有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和−3，
∴x的值为3或−3；
∵在数轴上与−2距离为4的点对应的数为2和−6，
∴x的值为2或−6；
故答案为：3或−3；2或−6；
（2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为−1，2，
∴x+1+x−2的值即为线段AB的长度与线段AC的长度之和，
如图所示，当点A在点B左侧时，AB+AC>BC=2−−1=3

如图所示，当点A在点B与C之间时，AB+AC=BC=2−−1=3

如图所示，当点A在点C右侧时，AB+AC>BC=2−−1=3

∴综上所述，当点A在点B与C之间时，AB+AC有最小值3；
∵当点A在点B与C之间时，x+1+x−2的最小值为3，x+1+x−2=5，
∴x<−1或x>2，
当x<−1时，则−x−1+2−x=5，解得x=−2；
当x>2时，则x+1+x−2=5，解得x=3；
综上所述，若x+1+x−2=5，则x=−2或x=3；
故答案为：3；−2或3；
（3）解：同（2）可得，当−11≤x≤5时，x+11+x−5有最小值，
又∵x−3≥0，
∴当x=3时，x−3有最小值，
∴当x=3时，x+11+x−3+x−5有最小值，最小值为3+11+3−3+3−5=14+0+2=16，
故答案为：16；
（4）解：同（2）可得当1≤x≤200时，x−1+x−200有最小值，
当2≤x≤99时，x−2+x−99有最小值，
当3≤x≤98时，x−3+x−98有最小值，
……
当30≤x≤51时，x−30+x−51有最小值，
∴当30≤x≤51时，x−1+x−2+x−3+⋅⋅⋅+x−200有最小值，最小值为30−1+30−2+⋯+30−99+30−200=2300．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
【变式3-2】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为AB=|a−b|．
（2）理解：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果AB=2，那么x= ；
（3）运用：
③当代数式x+1+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
④当代数式x+1+|x−2+x−4|取最小值时，相应的x的值是 ；
（4）提升：
⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？
【答案】（2）①3；4②x+1；1或−3；（3）③−1≤x≤2；④2；（4）⑤A给B有2张，B给C有0张，C给D有1张，E给D有4张，A给E有2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张．
【分析】①根据阅读材料直接可得答案；
②根据阅读材料列出方程，可解得答案；
③由x+1+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，即可得答案；
④由x+1+|x−2+x−4|表示到表示−1，2和4的点的距离之和，可得答案；
⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，故6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，即得a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，可知a+b+c+d+e=b+2+b+b+1+b−4+b−2，
由b+2+b+b+1+b−4+b−2可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，即可得答案．
【详解】①∵5−2=3,1−(−3)=4,
∴表示2和5的两点之间的距离是3，表示1和−3的两点之间的距离是4，
故答案为：3，4；
②表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−(−1)=x+1，
当AB=2时，x+1=2，
解得x=1或x=−3，
故答案为：x+1，1或−3
③∵x+1+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，
∴x+1+|x−2||取最小值时，x的范围是−1≤x≤2，
故答案为：−1≤x≤2；
④∵x+1+|x−2+x−4||表示到表示−1，2和4的点的距离之和，
∴x=2时，x+1+|x−2+x−4|取最小值5，
故答案为：2；
⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，由于共有卡片数为12+6+9+3+10=40（张），要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，
由题意：6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，
变形得：a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，
∴a+b+c+d+e=b+2+b+b+1+b−4+b−2，
∵b+2+b+b+1+b−4+b−2可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，
∴b=0时，b+2+b+b+1+b−4+b−2取最小值，最小值为2+0+1+4+2=9，
此时a=2,c=1,d=−4,e=−2，
∴A给B2张，B给C0张，C给D1张，E给D4张，A给E2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张．
【点睛】此题考查绝对值的几何含义，解题关键是数形结合，将绝对值的计算转化为到点的距离的和进行求解．
【变式3-3】（2023上·广东广州·七年级校考期末）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
(1)应用一：已知图①，点A在数轴上表示为−2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为x+2，应用这个知识，请写出：
①x−1+x+3有最小值为____________，此时x满足条件__________；
②x−1+2x+3有最小值为__________，此时x满足条件____________；
③12x−1+12x−3+x+12有最小值为___________，此时x满足条件____________．
(2)应用二：在图①中，将数轴沿着点A折叠，若数轴上点CM在点N的左侧，CM，N两点之间距离为12，CM，C两点之间距离为4，且CM，N两点沿着A点折叠后重合，则点CM表示的数是____________；点C表示的数是____________．
(3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为AB=4，AC=3，BC=5的三角形ABC的顶点A与原点重合，AB边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿A→B→C→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上，负半轴的线沿A→C→B→A的顺序依次缠绕在三角形ABC的边上．
①如果正半轴的线缠绕了n圈，负半轴的线缠绕了n圈，求绕在点C上的所有数之和；（用n表示）
②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点−2的位置对应着拉长后的数−1，并将三角形ABC向正半轴平移一个单位后再开始绕，则绕在点B且绝对值不超过200的所有数之和是__________．
【答案】(1)4，−3≤x≤1；52，−32≤x≤1； 92，−12≤x≤6．
(2)−8，4；−12或−4
(3)6n，−499.5
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可；
（2）先判断出点CM和点N到表示数−2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）①分别找出正半轴和负半轴在点C上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和．
②找出绕在点B且绝对值不超过200的所有数字，求和即可．
【详解】（1）已知图①，点A在数轴上表示为−2，数轴上任意一点B表示的数为x，
则AB两点的距离可以表示为x+2，
应用这个知识，①x−1+x+3有最小值为3−（−1）＝4，此时x满足条件−3≤x≤1．
②x−1+2x+3最小值，当x=−32，最小值1−x+2x+3=x+4=−32+4=52，此时x满足条−32≤x≤1．
③12x−1+12x−3+x+12，12x−2+12x−6+x+12，当x=2，最小值92，此时x满足条−12≤x≤6．
故答案为： 4，−3≤x≤1；52，−32≤x≤1； 92，−12≤x≤6．
（2）∵CM，N两点沿着A点折叠后重合，
∴点CM和点N关于表示数−2的点对称，
∵CM，N两点之间距离为12，
∴点CM和点N到表示数−2的点的距离都为12×12=6，
∴点CM表示的数为−2−6＝−8，点N表示的数为−2+6＝4，
∵CM，C两点之间距离为4，
∴①当点C在点CM左侧时，点C表示的数为−8−4＝−12，
②当点C在点CM右边时，点C表示的数为−8+4＝−4，
∴点C表示的数为−12或−4．
故答案为：−8，4；−12或−4；
（3）①如果正半轴的线缠绕了n圈，绕在点C的数分别为：9，21，33，…，
点C的数为：9+12(n−1)＝12n−3；
负半轴的线缠绕了n圈，绕在点C的数分别为：−3，−15，−27，…，
点C的数为：−3−12(n−1)＝−12n+9；
则绕在点C上的所有数字之和为：(12n−3−12n+9)n＝6n．
②如果正半轴的线不变，并将三角形ABC向正半轴平移一个单位后再开始绕，
则正半轴上绕在点B且绝对值不超过200的数字有：5,17,29,41,53，65，77，89；
将负半轴的线拉长一倍，并将三角形ABC向正半轴平移一个单位后再开始绕，
则正半轴上绕在点B且绝对值不超过200的数字有：
−3.5，−9.5，−15.5，−21.5，−27.5，−33.5，−39.5，−45.5，−51.5，−57.5， −63.5，−69.5，−75.5，−81.5，−87.5，−93.5，−99.5．
5+17+29+41+53+65+77+89−3．5−9．5−15．5−21．5−27．5−33．5−39．5
−45．5−51．5−57．5−63．5−69．5−75．5−81．5−87．5−93．5−99．5
=−499．5
则绕在点B且绝对值不超过200的数字之和为−499．5．
故答案为：−499．5．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，绝对值的应用，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离的计算方法，综合性比较强，难度比较大．注意数形结合．
【题型4 有理数的实际应用】
【例4】（2023上·河南郑州·七年级校联考期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2200个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
【答案】（1）291；（2）2111个；（3）1268.25元；（4）1267.1元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2200+增减产量，即可求得；
（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；
（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．
【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2200+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2200×0.6+11×（0.6+0.15）
＝1260+11×0.75
＝1260+8.25
＝1268.25（元），
答：小王这一周的工资总额是1268.25元；
（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；
第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；
第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；
第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；
第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；
第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；
第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；
共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．
答：小王这一周的工资总额是1267.1元．
【点睛】此题考查有理数的混合运算和正负数的意义，本题是实际生活中常见的一个表格，它提供了多种信息，但关键是从中找出解题所需的有效信息，构造相应的数学模型来解决问题．
【变式4-1】（2023上·浙江·七年级期末）出租车司机李师傅从上午8:00~9:15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）+8,−6,+3,−7,+8,+4,−7,−4,+3,+4
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？
（2）上午8:00~9:15李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午8:00~9:15一共收入多少元？
【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元
【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；
（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；
（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．
【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，
则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：
（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），
所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；
（2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是：
|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），
上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时；
所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；
（3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．
超过3千米的收费总额为：
[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）．
则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．
【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【变式4-2】（2023上·福建泉州·七年级校考阶段练习）股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票2000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)
(1)星期二收盘时，每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?最低价每股多少元?
