数学八年级下册19.3 课题学习 选择方案一课一练

这是一份数学八年级下册19.3 课题学习 选择方案一课一练，共52页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc22384" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc22384 \h 2
\l "_Tc31177" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc31177 \h 3
\l "_Tc29806" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc29806 \h 4
\l "_Tc32100" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Tc32100 \h 4
\l "_Tc24069" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Tc24069 \h 6
\l "_Tc22276" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc22276 \h 6
\l "_Tc13073" 【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc13073 \h 8
\l "_Tc17086" 【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Tc17086 \h 9
\l "_Tc32109" 【题型10 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Tc32109 \h 11
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=− 32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为( )
A．(3,0)B．(− 23 ,0)C．(−2,0)D．(− 32 ,0)
【变式1-1】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 ．
【变式1-2】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【变式1-3】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 ．
【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】
方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= ．

【变式2-1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= ．
【变式2-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=−x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=−x的解是x= ．

【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象．

（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 ．
（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n．
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A−1,0，则方程kx+2+b=0的解为 ．
【变式3-1】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax−3+b=0的解为 ．
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．
【变式3-3】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x−1与y=kx+k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式4-1】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．x+y=2x−2y=1B．x=y+22x+y=−1C．x−y=22x−y=−1D．x−y=−2x+2y=1
【变式4-2】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）
A．12B．1C．﹣1D．2
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二元一次方程组y=kxy=ax+b的解为x、y，则关于x+y= ．
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：
八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=−x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x−y=12x+3y=12中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和B(4,1)，试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x−1的图象l2，如图3所示．请根据图象，判断方程组x−y=−3x−y=1的解的情况，并说明理由．
【变式5-1】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y=ax+by=cx+d 有（ ）
A．无数解B．无解C．唯一解D．不能确定
【变式5-2】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【变式5-3】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点(−2，0)，则不等式ax>b的解集为 ．
【变式6-1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是( )
A．x<0B．x>0C．x<1D．x>1
【变式6-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
【变式6-3】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)，则关于x的不等式k(x−3)+b>0的解集为 ．
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−x+a>0的解集是（ ）

A． x>−1B． x>2C． x<−1D． x<2
【变式7-1】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直线y2=−2x−1，当x<−2时，总有y1【变式7-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2=3x+m与x轴交于点B−4,0，两条直线交于点C．

(1)观察图象，直接写出不等式kx+b<0的解集；
(2)若不等式3x+m>kx+b的解集是x>−2，求点C的坐标．
【变式7-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=−12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2∶y2=12x交于点A．

(1)求出点A的坐标；
(2)根据图象，直接写出y2>y1时x的取值范围是
(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM的解析式．
【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】
【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点A−1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于x的方程k2x+b2=0的解是________；
(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集；
(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集．
(4)求△ABC的面积．
【变式8-1】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(−1,−2)和B(−3,0)两点，则关于x的不等式组x+1【变式8-2】（2023秋·四川成都·八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k<0)与直线y2=mx(m>0)的交点坐标为(12,12m)，则请求出不等式组mx−2【变式8-3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组{2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为 ．
【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例9】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组x=1,2x−y+1=0的解，所以这个方程组的解为x=1,y=3.

