中考数学一轮复习专题4.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共39页。

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\l "_Tc18062" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc22384" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc22384 \h 3
\l "_Tc31177" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc31177 \h 6
\l "_Tc29806" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc29806 \h 8
\l "_Tc32100" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Tc32100 \h 10
\l "_Tc24069" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Tc24069 \h 14
\l "_Tc22276" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc22276 \h 16
\l "_Tc13073" 【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc13073 \h 21
\l "_Tc17086" 【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Tc17086 \h 24
\l "_Tc32109" 【题型10 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Tc32109 \h 30
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=− 32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为( )
A．(3,0)B．(− 23 ,0)C．(−2,0)D．(− 32 ,0)
【答案】D
【分析】关于x的一元一次方程ax+b=0的根是x= −32，即x= −32时，函数值为0，所以直线过点( −32 ,0)，于是得到一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标．
【详解】解：方程ax+b=0的解为x= −32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为(− 32 ,0)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【变式1-1】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 ．
【答案】−1
【分析】根据题意，将方程kx+b=3的解转化为一次函数中y=3时对应的x的即可解答．
【详解】当y=3时，在一次函数y=kx+b中：
即kx+b=3，
此时根据表格可得x=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系．
【变式1-2】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【答案】（−2，0）
【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0，
∴ax−b＝1，
∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0），
故答案为：（−2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 ．
【答案】x=2
【分析】由一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，可得当x=2时，ax+b=4，从而可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，
当x=2时，ax+b=4，
∴方程ax+b=4的解是x=2；
故答案为：x=2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键．
【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】
方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= ．

【答案】−1
【分析】由图形知，两直线交于点(−1,−2)，即x=−1．
【详解】解：由图象知，k1x+b=k2x的解x=−1．
【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，图象法解方程，理解数形结合的思想是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= ．
【答案】1
【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4得到2k+b=2m，代入方程2k+bx=mx+m即可求出方程的解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点（2，4），
∴当x=2时，kx+b=mx，m≠0，
∴2k+b=2m，
由2k+bx=mx+m得2mx=mx+m，
∵m≠0，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k+b=2m．
【变式2-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=−x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=−x的解是x= ．

【答案】−1
【分析】先把点Pa,1代入y=−x，求出a的值，得到两直线交点P−1,1，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵点Pa,1在直线y=−x上，
∴−a=1，
∴a=−1，
∴P−1,1，
由图象可知，方程kx+b=−x的解就是直线y=−x与y=kx+b的交点的横坐标，
∴x=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象．

（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 ．
（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n．
【答案】 x=−2 mb的解集就是求函数y=ax−b＞0，
当y=0时，ax−b=0，
∴ax−2a=0，
∵a≠0，
∴x−2=0，
∴x=2，
故当x＞2时，不等式ax>b成立．
则不等式ax>b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键．
【变式6-1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b0的解集为x1
【分析】观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可得：当x>−2时，kx+b>0，
所以关于x的不等式kx+b>0的解集是x>−2，
所以关于x的不等式k(x−3)+b>0的解集为x−3>−2，
即：x>1，
故答案为x>1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−x+a>0的解集是（ ）

A． x>−1B． x>2C． x0的解集是x