(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何?
【答案】（1）29.5元；（2）本周内最高价为每股30元，最低价为每股28.1元；（3）2898元.
【分析】（1）利用正数和负数的意义，将星期一和星期二的涨跌相加，可得到星期二收盘时每股的价格；
（2）分别计算出星期一到星期五每天的股价，然后比较大小即可；
（3）先计算出以星期五收盘前每股的价格卖出所得，然后再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可.
【详解】（1）根据题意得：
27+2-0.5=29.5（元）
【点睛】在实际应用中，有时需要根据记数的基准先把实际的量进行转化，然后用正数和负数来表示相关的数量.本题就是正负数的实际应用，同时结合利润问题进行考查，明确买入和卖出费用是解题的关键.
【变式4-3】（2023上·浙江金华·七年级校考期末）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
【答案】(1)0.9x，0.8x+60
(2)两次购物的总原价为839元或860元；当总原价为839元时，便宜37.8元；当总原价为860元，便宜21元
【分析】（1）由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为0.9x元；当原价x超过600元时，实际付款为600×0.9+x−600×0.8=0.8x+60元；
（2）由200×0.9=180，189>180，可知，第一次花费分两种情况求解：①第一次花费原价为189元；②第一次花费原价为189÷0.9=210元；由600×0.9=540，540<580，可得第二次花费原价为600+580−540÷0.8=630 元，分别计算两种情况下的总原价，以及合并成一次购买的总费用，然后与分两次购物的费用作差求解即可．
∴189+580−748=21（元），
∴当两次购物的总原价为839元时，合并成一次购买，比分两次购买便宜37.8元；当两次购物的总原价为860元，合并成一次购买，比分两次购买便宜21元．
【点睛】本题考查了列代数式，有理数混合运算的实际应用．解题的关键是分类讨论，列出算式．
【题型5 利用整式加减确定方案问题】
【例5】（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且为整数）．
(1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？
(2)若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算；
(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】(1)方案一需付款：20x+1200元；方案二需付款：18x+1440元
(2)按方案一购买较合算
(3)能，先按照方案一购买乒乓球拍20副，送乒乓球20盒；再按照方案二购买10盒乒乓球；
【分析】（1）方案一需付款：20副乒乓球拍子的费用加上x−20盒乒乓球的费用；方案二需付费：用20副乒乓球拍的费用与x盒乒乓球的费用之和乘以90%即可
（2）当x=30时，按照两种优惠方案分别计算出付款额度，付款少的方案购买即可
（3）先按照方案一购买乒乓球拍20副，送乒乓球20盒，再按照方案二购买10盒乒乓球即可
【详解】（1）方案一需付费：20×80+x−20×20=20x+1200，即20x+1200元；
方案二需付费：20×80+20x×0.9=18x+1440，即18x+1440元
（2）当x=30时：
【点睛】本题考查列代数式及代数式求值问题，读懂题意是解决问题的关键
【变式5-1】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地砖：7x+53；（3）B种活动方案
【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；
（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．
【详解】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，
得a＝3；
（2）铺设地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
铺设地面需要地砖：
16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，
∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67，
A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×200×0.85+2000＝22335（元），
B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×200×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．
【点睛】本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积，理解A，B两种活动方案是解题的关键．
【变式5-2】（2023上·吉林长春·七年级统考期末） 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价30元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装30套，领带x条（x>30）.
（1）若该客户按方案①购买，西装需付款_______元，领带需付款_______元（用含x的代数式表示）.
若该客户按方案②购买，西装需付款_______元，领带需付款______元（用含x的代数式表示）.
（2）若x=30，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需付款金额.
试题解析：
（1）按方案1购买西装需：300×30=9000元，买领带需：30(x−30)=(30x−1300)元；按方案2购买西装需：300×30×90%=8200元，买领带需：30x×90%=45x元.
（2）当x=30时，按方案1共需：9000+30(30−30)=20000（元）；按方案2购买共需：8200+45×30=10330（元）.
∵20000<10330，
∴按方案1购买更合算.
（3）能，先用方案1购买30套西装，再用方案2购买20条领带.
【变式5-3】（2023上·浙江·七年级期末）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b(1)当a=3，b=2时，农户在水果市场或在果园中出售完全部水果的总收入分别是多少元？
(2)用a，b分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入=总收入−总支出）
(3)若a=b+kk>0，k−2=2−k且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好．
【答案】(1)此水果在果园出售总收入为72000元，在水果市场出售总收入为68400元
(2)农户在果园中出售完全部水果的纯收入为(36000b−7800)元，农户在水果市场出售完全部水果的纯收入为(36000a−47400)元；
此水果在水果市场出售，总收入w2=36000a−360002000×(200×8+300)=(36000a−39600)元，
当a=3，b=2时，
此水果在果园出售，总收入w1=36000×2=72000元，
此水果在水果市场出售，总收入w2=36000×3−39600=68400（元）；
（2）农户在果园中出售完全部水果的纯收入为m1=(36000b−7800)元，
农户在水果市场出售完全部水果的纯收入为m2=36000a−39600−7800=(36000a−47400)元；
（3）∵k−2=2−k且k是整数，
∴k=1或2，
当k=1时，a=b+1，
在果园中出售完全部水果的纯收入m1=(36000b−7800)元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入m2=36000×(b+1)−47400=(36000b−11400)元，
∵36000b−7800>36000b−11400，
∴选择果园出售方式较好；
当k=2时，a=b+2，
在果园中出售完全部水果的纯收入m1=(36000b−7800)元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入m2=36000×(b+2)−47400=(36000b+24600)元，
k=2时，选择水果市场出售．
【点睛】本题考查了列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型6 利用整式加减解决图形周长或面积问题】
【例6】（2023上·陕西西安·七年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A开始以2ccm/s的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1ccm/s的速度沿C→A→B的方向移动．若AB=16ccm，AC=12ccm，BC=20ccm，已知点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；
(2)如图②，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，△QAB的面积等于△ABC面积的14；
(3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，当t为何值时，AQ=BP
【答案】(1)t=4
(2)t=9
(3)t=4或t=283
（3）分三种情形讨论即可①当012时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，CQ=t厘米，AP=2t厘米，
则AQ=(12−t)厘米，
∵QA=AP，
∴12−t=2t，
∴t=4．
即t=4秒时，QA=AP；
（2）解：当Q在线段CA上时，CQ=t厘米，
则AQ=(12−t)厘米，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14，
∴ 12⋅AB⋅AQ=14×12⋅AB⋅AC，
∴ 12×16×(12−t)=18×16×12，
解得：t=9．
即t=9秒时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14；
（3）解：由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
③当t>12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
则AQ=(t−12)厘米，BP=(2t−16)厘米，
∵AQ=BP，
∴t−12=(2t−16)，
解得t=4，不合题意舍去
综上所述，t为4或283时，AQ=BP．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式6-1】（2023上·广东广州·七年级广州市第二中学校考期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为3a厘米，宽为（2a－b）厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
（1）求大长方形ABCD的周长；
（2）求图②中两块阴影部分周长之和．（用含a，b的式子表示）
【答案】(1)10a-2b;(2)8a-4b.