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=−2,y=−2x+2.的解；
（2）用阴影表示x≥−2,y≤−2x+2,y≥0.所围成的区域．
【变式9-1】（2023•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0
C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0
【变式9-2】（2023秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）
A．x﹣y≤﹣5B．x+y≥﹣5C．x+y≤5D．x﹣y≤5
【变式9-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：
在平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0．
直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x-y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x-y=0的上方区域内．特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．
请根据以上材料，探索完成以下问题：
（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x-2y=4上的点有 ；请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ；
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤4,0≤y≤3，则所有的点P组成的图形的面积是 ；
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤22x−3y≥−1 ,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并直接写出上述图形的面积 ．
【题型10 绝对值函数与不等式】
【例10】（2023春·河南新乡·八年级统考期末）小东根据学习函数的经验，对函数y＝2−x+x+22的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程．
（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝ ；当x>2时，y＝ ．
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝2−x+x+22的图象．
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
【变式10-1】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=x+1−3的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程x+1−3=2的解是x=____________；
③不等式x+1<4的解集为________．
【变式10-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数y=x−1+a的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
(1)列表：
请根据表格中的信息，可得a=__________，b= __________．
(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
②若点Ax1,y1，Bx2,y2在函数图象上，且x1并说明理由．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程x−1+a=12x+m有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m取值范围是___________．
【变式10-3】（2023秋·江苏·八年级统考期末）在学习一次函数时，我们学习了列表、描点、连接画函数图像，并结合函数图像研究函数的性质．同时，在初一的时候我们学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa≤0．请你完成下列问题．
(1)【尝试】①当x=2时，y=−2x−2+3=3
②当x<2时，y=−2x−2+3=______．
③当x>2时，y=−2x−2+3=______．
(2)【探索】探究函数y=−2x−2+3的图像与性质．
①请完成以下列表：
②请根据①中的表格，在给出的平面直角坐标系中画出y=−2x−2+3的图像．
(3)【拓展应用】若关于x的方程−2x−2+x+3=−12x+m有且只有一个正的解和一个负的解，则m的取值范围是______．
x
…
−2
−1
1
…
y
…
5
3
−1
…
x
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
-1
-2
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
−2
−3
−2
−1
0
n
2
3
…
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-2
-3
-4
b
-2
-1
…
x
……
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
3
……
专题19.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc22384" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc22384 \h 3
\l "_Tc31177" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc31177 \h 6
\l "_Tc29806" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc29806 \h 8
\l "_Tc32100" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Tc32100 \h 10
\l "_Tc24069" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Tc24069 \h 14
\l "_Tc22276" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc22276 \h 16
\l "_Tc13073" 【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc13073 \h 21
\l "_Tc17086" 【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Tc17086 \h 24
\l "_Tc32109" 【题型10 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Tc32109 \h 30
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=− 32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为( )
A．(3,0)B．(− 23 ,0)C．(−2,0)D．(− 32 ,0)
【答案】D
【分析】关于x的一元一次方程ax+b=0的根是x= −32，即x= −32时，函数值为0，所以直线过点( −32 ,0)，于是得到一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标．
【详解】解：方程ax+b=0的解为x= −32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为(− 32 ,0)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【变式1-1】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 ．
【答案】−1
【分析】根据题意，将方程kx+b=3的解转化为一次函数中y=3时对应的x的即可解答．
【详解】当y=3时，在一次函数y=kx+b中：
即kx+b=3，
此时根据表格可得x=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系．
【变式1-2】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【答案】（−2，0）
【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0，
∴ax−b＝1，
∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0），
故答案为：（−2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 ．
【答案】x=2
【分析】由一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，可得当x=2时，ax+b=4，从而可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，
当x=2时，ax+b=4，
∴方程ax+b=4的解是x=2；
故答案为：x=2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键．
【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】
方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= ．

【答案】−1
【分析】由图形知，两直线交于点(−1,−2)，即x=−1．
【详解】解：由图象知，k1x+b=k2x的解x=−1．
【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，图象法解方程，理解数形结合的思想是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= ．
【答案】1
【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4得到2k+b=2m，代入方程2k+bx=mx+m即可求出方程的解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点（2，4），
∴当x=2时，kx+b=mx，m≠0，
∴2k+b=2m，
由2k+bx=mx+m得2mx=mx+m，
∵m≠0，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k+b=2m．
【变式2-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=−x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=−x的解是x= ．

【答案】−1
【分析】先把点Pa,1代入y=−x，求出a的值，得到两直线交点P−1,1，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵点Pa,1在直线y=−x上，
∴−a=1，
∴a=−1，
∴P−1,1，
由图象可知，方程kx+b=−x的解就是直线y=−x与y=kx+b的交点的横坐标，
∴x=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象．