【分析】(1)直接运用长方形周长公式进行求解即可；（2）设小长方形的长为cm，宽为n，然后根据分别表
两块阴影部分周长之和2（10a-2b）-4cm-8n=2（10a-2b）-4（cm+2n）=20a-4b-12a=8a-4b
【点睛】本题考查了列代数式，特别是第二问，需要设出一个量，然后列代数式，最后再根据题中的条件去除，这种设而不求的做法，值得借鉴.
【变式6-2】（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市第三十五中学校考期末）为了进行农业试验，某村开辟了A、B、C、D四块试验田．如图所示，A试验田可分割成3块长方形的小试验田（图中长度单位：米），B试验田的面积比A试验田面积的2倍还多m+4n−4平方米．
A试验田示意图
(1)用含m、n的式子表示A试验田的面积为______平方米，B试验田的面积为______平方米；
(2)已知C、D试验田的面积相等，且都比A试验田的面积少2cm平方米．
①用含m、n的式子表示出A、B、C、D四块试验田的面积之和为多少平方米？
②当A、B、C、D四块试验田的面积之和为200平方米时，求B试验田的面积比C试验田的面积多多少平方米？
【答案】(1)6m+4n+12，13m+12n+20；
(2)① 27m+24n+56；② 56．
【分析】（1）根据A试验田示意图可知A试验田的面积为3块长方形的面积之和列代数式；根据B试验田的面积比A试验田面积的2倍还多m+4n−4平方米列代数式即可；
（2）①先C、D试验田的面积相等，且都比A试验田的面积少2m平方米列出C、D试验田面积的代数式，再含m、n的式子表示出A、B、C、D四块试验田的面积之和；
②根据A、B、C、D四块试验田的面积之和为200平方米得出9m+8n=48，再用B试验田的面积减去C试验田的面积，整理，化简，即可求解；
本题考查了列代数式，整式的加减运算，求代数式的值，解题的关键是用含m、n的式子表示出A试验田的面积．
【详解】（1）解：由A试验田示意图可知，A试验田的面积为 6m+4×3+4n=6m+4n+12平方米，
∵B试验田的面积比A试验田面积的2倍还多m+4n−4平方米，
∴B试验田的面积为：
26m+4n+12+m+4n−4，
=12m+8n+24+m+4n−4，
=13m+12n+20平方米，
故答案为：6m+4n+12，13m+12n+20；
（2）解：①∵C、D试验田的面积相等，且都比A试验田的面积少2m平方米，
∴C、D试验田的面积为6m+4n+12−2m=4m+4n+12平方米，
∴A、B、C、D四块试验田的面积之和为：6m+4n+12+13m+12n+20+24m+4n+12，
=6m+4n+12+13m+12n+20+8m+8n+24，
=27m+24n+56平方米；
②∵27m+24n+56=200，
∴9m+8n=48，
∴13m+12n+20−4m+4n+12，
=13m+12n+20−4m−4n−12，
=9m+8n+8，
=48+8，
=56(平方米)，
∴B试验田的面积比C试验田的面积多56平方米．
【变式6-3】（2023上·贵州毕节·七年级统考期末）如图是1925年数学家莫伦发现的完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中正方形1，2的边长分别为x，y，则正方形3的边长为x+y，正方形4的边长为x+y+y=x+2y．
(1)用含x，y的代数式继续表示正方形5∼9的边长；
(2)已知在完美长方形中，y=1.2x，则当x=5时，求这个完美长方形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)224
【分析】本题主要考查了整式的加减，列代数式，求代数式的值，正方形的边长，长方形的边长，熟练掌握正方形，长方形的性质是解题的关键．
（1）利用长方形与正方形的性质用x，y的代数式表示即可；
（2）利用正方形的周长的公式求得完美长方形的周长，再将当y=1.2x，x=5，代入运算即可．
【详解】（1）解：∵正方形4的边长为x+2y，
∴正方形5的边长为x+2y+y=x+3y；
正方形6的边长为x+3y+y−x=4y；
正方形7的边长为4y−x；
正方形8的边长为4y−x−x−x+y=3y−3x；
正方形9的边长为4y−x+3y−3x=7y−4x；
（2）这个完美长方形的周长为：
2×x+3y+4y+4y+4y−x+7y−4x
=2×22y−4x
=44y−8x．
当y=1.2x，x=5，
这个完美长方形的周长为：
44y−8x=44×1.2x−8x=44.8x=44.8×5=224
答：这个完美长方形的周长为224．
【题型7 由一元一次方程的解确定字母的值】
【例7】（2023上·广东广州·七年级统考期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子E−13AB的值．
【答案】（1）1；（2）-2；（3）3．
【分析】（1）将x=1时，A=5代入代数式A即可求得；
（2）将y=2，代入方程得到2(a−c)=(k−4b)+10①，将x=−1时，B=4代入代数式B得到：a−c=4−2b②，②代入①即可求得k；
（3）分别求得A,B,E的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】（1）将x=1时，A=5代入代数式A，得：
5=3a+b−2c+4，
解得3a+b−2c=1；
（2）由题意，y=2时，
2(a−c)×2=(k−4b)×2+20
即2(a−c)=(k−4b)+10①
将x=−1时，B=4代入代数式B，得：
4=a+2b−c
即a−c=4−2b②
将②代入①得：
2(4−2b)=(k−4b)+10
解得k=−2
（3）将x=−1代入代数式E，得：
E=−3a+4b+c+3，
由（1）可知3a+b−2c=1①
∴−3a=b−2c−1
代入E，得：
E=b−2c−1+4b+c+3=5b−c+2
又由（2）可知a−c=4−2b
即a−c+2b=4
两边乘以3，得：3a−3c+6b=12②
②-①得：5b−c=11③
将③代入代数式E，得：E=11+2=13
当x=1时，A=5，即3a+b−2c=1，
∴ x=−1时，A=−3a−b+2c+4=−1+4=3
由题意，当x=−1时，B=4
将E=13,A=3,B=4代入E−13AB，得：
E−13AB=13−13×34=3
【点睛】本题考查了整式的加减，等式的性质，一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
【变式7-1】（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
(1)若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；
(2)若关于的方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，求k的值；
(3)若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，求a与b的关系.
【答案】（1）k =11；（2）k=278；(3) 6.
【分析】（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于cm的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式．
【详解】解：（1）解方程2x−3=11得x=7，
把x=7代入4x+5=3k得28+5=3k，
解得k =11；
（2）解关于x的方程3x−2x−k3=4x得x= 27k，
解关于x的方程3x+k12−1−5x8=1得x= 27−2k21，
∵方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，
∴2k7=27−2k21，
解得k=278；
(3)解关于x的方程2x−3a=b2得x=b2+3a2，
解关于x的方程4x+a+b2=3得x=3−b2−a4，
∵2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，
∴3−b2−a4=b2+3a2，
∴3b2=3−7a，
【点睛】本题考查了同解方程及一元一次方程的解法，正确理解同解方程的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）已知cm，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（cm+1）x2+cmx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
【答案】（1）t＝13；（2）当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3．
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，cm＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值；
（2）分别将第一问中的cm和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【详解】解：（1）由题意得：n＝2，cm＝﹣1；
∴﹣x﹣xt+4＝0，
当x＝3时，则﹣3﹣3t+2+2＝0，
∴t＝13；
（2）（cm+1）x2+cmx﹣tx+n+2＝0，
∵n＝2，cm＝﹣1，
∴﹣x﹣xt+4＝0，
x=4t+1
t=4x−1
∴t≠﹣1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x＝1时，t＝3，
当x＝4时，t＝0，
当x＝﹣1时，t＝﹣5，
当x＝﹣4时，t＝﹣2，
当x＝2时，t＝1，
当x＝﹣2时，t＝﹣3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
【变式7-3】（2023上·广东广州·七年级广州市第五中学校考期末）已知代数式A=3ax5+bx3−2cx+4，B=ax4+2bx2−c，E=3ax3+4bx2−cx+3，其中a，b，c为常数，当x=1时，A=5，x=−1时，B=4．
(1)求3a+b−2c的值；
(2)关于y的方程k−4by=2a−cy−20的解为y=2，求k的值．
(3)当x=−1时，求式子E−13AB的值．
【答案】(1)1
(2)−2
(3)3
【分析】（1）将x=1时，A=5代入代数式A，然后再化简即可解答；
（2）将y=2代入方程得到：2k−4b=4a−c−20，再将x=−1时B=4代入代数式B得到：4=a+2b−c，然后将上面两个等式通过整理变形即可求出k值；
（3）先分别求出A、B、E，再代入所求的代数式计算即可．
【详解】（1）解：将x=1时，A=5代入代数式A，可得：5=3a+b−2c+4，即3a+b−2c=1．
（2）解：由题意可知：当y=2时，
k−4b×2=2a−c×2−20，
整理得2k−4b=4a−c−20①，
将x=−1时B=4代入代数式B得到：4=a+2b−c，
整理得：a−c=4−2b②，
将②式代入①中可得：2k−4b=44−2b−20，
整理得2k−8b=16−8b−20，解得：k=−2．
（3）解：∵3a+b−2c=1，a=4−2b+c，
∴34−2b+c+b−2c=1，整理得：5b−c=11，
∵3a+b−2c=1，
∴−3a=b−2c−1
∴当x=−1时，E=−3a+4b+c+3=b−2c−1+4b+c+3=5b−c+2=11+2=13，
A=3ax5+bx3−2cx+4=−3a−b+2c+4=−3a+b−2c+4=−1+4=3，B=4，
∴E−13AB=13−13×34=124=3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减涉及到一元一次方程的解等知识点，掌握整体思想成为解答本题的关键．
【题型8 一元一次方程的实际应用】
【例8】（2023上·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩12cm2地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺2cm2瓷砖．
(1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．
(2)现该学校有26个宿舍的地板和74cm2的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为2：3，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？
【答案】(1)15cm2
(2)16cm2
【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为xcm2，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2cm2瓷砖列方程求解即可；
（2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为2ycm2，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为3ycm2，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为xcm2，
根据题意可知： 4x−124−4x6=2，解得：x=15．
答：每个宿舍需要铺瓷砖为15cm2．
（2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为2ycm2，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为3ycm2，
原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为4×15−124=12 cm2，
原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10cm2，
26×15+74=4×12×3+4×（12+2y）×2+6×（10+3y）×2，解得：y=2，
∴10+3y=10+6=16．
答：每名二级技工每天需要铺16cm2瓷砖才能按时完成任务．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分．（2）胜6场，负12场．（3）胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【分析】（1）依题意找出等量关系，设胜一场积为x分，则负一场积29−11x7分，列方程，解方程得到胜一场积分数，再求出负一场积分数即可.
（2）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程，如果有解，即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分；无解则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分.
（3）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），某队的胜场数它的胜场总积分的k倍，列方程，解出a＝182k+1，2k+1是奇数，依题意找到符合题意的数，解出k即可.
【详解】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积29−11x7分，
依题意得：14x+4×29−11x7＝32
解得：x＝2
此时29−11x7＝1
∴胜一场积2分，负一场积1分．
（2）答：能．理由如下：
设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：
2a＝18﹣a
解得：a＝6
18﹣a＝18﹣6＝12
答：胜6场，负12场．
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），
依题意得：18﹣a＝2ka
解得：a＝182k+1
显然，k是正整数，2k+1是奇数
符合题意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．
答：胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程和解方程，正确找出等量关系是解题的关键.
【变式8-2】（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
(1)若小明家有5口人，年用气量2000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
【答案】(1)3233.2，3016；
(2)小红家年用气量为700立方米．
【分析】（1）已知用气量2000立方米，根据调整前与调整后每一档的对应价格列算式计算即可；
（2）先设小红家年用气量为x 立方米，再对用气量进行分类讨论，根据题目条件，分别表示出每一段中对应的调整前后的用气费用，再根据已知调整后比调整前气费节省109元，列出方程进行解答，分析x是否在所讨论的范围内判断答案即可．
【详解】（1）调整前：
(300+60)×2.73+(600+120−360)×3.28+(2000−600−120)×3.82=3233.2元，
调整后：
(400+80)×2.73+(2000−480)×3.28=3016 元；
故答案为：3233.2，3016；
（2）设小红家年用气量为x 立方米，
当300调整前：300×2.73+(x−300)×3.28=3.28x−165 元
调整后：2.73x 元
∵ 调整后比调整前气费节省109元
∴ 3.28x−165−2.73x=109
解得x=548011 ，不合题意；
当400调整前：300×2.73+(x−300)×3.28=3.28x−165 元
调整后：400×2.73+(x−400)×3.28=3.28x−220 元
∵ 调整后比调整前气费节省109元
∴ 3.28x−165−(3.28x−220)=55元，不合题意；
当600调整前：300×2.73+(600−300)×3.28+(x−600)×3.82=3.82x−489 元
调整后：400×2.73+(x−400)×3.28=3.28x−220 元
∵ 调整后比调整前气费节省109元
∴ 3.82x−489−(3.28x−220)=109
解得 x=700 ，符合题意；
当x>2000 时，
调整前：300×2.73+(600−300)×3.28+(x−600)×3.82=3.82x−489 元
调整后：400×2.73+(2000−400)×3.28+(x−2000)×3.82=3.82x−760 元
∵ 调整后比调整前气费节省109元
∴ 3.82x−489−(3.82x−760)=271元，不合题意；
综上所述，x=700
所以，小红家的年用气量为700立方米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，属于分段计费的典型题目，此类题目的解题关键在于认真审题，找准不同范围的收费标准，并分类讨论，根据题意找到等量关系，列出方程解答即可．
【变式8-3】（2023上·重庆·七年级重庆一中校考期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了A、B两种商品，A商品每件进价40元，B商品每件进价10元，两种商品共购进了300件，所用资金为12000元．
(1)求12月A、B两种商品各购进了多少件？
(2)12月初，该网店在出售A、B两种商品时，A商品在进价的基础上加价30%出售，并以此价格售出了14，B商品以一定价格售出了15．为了促销，余下的A、B两种商品．网店推出买一件A商品送一件B商品的优惠活动，但是单独购买B商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的A、B两种商品全部售完，且剩余的A商品都参加了促销活动，最终网店通过销售A、B两种商品共获利15%，求12月份每件B商品的售价是多少元？
(3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A、B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案．
甲厂家优惠方案：
乙厂家优惠方案：
1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A、B两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A商品实际付款4320元，第二次全部购进B商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A商品每件进价34元，购买B商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A、B两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？
【答案】(1)A种商品购进了200件，B种商品购进了300件；
(2)12月份每件B商品的售价是15元；
(3)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元.