（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 ．
（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n．
【答案】 x=−2 m【分析】（1）由函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为−2，从而可得答案；
（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为−2，
∴关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为为x=−2；
故答案为：x=−2；
（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，
由图象可得：
A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，
∴m故答案为：m【点睛】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程的联系，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A−1,0，则方程kx+2+b=0的解为 ．
【答案】x=−3
【分析】将点A坐标代入一次函数，可求得k与b之间的关系，进而可化简方程kx+2+b=0，求得答案．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过点A−1,0，
∴−k+b=0．
∴k=b．
化简方程kx+2+b=0，得
k(x+3)=0．
根据题意， k≠0，故
x+3=0，
解得：x=−3，
故答案为： x=−3．
【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax−3+b=0的解为 ．
【答案】x=2+3/x=3+2
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过2,0点，则函数y=a(x−3x)+b的图象经过2+3,0点，进而得到方程ax−3+b=0的解．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过2,0点，
∴一次函数y=ax+b的图象向右平移3单位后，交x轴于点2+3,0，
∴关于x的方程ax−3+b=0的解为x=2+3，
故答案为：x=2+3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与平移，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．
【答案】x=3
【分析】利用一次函数的性质求得b=2k，然后代入关于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点(﹣2，0)，
∴−2k+b=0，
∴b=2k，
把b=2k代入方程k(x﹣5)+b＝0，
得k(x﹣5)+2k＝0，解得x=3，
故答案为：x=3
【点睛】本题考查了一次函数的性质及一元一次方程的解法，解题的关键是利用一次函数的性质求得b=2k．
【变式3-3】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．
【分析】利用直线平移的规律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线解析式为y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，
∴m＝﹣6，
∵程kx+m＝0的解为x＝3，
∴3k﹣6＝0，解得k＝2．
故答案为2，﹣6．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x−1与y=kx+k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】联立两函数表达式y=2x−1与y=kx+k，解方程组求x、y的表达式，再确定k的值，使x、y为整数．
【详解】解：解方程组y=2x−1y=kx+k，得x=1+k2−k=−1−3k−2y=3k2−k=−3−6k−2，
当k=−1，1，3，5时，x、y的值为整数，
此时，两函数图象交点为整点，
故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解二元一次方程组．关键是通过求交点坐标解方程组，根据x、y为整数确定k的取值．
【变式4-1】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．x+y=2x−2y=1B．x=y+22x+y=−1C．x−y=22x−y=−1D．x−y=−2x+2y=1
【答案】D
【分析】先确定两个函数的交点坐标，再把交点坐标逐一代入方程组进行检验，从而可得答案．
【详解】解：由函数图象可得交点坐标为：x=−1y=1，
∴把x=−1y=1代入x+y=2x−2y=1，不满足两个方程，故A不符合题意；
把x=−1y=1代入x=y+22x+y=−1，不满足第一个方程，故B不符合题意；
把x=−1y=1代入x−y=22x−y=−1，不满足两个方程，故C不符合题意；
把x=−1y=1代入x−y=−2x+2y=1，满足两个方程，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与函数的交点坐标之间的联系，掌握函数交点的坐标就是对应的方程组的解是解本题的关键．
【变式4-2】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）
A．12B．1C．﹣1D．2
【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
【解答】解：因为以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，
直线解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2＝0，
所以b﹣2b+2＝0，
解得：b＝2，
故选：D．
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二元一次方程组y=kxy=ax+b的解为x、y，则关于x+y= ．
【答案】3
【分析】根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为(1,2)，由此即可求解．
【详解】解：∵直线y=ax+b和直线y=kx的交点P坐标为(1,2)，
∴二元一次方程组y=kxy=ax+b的解为x=1y=2，
∴x+y=1+2=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点的公共解，掌握一元函数图像的性质是解题的关键．
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：
八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=−x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x−y=12x+3y=12中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和B(4,1)，试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x−1的图象l2，如图3所示．请根据图象，判断方程组x−y=−3x−y=1的解的情况，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（3，2），x=3y=2（3）4（4）无解，见解析
【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；
（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；
（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；
（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．
【详解】（1）对于2x+3y=12的图像，任取两组解：x=3y=2,x=6y=0，
即可根据(3,2),(6,0)画出2x+3y=12的图像；
对于x−y=1的图像，任取两组解：x=1y=0,x=3y=2，
即可根据(1,0),(3,2)画出x−y=1的图像，图象如图所示：