【分析】（1）设A种商品购进了x件、则B种商品购进了（300-x）件，根据费用之和为12000元，列出一元一次方程求解即可；
（2）设12月份每件B商品的售价是y元，根据销售额-成本=利润，得一元一次方程求解即可；
（3）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可.
【详解】（1）解：设A种商品购进了x件、则B种商品购进了（300-x）件，
由题意，得40x+10(300−x)=12000，
解得x=200，
300−x=300，
答：A种商品购进了200件，B种商品购进了300件.
（2）解：设12月份每件B商品的售价是y元，
由题意，得：40(1+3000)×200+300−200×(1−14)y−12000=12000×0.15，
解得y=15，
答：12月份每件B商品的售价是15元.
（3）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元）
由4320÷0.9=4800（元），4320÷0.8=5400（元）
所以在甲厂家购进A商品数量为480040=120（件），或540040=135（件），
由3690÷0.9=4200（元），
所以在甲厂家购进B商品数量为420010=410（件），
从乙厂家购买120件A商品需付款：30×34×0.9+(120−30)×34×0.8=3434（元），
购买135件A商品需付款：30×34×0.9+80×34×0.8+5×34×0.7=3825（元），
购买410件B商品需付款：
200×12×0.9+200×12×0.8+(410−200−200)×12×0.7=4164（元），
故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元）
从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元）
故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010-7598=412（元）或8010-7989=21（元）
答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元.
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，掌握销售问题中的各个量之间的关系，是解答此题的关键.
【题型9 利用线段的和差探究线段间的关系】
【例9】（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．

(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，求CDAB的值．
【答案】(1)①7；②5
(2)1742或116
【分析】（1）根据已知条件得到BC=6，AC=12，①由线段中点的定义得到CE=3，求得CD=5，由线段的和差得到AD=AB−DB=7；②点E在点F的左侧，点F是BC的中点，所以CF=BF=3，可以根据AF=3AD进行求解，当点E在点F的右侧，AC=12，CE+EF=CF=3，求出AF的长度，再根据AF=3AD进行求解即可；
（2）当E在点C的右侧时，设CE=x，DC=y，则DE=x+y，AB=2x+y，AC=23AB=43x+y，求得17x=4y，当E在点C的左侧时，设CE=x，DC=y，则DE=y−x，AB=2y−x，AC=23AB=43y−x，求得11x=8y，分别代入关系式即可得出答案．
【详解】（1）解：①AC=2BC，AB=18，DE=8，
∴BC=6，AC=12，
如图，
∵E为BC中点，
∴CE=3，
∴CD=5，
∴AD=AB−DB=18−11=7；
②如图，
∵CE+EF=3，
∴点E在点F的左侧，
∴点F是BC的中点，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB−BF=18−3=15，
∴AD=13AF=5；
当点E在点F的右侧，如图
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC−CF=9，
∵AF=3AD，
∴AD=3（不合题意，舍去），
综上所述，AD的长为5；
（2）∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式AD+ECBE=32，
如图，当E在点C的右侧时：
设CE=x，DC=y，则DE=x+y，
∴AB=2x+y，AC=23AB=43x+y，
∴AD=AC-DC=43x+13y，BC=13AB=23x+y，
∴BE=BC−CE=23y−13x，
∴AD+EC=73x+13y，
∵2AD＋EC=3BE，
∴273x+13y=323y−13x，
解得，17x=4y，
∴CDAB=y2x+y=y2417y+y=1742；
如图，当E在点C的左侧时：
设CE=x，DC=y，则DE=y−x，
∴AB=2y−x，AC=23AB=43y−x，
∴AD=DC−AC=43x−13y，BC=13AB=23y−x，
∴BE=BC+CE=23y+13x，
∴AD+CE=73x−13y，
∵2AD＋EC=3BE，
∴273x−13y=323y+13x，
解得，11x=8y，
∴CDAB=y2y−x=116．
故答案为是1742或116．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键．
【变式9-1】（2023上·山东济宁·七年级统考期末）线段AB和CD在同一直线上，CM，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6ccm，CD=8ccm．
(1)当A，C两点重合时，如图1，求CMN的长；
(2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2ccm，求CMN的长；
(3)在(2)的情况下，CMN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果)
【答案】(1)1ccm
(2)5ccm
(3)MN=12AB+12CD−BC
【分析】（1）先根据中点的定义求出AN、ACM，再根据线段和差关系求解即可；
（2）先根据中点定义求出ACM、DN，再根据线段和差关系求出AD，最后再根据线段和差关系求解即可；
（3）由（2）的解题方法求解即可．
【详解】（1）解：∵CM，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6ccm，CD=8ccm，A，C两点重合
∴ACM=3ccm，AN=4ccm，
∴CMN=AN-ACM=1ccm；
（2）∵CM，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6ccm，CD=8ccm，
∴ACM=3ccm，DN=4ccm，
∵线段AB，CD的公共部分BC=2ccm，
∴AD=AB+CD-BC=6+8-2=12ccm，
∴CMN=AD-ACM-DN=12-3-4=5ccm；
（3）∵CM，N分别是线段AB，CD的中点，
∴AM=12AB,DN=12CD ，
∵AD=AB+CD−BC ，
∴MN=AD−AM−DN=AB+CD−BC−12AB−12CD=12AB+12CD−BC ，
即：MN=12AB+12CD−BC．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点，线段和差关系，利用中点和线段和差关系是解题的关键．
【变式9-2】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC,BD中点．
(1)若AC=4，BC=10，求CE的长；
(2)若AB=5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系．
【答案】(1)4
(2)2AD=BE
【分析】（1）根据D为线段AC中点，可得AD=DC=2，从而得到BD=DC+CB=12，再由E为线段BD中点，可得DE=EB=6，即可求解；
（2）设AD=DC=m，CE=n，AB=5n，可得DE=EB=m+n， AB=3m+2n=5n，进而得到m=n，即可．
【详解】（1）解：∵D为线段AC中点，
∴AD=DC=AC2=2，
又∵BC=10，
∴BD=DC+CB=12，
∵E为线段BD中点，
∴DE=EB=12DB=6，
∴CE=DE−DC=4；
（2）解：如图，
∵D为线段AC中点，
∴设AD=DC=m，
∵AB=5CE，
∴设CE=n，AB=5n，
∵E为线段BD中点，
∴DE=EB=m+n，
∴AB=3m+2n=5n，
即m=n，
∵AD=m，BE=m+n=2m，
∴2AD=BE．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差，明确题意，准确得到线段与线段间的数量关系是解题的关键．
【变式9-3】（2023上·广西桂林·七年级统考期末）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．CM为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN= ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PCM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)PN=2
(2)8或24
(3)PN−PM=12AB，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点P在线段AB上运动和线段AB的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将PM和PN表示出来，再求出线段AB、PM、PN之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵ CM为AP的中点，PM=10，
∴ AP=20，
∵线段AB=24，N为BP的中点，
∴PN=24−20÷2=2．
故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，PM=2PN时，如图，
∵PM=AM=12AP=t，PN=BN=12BP=12AB−AP=12−t，
∴t=212−t，解得：t=8．
②当点P在线段AB的延长线上，PM=2PN时，如图，
∵PM=AM=12AP=t，PN=BN=12BP=12AP−AB=t−12，
∴t=2t−12，解得：t=24．
综上所述，当PM=2PN时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，PN−PM=12AB，
∵PM=AM=12AP，PN=BN=12BP=12AP+AB=12AP+12AB，
∴PN−PM=12AP+12AB−12AP=12AB．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
【题型10 利用角度的和差探究角度间的关系】
【例10】（2023上·山西晋城·七年级校考期末）已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）
【答案】(1)60°
(2)∠DOE=45°+12∠AOC，理由见解析
(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=430°或∠AOC-2∠DOE=90°
【分析】（1）先求出∠BOC的度数，即可利用角平分线的定义求出∠COE的度数，由此即可得到答案；
（2）同（1）求解即可；
（3）分当OD在∠AOB内部和当OD在∠AOB外部两种情况画出图形求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=30°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，
故答案为：60°
（2）解：∠DOE=45°+12∠AOC ，理由如下：
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=1290°−∠AOC=45°−12∠AOC
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−45°+12∠AOC=45°+12∠AOC
（3）解：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；
如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，
∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°；
如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=430°；
如图3-4所示，当OD在△AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，
∴∠AOC-2∠DOE=90°；
综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=430°或∠AOC-2∠DOE=90°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式10-1】（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度数；
（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB=14∠COB，∠COM=34∠COA”，且∠AOB=α，求∠AOM+∠BON的度数；
（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）14α；（3）没有关系，∠MON=12α，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求∠MON，根据∠AOM+∠BON=∠AOB−∠MON即可解答；
（2）由题意可得∠MON=∠MOC+∠NOC=34(∠AOC+∠BOC)=34∠AOB=34α进而求出∠AOM+∠BON=α−34α=14α；
（3）根据角平分线性质可得∠MOC=12∠AOC=12(α+β)，∠NOC=12∠BOC=12β进而求出∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α．
【详解】（1）∵ON平分∠BOC， OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，
∴∠MON=∠COM+∠CON=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×60°=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠AOB−∠MON=60°−30°=30°；
（2）∵∠AOB=α，∠NOB=14∠COB，∠COM=34∠COA，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=34(∠AOC+∠BOC)=34∠AOB=34α，
∴∠AOM+∠BON=α−34α=14α；
（3）与β的大小无关．理由：
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∴∠MOC=12∠AOC=12(α+β)，∠NOC=12∠BOC=12β，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α，
即∠MON=12α．
∠MON与β的大小无关。
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
【变式10-2】（2023上·重庆·七年级校联考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【答案】(1)①∠EOF的度数为60°；②见解析；
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．
【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，
当点E，F在直线AB的同侧时，如图：
∠EOF=90°−α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α=270°−3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
当点E，F在直线AB的异侧时，如图：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC−∠AOC=180°−α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
【变式10-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC=∠BOD．

(1)试说明：∠AOB=∠COD；
(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG时，请正确画出图形，并直接写出∠AOG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
(3)图见解析，∠AOG的度数是83°或122°或128° 或38°
【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；
（2）观察图形中角之间的位置关系，得∠COE=∠COD+∠DOE=40°，由角平分线，得∠BOC=∠COE=40°；
（3）由∠BOF=∠DOF，分情况：①OF在∠BOD内部：由∠FOG=3∠EOG，进一步分情况讨论，OG在∠EOF内部或OG在∠EOF外部，②OF在∠BOD外部：进一步分情况讨论，OG在∠EOF内部或OG在∠EOF外部；分别求解．
【详解】（1）解：∵∠AOC=∠BOD，
∠AOB+∠BOC=∠AOC，
∠COD+∠BOC=∠BOD，
∴∠AOB=∠COD；
（2）由（1）可知，
∠AOB=∠COD=16°，
∵∠DOE=24°，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=40°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC=∠COE=40°，
∴∠BOC的度数是40°；
（3）∠AOG的度数是83°或122°或128°或38°，
理由如下：
如图1，∵∠AOE=∠AOB+∠BOC+∠COE=96°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+16°=56°，
∴ ∠BOF=∠DOF=12∠BOD=28°，

∵∠EOF=∠DOF+∠DOE=28°+24°=52°，
又∵∠FOG=3∠EOG，
∴ ∠EOG=14∠EOF=13°，
∴∠AOG=∠AOE−∠EOG=96°−13°=83°，
如图2，∵∠FOG=3∠EOG，

即∠EOF+∠EOG=3∠EOG，
又∵∠EOF=52°，
∴∠EOG=26°，
∠AOG=∠AOE+∠EOG=96°+26°=122°，

如图3，∵∠BOF=∠DOF=12(360°−∠BOD)=152°，
∴∠EOF=∠DOF−∠DOE=128°，
又∴∠FOG=3∠EOG，
∠EOG=32°，
∠AOG=∠AOE+∠EOG=128°，
如图4:∵∠FOG=3∠EOG，
∴3∠EOG+∠EOG=360°−∠EOF=360°−128°，

∠EOG=58°，
∠AOG=∠AOE−∠EOG=96°−58°=38°，
综上所述，∠AOG的大小为83°或122°或128° 或38°．
【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
【题型11 动点或旋转角的综合运用】
【例11】（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）点C在线段AB上，BC＝2AC．
(1) 如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1ccm/s，2ccm/s的速度沿直线AB向左运动；

①在P还未到达A点时，APCQ的值为 ；
②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直线AB上一点，且AD−BD=12CD．则BDAB的值为 ．
【答案】（1）①APCQ=12；②14;（2）49或43或815或83
【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．
【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1ccm/s、2ccm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴APCQ=12
②设运动t秒
∴PC=tcm，BQ=2tcm
分两种情况
A:Q在C右侧，
∵M，N分别是PQ，CQ的中点
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MN=MQ−NQ=12PQ−12CQ =12(PQ−CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
B:Q在C左侧，
∵M，N分别是PQ，CQ的中点
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MD=MQ+NQ=12PQ+12CQ =12(PQ+CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB=12CD，
∴CD=6x，
∴BDAB=8x3x=83 ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x+CD-x+CD=12CD，
x=-32CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD=12CD，
∴x+CD-2x+CD=12CD，
CD=23x，
∴BDAB=43x3x=49；
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
∴CD=25x
∴BDAB=85x3x；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
CD=6x，
∴BDAB=4x3x=43．
综上所述，BDAB的值为49或43或815或83
【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．
【变式11-1】（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图1，已知∠AOC=140∘，∠BOC的余角比它的补角的12少20°．
(1)求∠BOC的度数；
(2)如图1，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC=20∘时，求旋转时间．
(3)如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，∠DOE+∠BOC∠COE=92，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【答案】(1)∠BOC=40∘
(2)4秒或12秒
(3)x=256
【分析】（1）根据余角和补角的定义列出关于∠BOC的方程，解方程即可得出答案；
（2）设旋转时间为t秒，分OP到达OC前，OP到达OC后，分别列出关于t的方程解方程即可得出答案；
（3）先根据角平分线的定义求出∠AOD=∠COD=12∠AOD=70∘，得出∠BOD=∠COD+∠BOC=110∘，设相遇时，旋转的时间为t秒，用t表示出∠TOD=∠DOE=x∘t，∠BOP=∠BOE=5∘t，根据∠BOD=110∘，得出xt=110−5t，根据∠DOE+∠BOC∠COE=92，列出关于t的方程，求出t的值，再求出x即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
90∘−∠BOC=12180∘−∠BOC−20∘，
解得：∠BOC=40∘；
（2）解：设旋转时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP=5∘t，
当OP到达OC前，∠POC=∠BOC−∠BOP=40∘−5∘t，
∴40−5t=20，
解得t=4；
当OP到达OC后，∠POC=∠BOP−BOC=5∘t−40∘，
∴5t−40=20，
解得t=12；
答：当∠POC=20∘时，旋转时间为4秒或12秒；
（3）解：∵∠AOC=140∘，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=12∠AOD=70∘，
∴∠BOD=∠COD+∠BOC=110∘，
设相遇时，旋转的时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP=∠BOE=5∘t，
∠TOD=∠DOE=x∘t，
∴∠COE=∠BOE−∠BOC=5∘t−40∘，