（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为(3,2)
∴二元一次方程组的解为x=3y=2，
故答案为：(3,2)，x=3y=2；
（3）将点A(1,2)和点B(4,1)代入二元一次方程ax+by=7，
得a+2b=74a+b=7，
解方程组，得a=1b=3，
∴a+b=4；
（4）∵y=2x+2与y=2x−1的k值相等，
∴两直线平行，没有交点，
∴方程组2x−y=−22x−y=1的无解．
∴方程组x−y=−3x−y=1无解．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．
【变式5-1】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y=ax+by=cx+d 有（ ）
A．无数解B．无解C．唯一解D．不能确定
【答案】C
【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．
【详解】解：∵直线的交点即方程组的解，
∴函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象只有一个交点，则二元一次方程组y=ax+by=cx+d 有唯一解．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．
【变式5-2】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，于是可得到k的取值范围；
（2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；
（3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交点，于是可得到k的值和b的取值范围．
【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k≠12，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，
所以当k≠12，b为任意数时，方程组有唯一一组解；
（2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k=12，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，
所以k=12，b＝2时，方程组有无数组解；
（3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k=12，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有交点，
所以k=12，b≠2时，方程组无解．
【变式5-3】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
【答案】（1）b＝2；（2）x=1y=2；（3）经过，见解析；（4）x≥1
【分析】（1）把P（1，b）代入直线l1：y=x+1即可求出b的值；
（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点坐标；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（4）根据点P（1，b）即可得到结论．
【详解】解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2．
（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标，
即解为：x=1y=2
（3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点．
（4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点(−2，0)，则不等式ax>b的解集为 ．
【答案】x＞2
【分析】根据一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限可得a＞0，且与x轴交于点(−2，0)，得出b=2a，求不等式ax>b的解集相当于是求y=ax−b＞0时x的取值范围，求出y=ax−b与x轴的交点可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，
∴a＞0．
把点(−2，0)，代入即可得到：−2a+b=0，即b=2a．
不等式ax>b的解集就是求函数y=ax−b＞0，
当y=0时，ax−b=0，
∴ax−2a=0，
∵a≠0，
∴x−2=0，
∴x=2，
故当x＞2时，不等式ax>b成立．
则不等式ax>b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键．
【变式6-1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是( )
A．x<0B．x>0C．x<1D．x>1
【答案】D
【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y=0时，对应的x的值即可．
【详解】解：当x=1时，y=0，
根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
【变式6-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
【答案】（2）（3）
【详解】∵一次函数y=ax+b(a、b是常数，a≠0)函数图象经过(−1，4)，(2，−2)两点，
∴−a+b=42a+b=−2，
解得a=−2，b=2，故（1）错误；
∴一次函数的解析式为y=−2x+2，
令y=0，则−2x+2=0，
解得：x=1
∴图象经过(1，0)点，故（2）正确；
∵a=−2，图象经过(1，0)点，
∴不等式−2x+b>0的解集为x<1，即不等式ax+b＞0的解集是x<1，故（3）正确；
不等式−2x+b<0的解集为x>1，即不等式ax+b<0的解集是x>1，故（4）错误．
综上可知正确说法为（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
【变式6-3】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)，则关于x的不等式k(x−3)+b>0的解集为 ．
【答案】x>1
【分析】观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可得：当x>−2时，kx+b>0，
所以关于x的不等式kx+b>0的解集是x>−2，
所以关于x的不等式k(x−3)+b>0的解集为x−3>−2，
即：x>1，
故答案为x>1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−x+a>0的解集是（ ）

A． x>−1B． x>2C． x<−1D． x<2
【答案】C
【分析】不等式kx+b−x+a>0的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答
【详解】解：由图象可知，不等式kx+b−x+a>0的解集是x<−1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式7-1】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直线y2=−2x−1，当x<−2时，总有y1【答案】k>−2
【分析】根据y10，即可求解．
【详解】解：∵当x<−2时，总有y1∴当x<−2时，kx+2k+3<−2x−1，
整理得：kx+2x<−2k−4，
xk+2<−2k+2，
∵当x<−2时，总有y1∴不等式xk+2<−2k+2的解集为：x<−2，
∴k+2>0，
解得：k>−2，
故答案为：k>−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2=3x+m与x轴交于点B−4,0，两条直线交于点C．

(1)观察图象，直接写出不等式kx+b<0的解集；
(2)若不等式3x+m>kx+b的解集是x>−2，求点C的坐标．
【答案】(1)x>1
(2)−2,6．
【分析】（1）根据图象可直接得出答案；
（2）由题意可得点C的横坐标为−2，把B−4,0代入y2=3x+m，得出m=12，求出y2=3x+12，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵A1,0，y1=kx+b，
∴观察图象可知，不等式kx+b<0的解集为：x>1；
（2）解：由题意可得点C的横坐标为−2，
把B−4,0代入y2=3x+m，
得：0=3x−4+m，
解得m=12，
∴y2=3x+12，
把x=−2，代入y2=3x+12，
解得y=6，
∴点C的坐标为−2,6．