∴∠BOD=5∘t+x∘t=110∘，
即xt=110−5t，
∵∠DOE+∠BOC∠COE=92，
∴xt+40:5t−40=9:2，
即110−5t−40:5t−40=9:2，
整理得60−2t=9t−72，
解得：t=12，
∴5×12+12x=110，
解得：x=256．
【点睛】本题主要考查了余角、补角的有关计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，根据角度关系列出方程，解方程，并注意分类讨论．
【变式11-2】（2023上·重庆綦江·七年级统考期末）已知：如图1，CM是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从CM、B出发以1ccm/s、3ccm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段ACM上，D在线段BCM上）
(1)若AB＝11ccm，当点C、D运动了1s，求AC+CMD的值．
(2)若点C、D运动时，总有CMD＝3AC，直接填空：ACM＝ BCM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝CMN，求2CMN3AB的值．
【答案】(1)7ccm
(2)13
(3)13或23
【分析】（1）计算出CCM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=ACM－CCM，CMD=BCM－BD，CMD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CCM＝1ccm，BD＝3ccm
∵AB＝11ccm，CCM＝1ccm，BD＝3ccm
∴AC+CMD＝AB﹣CCM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7ccm．
（2）解：设运动时间为t，
则CCM＝t，BD＝3t，
∵AC＝ACM﹣t，CMD＝BCM﹣3t，
又CMD＝3AC，
∴BCM﹣3t＝3ACM﹣3t，
即BCM＝3ACM，
∴ACM=13BCM
故答案为：13．
（3）解：由（2）可得：
∵BCM＝AB﹣ACM
∴AB﹣ACM＝3ACM，
∴ACM＝14AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝CMN，
又∵AN﹣ACM＝CMN
∴BN＝ACM＝14AB，
∴CMN＝12AB，即2CMN3AB=13．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝CMN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴CMN＝AB，
∴MNAB=1,即2CMN3AB=23．
综上所述2CMN3AB＝13或23
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．
【变式11-3】（2023上·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒．
(1)当t=2s时，求∠BOC和∠AOD的度数；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．
①用含t的代数式表示射线OA和射线OD重合前∠BOC和∠AOD的度数；
②整个旋转过程中，当满足∠AOD−∠BOC=5°时，求出相应的t的值．
【答案】(1)∠BOC=105°，∠AOD=120°
(2)①∠BOC=(135−35t)°，∠AOD=(130−35t)°；②t=4或297或343或353
【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可；
（2）①首先求出t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分0【详解】（1）解：∵∠BOC=180°−45°=135°，
∠AOD=180°−30°=130°，
当t=2s时，三角板ODC绕点O逆时针旋转，∠BOC与∠AOD减小的度数相同为：15°×2=30°，
故∠BOC−135°−30°=105°，
∠AOD=130°−30°=120°；
（2）①由题意，∠AOM=(30+20t)°，∠NOD=(15t)°，
令20t+15t+45=180，解得t=277．
令30+20t+15t=180，解得t=307，
∴射线OB与射线OC重合之前0∴∠AOD=180°−∠AOM+∠NOD=(130−35t)°．
当0当277≤t<307时，∠BOC=(35t−135)°，
即∠BOC=(35t−135)°；
②由题意知，OA运动时间为130°÷20°=7.5s，OD运动时间为180°÷15°=12s．
当0此时，∠AOD−∠BOC=(130−35t)°−(135−35t)°=15°，不符合题意；
当277令(130−35t)°−(35t−135)°=5°，
解得t=4或297；
当307∠BOC=∠BOM−∠MOC=(20t)°−(135−15t)°=(35t−135)°
或∠BOC=∠BOM+∠MOC=(20t)°+(15t−135)°=(35t−135)°，
此时∠AOD−∠BOC=15°，不符合题意；
当7.5如图1，当OC未过BO延长线时，
∠AOD−∠BOC=5°，
∠AOD=(15t)°，
∠BOC=∠BOD+∠DOC=(15t−30)°+45°=(15t+15)°，
此时∠AOD−∠BOC=15°，不符合题意．
如图2，当OC已过BO延长线时，
∠AOD−∠BOC=15°，
∠AOD=(15t)°，∠BOC=360°−(15t+15)°=(345−15t)°．
令15t−345−15t=5，
解得t=343或t=353．
综上，t=4或297或343或353，
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，在运动的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况．
【题型12 数式或图形中的规律问题】
【例12】（2023上·贵州安顺·七年级校联考期末）阅读理解题．
我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有：
S1=13=12=1×(1+1)22；
S2=13+23=(1+2)2=2×(1+2)22；
S3=13+23+33=(1+2+3)2=3×(1+3)22
⋯

观察上面式子的规律，完成下面各题．
(1)猜想出Sn= （用n表示）．
(2)依规律，直接求13+23+33+⋯+103的值为 ．
(3)依规律，23+43+63+⋯+203的值．
(4)依规律，求113+123+133+⋯+403的值．
【答案】(1)n(1+n)22
(2)552或3025
(3)24200
(4)669375
【分析】（1）根据前面式子的特点找出规律即可.
（2）根据（1）中的规律，把n=10代入规律中进行计算即可.
（3）将23+43+63+⋯+203变形为8×(13+23+33+⋯+103)，再把（1）的结果代入即可求出结果.
（4）将113+123+133+⋯+403写成(13+23+33+⋯+403)−(13+23+33+⋯+103)，再根据（1）中的规律计算即可.
【详解】（1）Sn=13+23+33+⋯+n3=(1+2+3+⋯+n)2=n(1+n)22，
故填：n(1+n)22；
（2）13+23+33+⋯+103 =10(1+10)22=552=3025
故答案为：552；
（3）23+43+63+⋯+203
=(2×1)3+(2×2)3+(2×3)3+⋯+(2×10)3
=8×(13+23+33+⋯+103)
=8×3025
=24200
（4）113+123+133+⋯+403
=(13+23+33+⋯+403)−(13+23+33+⋯+103)
=40×(1+40)22−3025
=669375
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，数字类规律的探索，解题的关键是找出题目中所给算式的运算规律，明确有理数混合运算方法.
【变式12-1】（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：
(1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；
(2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
(3)【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．
(4)【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？
【答案】(1)8
(2)2
(3)2n＋4
(4)2009
【分析】（1）根据图形进行求解即可；
（2）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2；图n：4＋2n（即2n＋4）；
（4）根据现有2022块等腰直角三角形地砖，可得：2n＋4＝2022，即可求得答案．
【详解】（1）解：由图形3可知，等腰直角三角形地砖有8块，
故答案为：8；
（2）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
故答案为：2；
（3）观察图形2可知：
中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1，
图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，
图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2，
归纳得：4＋2n（即2n＋4），
∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（ 2n＋4）块，
故答案为：2n＋4；
（4）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n＋4，是偶数，
由题意得：2n＋4＝2022，
解得：n＝2009，
∴这条人行道正方形地砖有2009块．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【变式12-2】（2023上·江苏宿迁·七年级校考期末）观察下列各式：−1×12=−1+12=−12,−12×13=−12+13=−16,−13×14=−13+14=−112，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12018×12019；
（3）拓展应用：计算：1×13+13×15+15×17+17×19+⋯+12017×12019；
【答案】（1）−15×16=−15+16=−130；（2）-20182019；（3）20092019．
【分析】（1）根据已知的前3个等式中数的变化规律即可写出第4，5个等式；
（2）根据（1）中的规律把式子变形，中间部分相互抵消，只剩下首项和末项，即可算出答案；
（3）根据式子的特点将原式变形为12×（1−13+13−15+15−17+17−19+…+12017−12019），从而可计算得出结果．
【详解】解：（1）根据已知等式可得：
第4个等式为：−14×15=−14+15=−120，
第5个等式为：−15×16=−15+16=−130，
…
第n个等式为：−1n×1n+1=−1n+1n+1=−1n(n+1)，
故答案为：−15×16=−15+16=−130；
（2）由（1）中的规律“-1n×1n+1=−1n+1n+1”把式子进行变形可得：
−1×12+−12×13+−13×14+…+−12018×12019
=−1+12−12+13−13+14+…−12018+12019
=−1+12019
=−20182019；
（3）1×13+13×15+15×17+17×19+⋯+12017×12019
=12×（1−13+13−15+15−17+17−19+…+12017−12019）
=12×（1-12019）
=20092019．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，此类规律题要分别找到等式左边和右边的规律，寻找不变的量和变化的量，本题中不变的量是分数中的分子1，负号“-”，变化的量是分数中分母，所以要从分母中找到变化的规律，从而找到这个等式的变化规律-1n×1n+1=−1n+1n+1．
【变式12-3】（2023上·山西临汾·七年级统考期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.
（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条.
（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条.
（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角
（4）解决问题：曲沃县某学校七年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？
【答案】（1）45；（2）n(n−1)2；（3）n(n−1)2；（4）共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片
【分析】（1）根据规律可知：一条直线上有10个点，线段数为整数1到10的和；
（2）根据规律可知：一条直线上有n个点，线段数为整数1到n的和；
（3）将角的两边看着线段的两个端点，那么角的个数与直线上线段的问题一样，根据线段数的规律探究迁移可得答案；
（4）把45名学生看着一条直线上的45点，每2名学生拍1张两人照看着两点成的线段，那么根据（2）的规律即可求出两人合影拍照多少张，再加上集体照即可解答共拍照片张数，然后根据两人合影冲印，集体合影45张计算总张数即可.
【详解】解：（1） 一条直线上有10个点，线段共有1+2+3+……+10=45（条）.
故答案为：45；
（2） 一条直线上有n个点，线段共有1+2+3+……+n=n(n−1)2条.
故答案为：n(n−1)2；
（3）由（2）得：具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成n(n−1)2个角；
故答案为：n(n−1)2；
（4）解：45（45-1）2+1=991 45×（45-1）+1×45=2025
答：共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，体现了“具体---抽象----具体”的思维探索过程，探索规律、运用规律.解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
【题型13 数式或图形中的新定义问题】
【例13】（2023上·北京朝阳·七年级校联考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1）C1，C4；（2）①－30或103或303；②30或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
【详解】解：（1）C1，C4；
（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点P1在点A左侧时，P1B=2P1A，
则 30－x＝2（－10－x），
解得 x＝－30.
所以点P1表示的数为－30；
如图，当点P2在线段AB上且P2B=2P2A时，
则 30－x＝2（x＋10），
解得 x＝103.
所以点P2表示的数为103；
如图，当点P3在线段AB上且P3A=2P3B时，
则 x＋10＝2（30－x），
解得 x＝303.
所以点P3表示的数为303.
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－30或103或303.
② 30或70或110.
【点睛】此题重点考查学生对坐标轴上的点的大小的理解，理解数轴上的点的大小是解题的关键.
【变式13-1】（2023上·江苏连云港·七年级统考期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求cm的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程，”求关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+k+2的解．
【答案】(1)9
(2)-72 或92
(3)2022
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程”，可求出12022x+3=2x+k的解为x=-2023，再将12022(y+1)+3=2y+k+2变形为12022(y+1)+3=2(y+1)+k，则y+1=x=2023，从而求解．
【详解】（1）解：∵3x+cm=0
∴x=-m3
∵4x−2=x+10
∴x=4
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”
∴-m3+4=1
∴cm=9．
（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1
∴另一个方程的解是1-n
∵两个解的差是8
∴1-n-n=8或n-（1-n）=8
∴n=-72 或n=92 ．
（3）解：∵12022x+1=0
∴x=-2022
∵关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程”
∴关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k的解为：
x=1-（-2022）=2023
∴关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+k+2可化为
12022(y+1)+3=2(y+1)+k
∴y+1=x=2023
∴y=2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
【变式13-2】（2023·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
（2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝a+b2，a⊕b＝a−b2．
若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
【答案】（1）y＝2；（2）A＜B．
【分析】（1）把A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2-xy+1，代入3A+6B计算后，使x的系数为0即可；
（2）根据新定义的运算进行计算即可．
【详解】解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，
∴3A+6B
＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1）
＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6
＝3xy﹣6x+3
＝（3y﹣6）x+3，
∵与x的取值无关，
∴3y﹣6＝0，
即y＝2；
（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝3b−a2+a−2+3b2=3b−1，
B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝a−3b2+−a+2+9b2 ＝3b+1，
∵3b﹣1＜3b+1，
∴A＜B
【点睛】本题考查整式的加减，有理数的运算，理解新定义的运算是正确解答的关键．
【变式13-3】（2023上·北京昌平·七年级统考期末）给出如下定义：如果∠AOC+∠BOC=90°，且∠AOC=k∠BOC（k为正整数），那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①∠BOC=15°；②∠AOC=70°；③OC是∠AOB的角平分线；
(2)如图，当∠BOC=30°时，在图中画出∠BOC的一个“倍锐角”∠AOC；
(3)如图，当∠BOC=60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”∠AOC=_____°；
(4)当∠BOC=m°且存在它的“倍锐角”∠AOC时，则∠AOB=________°．
【答案】(1)①③
(2)见解析
(3)60或80
(4)90或90−2m
【分析】（1）分别求出∠AOC和∠BOC后判断是否符合∠AOC=k∠BOC（k为正整数）；
（2）先求出∠AOC的度数，再任意画出一个符合题意的角即可；
（3）先求出∠BOC的所有可能性，再分别求出∠AOC的度数；
（4）分两种情况分别讨论．
【详解】（1）当∠BOC=15°时，∠AOC=75°，∠AOC=5∠BOC，①符合题意；
当∠AOC=70°时，∠BOC=20°，∠AOC=72∠BOC，②不符合题意；
当OC是∠AOB的角平分线，∠AOC=∠BOC=45°，③符合题意；
故答案为①③．
（2）∵∠AOC+∠BOC=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°，
如下图：
（3）∵∠AOC是∠BOC的“倍锐角”，
∴∠AOC=k∠BOC（k为正整数），
∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠BOC=m°≤45°，
∴OB应逆时针旋转，
∵当∠BOC=60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，
∴∠BOC可取40°，30°，20°，10°，
当∠BOC=40°时，∠AOC=30°，此时∠AOC=54∠BOC，不符合题意；
当∠BOC=30°时，∠AOC=60°，此时∠AOC=2∠BOC，符合题意；
当∠BOC=20°时，∠AOC=70°，此时∠AOC=72∠BOC，不符合题意；
当∠BOC=10°时，∠AOC=80°，此时∠AOC=8∠BOC，符合题意；
故答案为：60或80．
（4）∵∠AOC是∠BOC的“倍锐角”，
∴∠AOC=k∠BOC（k为正整数），
∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠BOC=m°≤45°，
①：如图，
∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°；
②：如图，
∠AOB=∠AOC−∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOC=90°−∠BOC，
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=90°−∠BOC−∠BOC=90−2m°，
故答案为：90或90−2m．
【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键．
星 期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/个
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8
优惠
条件
一次性购物
不超过200元
一次性购物超过200元，
但不超过600元
一次性购物
超过600元
优惠
办法
没有
优惠
全部按九折
优惠
其中600元扔按九折优惠，
超过600元部分按八折优惠
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
气量分档
用气量（立方米）
价格（元/立方米）
调整前
调整后
第一档
年用气量≤300
年用气量≤400
2.73
第二档
300＜年用气量≤600
400＜年用气量≤2000
3.28
第三档
年用气量＞600
年用气量＞2000
3.82
购买总金额
优惠
未超过2000元
不打折
超过2000元，未超过3000元
全部打九折
超过3000元
全部打八折
购买A商品的总件数
购买B商品的总件数
优惠
未超过30件
未超过200件
打九折
超过30件，未超过130件的部分
超过200件，未超过400件的部分
打八折
超过130件的部分
超过400件的部分
打七折
星 期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/个
+5
﹣2
﹣4
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﹣9
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