【点睛】本题考查一次函数的性质，图象法解一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=−12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2∶y2=12x交于点A．

(1)求出点A的坐标；
(2)根据图象，直接写出y2>y1时x的取值范围是
(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM的解析式．
【答案】(1)A(6，3)；
(2)x>6；
(3)直线CM解析式为y= −32 x+6．
【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标即可；
（2）由直线y2=12x在直线y1=−12x+6的上方即可求解；
（3）根据M在直线OA．上，设出M坐标，表示出三角形COM面积，把已知面积代入求出x的值，确定出M坐标，利用待定系数法求出CM解析式即可；
【详解】（1）解∶解方程组y=−12x+6y=12x，
得x=6y=3．
∴A(6，3)；
（2）解：y2>y1时，即是直线l2∶y2=12x在直线l1：y1=−12x+6的上方，
∵A(6，3)，
∴x>6；

（3）解：y1=−12x+6中，令x=0，则y1=−12×0+6=6，
∴OC=6，C(0，6)，
设M(x，12 x)，
∵△COM的面积为9，
12 ×6×x=9，
解得x=3，
∴12 x= 32，
∴M(3，32 )，
设直线CM的函数表达式是y=kx+b，
把C(0，6)，M(3，32 )，代入得，
6=k×0+b32=3k+b，
解得∶b=6k=−32，
∴直线CM解析式为y= −32 x+6；
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点与不等式的关系及一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】
【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点A−1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于x的方程k2x+b2=0的解是________；
(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集；
(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集．
(4)求△ABC的面积．
【答案】(1)x=−1，x=2
(2)x≥1
(3)−1(4)92
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案；
（3）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于A−1,0，B2,0，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=−1；
关于x的方程k2x+b2=0的解是x=2；
（2）∵一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象交于点C1,3
∴根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为x≥1；
（3）根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+b1>0的解集为x>−1，
关于x的不等式k2x+b2>0的解集为x<2
∴关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集为−1（4）∵A−1,0，B2,0，
∴AB=2−−1=3
∴△ABC的面积=12×AB×yC=12×3×3=92．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键．
【变式8-1】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(−1,−2)和B(−3,0)两点，则关于x的不等式组x+1【答案】−3【分析】用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可．
【详解】解：将 A(− 1，-2) 和 B(− 3，0) 代入 y=kx+b 中得：
−k+b=−2−3k+b=0
解得：k=−1b=−3，
∴y=-x-3，
则 x+1<-x-3<0 ，
解得： −3故答案为：−3【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的解法，难度不大．
【变式8-2】（2023秋·四川成都·八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k<0)与直线y2=mx(m>0)的交点坐标为(12,12m)，则请求出不等式组mx−2【答案】12【分析】由mx−2<(m−2)x+1，即可得到x<32；由(m−2)x+112，进而得出不等式组mx−2【详解】解：把(12,12m)代入y1=kx+1，可得
12m=12k+1，
解得k=m−2，
∴y1=(m−2)x+1，
令y3=mx−2，则
当y3解得x<32；
当kx+1解得x>12，
∴不等式组mx−2【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式8-3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组{2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为 ．
【答案】﹣2＜x＜2
【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，
∴P（2，﹣4），
又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式组2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为−2故答案为−2【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例9】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组x=1,2x−y+1=0的解，所以这个方程组的解为x=1,y=3.

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=−2,y=−2x+2.的解；
（2）用阴影表示x≥−2,y≤−2x+2,y≥0.所围成的区域．
【答案】（1）P的坐标（-2，6））；（1）见解析
【分析】（1）两条直线的交点就是两个一元二次方程的解，画出图形求交点解可；
（2）在图中取不等式的等号时画出图形，即可得出阴影部分的图形．
【详解】（1）在直角坐标系中，用作图的方法求方程组x=−2,y=−2x+2.的解为：x=−2,y=6.
图1
（图1中点P的坐标（-2，6））；
（2）：x≥−2,y≤−2x+2,y≥0.所围成的区域如图2阴影部分．

图2
【点睛】求方程组的解可以用待定系数法，同样也可以用图解法，此题给了这种方法，可以简单明了的求出方程组的解．
【变式9-1】（2023•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0
C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0
【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，y=−34x+94三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．
【解答】解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y=−34x+94右上方的部分，
故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：2x+y≤53x+4y≥9x≥0．
故选：D．
【变式9-2】（2023秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）
A．x﹣y≤﹣5B．x+y≥﹣5C．x+y≤5D．x﹣y≤5
【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得y＝﹣x+5，即x+y＝5．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点（x，y）满足x+y≤5．
【解答】解：如图：
点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）
则设直线AB的解析式为：y＝kx+b
∴b=55k+b=0，解之得：b=5k=−1
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5
则：x+y＝5，
即：直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5
而阴影部分中任意一点（x，y）的横坐标与纵坐标的和都小于5，
∴x+y≤5
故选：C．
【变式9-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：
在平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0．
直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x-y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x-y=0的上方区域内．特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．
请根据以上材料，探索完成以下问题：
（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x-2y=4上的点有 ；请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ；
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤4,0≤y≤3，则所有的点P组成的图形的面积是 ；
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤22x−3y≥−1 ,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并直接写出上述图形的面积 ．
【答案】（1）A、C；（0，-2）（2）12；（3）23
【分析】（1）分别把A、B、C、D各点的坐标代入验证即可；根据二元一次方程解的定义即可写出直线3x-2y=4上一个点的坐标；
（2）画出符合题意的点的集合组成的图形，根据图形的性质求解即可；
（3）画出图形，根据图形求解即可.
【详解】解：（1）把A（2，1）代入3x-2y=4，
左=6-2=4=右，符合题意；
把B（83，32）代入3x-2y=4，
左=8-3=5≠右，不符合题意；
把C（136，54）代入3x-2y=4，
左=132-55=4=右，符合题意；
把D（4，92）代入3x-2y=4，
左=12-9=3≠右，不符合题意；
∴A、C在直线3x-2y=4上；
当x=0时，
0-2y=4，
∴y=-2,
∴（0，-2）满足方程3x−2y=4，即可答案不唯一；
（2）4×3=12 ；

（3）图形如图所示，
把x=0代入2x-3y=-1，得y=13,
把x=1代入2x-3y=-1，得y=1,
∴面积为=12(13+1) ×1=23.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程与函数之间的关系，根据题意正确画出图形是解答本题的关键.
【题型10 绝对值函数与不等式】
【例10】（2023春·河南新乡·八年级统考期末）小东根据学习函数的经验，对函数y＝2−x+x+22的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程．
（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝ ；当x>2时，y＝ ．
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝2−x+x+22的图象．
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
【答案】（1）2，x；（2）见解析；（3）当x>2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）分x≤2及x＞2两种情况，化简函数解析式；
（2）根据（1）的结论，画出函数图象；
（3）观察函数图象，找出该函数的一条性质．
【详解】解：（1）当x≤2时，y＝2−x+x+22＝2−x+x+22＝2；
当x＞2时，y＝2−x+x+22＝x−2+x+22＝x．
故答案为：2；x．
（2）根据（1）中的结果，画出函数y＝2−x+x+22的图象，如图所示．
（3）观察函数图象，可知：当x＞2时，y随x的增大而增大．
故答案为：当x＞2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=x+1−3的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程x+1−3=2的解是x=____________；
③不等式x+1<4的解集为________．
【答案】(1)-1，1
(2)见解析
(3)①>-1，②4或-6，③-5【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案；
（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；
（3）根据函数图像和性质解决．
【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1.
故答案为：-1，1．
（2）函数图像如图所示，
（3）①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大；
②当自变量x的值为4或-6时，y=2；
③解不等式|x+1|<4的结果为-5故答案为：>-1，4或-6，-5【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键．
【变式10-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数y=x−1+a的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
(1)列表：
请根据表格中的信息，可得a=__________，b= __________．
(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
②若点Ax1,y1，Bx2,y2在函数图象上，且x1并说明理由．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程x−1+a=12x+m有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m取值范围是___________．
【答案】(1)a=−4，b=−3
(2)①图像见解析；②y1>y2，理由见解析
(3)m>−3
【分析】(1)将点(0,-3)代入y=x−1+a中即可求出a的值，再将x=2代入y=x−1+a中即可求出b的值；
(2)①在坐标系中直接描点、连线画出图形即可；
②当自变量x1(3)在同一坐标系中画出y=x−1+a和y=12x+m的图像，其交点的横坐标即为对应的方程x−1+a=12x+m的解，由此即可求解．
【详解】（1）解：将点(0,-3)代入y=x−1+a中得到：
−3=0−1+a，
解得a=−4；
再将点(2，b)代入y=x−1−4中得到：
b=2−1−4，
解得b=−3．
（2）解：①函数y=x−1−4图像如下所示：
②y1>y2，理由如下：
观察图像可知，函数y=x−1−4的对称轴为x=1，
函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越小，
∵x1∴y1>y2．
（3）解：在同一坐标系中画出y=x−1+a和y=12x+m的图像，如下图所示：
∵方程x−1+a=12x+m有且只有一个正数解和一个负数解，
∴y=x−1+a和y=12x+m的图像，其交点的横坐标即为对应的方程x−1+a=12x+m的解，且交点横坐标必须有一个为正数，另一个为负数，
显然，函数y=12x+m如果是上述图中①所示时，不满足题意，此时函数经过点(0,-3)，
∴m=-3，
如果是上述图中②或③时满足题意，
故将①中直线y=12x−3往上平移即可，
∴m取值范围是：m>−3．
【点睛】本题借助研究函数的一般方法考查一次函数的图象、性质及作图，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式10-3】（2023秋·江苏·八年级统考期末）在学习一次函数时，我们学习了列表、描点、连接画函数图像，并结合函数图像研究函数的性质．同时，在初一的时候我们学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa≤0．请你完成下列问题．
(1)【尝试】①当x=2时，y=−2x−2+3=3
②当x<2时，y=−2x−2+3=______．
③当x>2时，y=−2x−2+3=______．
(2)【探索】探究函数y=−2x−2+3的图像与性质．
①请完成以下列表：
②请根据①中的表格，在给出的平面直角坐标系中画出y=−2x−2+3的图像．
(3)【拓展应用】若关于x的方程−2x−2+x+3=−12x+m有且只有一个正的解和一个负的解，则m的取值范围是______．
【答案】(1)②2x−1；③−2x+7
(2)①见解析，②见解析，
(3)m<-1
【分析】（1）②③根据绝对值的意义化简求值即可；
（2）①把自变量的数值代入函数解析式，求出对应函数值填表即可；②利用描点法画图像即可；
（3）画出图像，利用数形结合思想解答即可．
【详解】（1）解：②当x<2时，y=−2x−2+3=−2(2−x)+3=2x−1；
③当x>2时，y=−2x−2+3=−2(x−2)+3=−2x+7；
故答案为：2x−1；−2x+7．
（2）解：当x=-1时，y=−2−1−2+3=−3；当x=0时，y=−20−2+3=−1；
当x=1时，y=−21−2+3=1；当x=3时，y=−23−2+3=1；当x=4时，y=−24−2+3=−1；当x=5时，y=−25−2+3=−3；
填表如图：
函数图像如图所示：
（3）解：关于x的方程−2x−2+x+3=−12x+m变形为：−2x−2+3=−32x+m，方程有且只有一个正的解和一个负的解，即直线y=−32x+m与y=−2x−2+3的函数图像两个交点的横坐标一个为正，一个为负，如图所示，当m>6时，方程无解，当m=6时，方程只有一个正解，当6>m>-1时，方程的两个解全为正，当m=-1时，方程的两个解一个为0，一个为正，当m<-1时，方程的两个解一个为正，一个为负，
故答案为：m<-1
．
【点睛】本题考查了一次函数的与方程的关系，化简绝对值，画函数图像，解题关键是熟练画出函数图像，利用数形结合思想解决问题．
x
…
−2
−1
1
…
y
…
5
3
−1
…
x
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
-1
-2
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
−2
−3
−2
−1
0
n
2
3
…
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-2
-3
-4
b
-2
-1
…
x
……
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
3
……
x
……
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
-3
-1
1
3
1
-1
-3
……