初中数学人教版（2024）七年级下册8.1 二元一次方程组课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册8.1 二元一次方程组课时训练，共25页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知方程组x−2y=kx+4y=5的解x与y的值互为相反数，则k的值是（ ）
A．5B．−5C．3D．4
2．（3分）小玲解方程组2x+y=a2x−y=12的解为x=5y=b，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了两个数（用“a”和“b”表示），则这两个数分别为（ ）
A．−2，5B．−6，4C．−4，6D．8，−2
3．（3分）下列关于x，y的方程组x+3y=4−ax−5y=3a的说法中，正确的是( )
①x=5y=−1是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a=−2时，x与y相等．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．（3分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：x+y的值为定值；
结论Ⅲ：若xm−3n=1，则y的值为4或1．（3分）
A．I，Ⅲ均对B．Ⅱ对，Ⅲ错C．Ⅱ错，Ⅲ对D．I，Ⅱ均错
5．（3分）方程x+2y=7在正整数范围内的解有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．无数个
6．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
7．（3分）已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；
②若2x+y=3，则a=−1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=−2，则方程组3a1x+2b1y=a1+c13a2x+2b2y=a2+c2的解是（ ）
A．x=43y=1B．x=43y=−1C．x=−1y=−1D．x=−1y=1
9．（3分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“Δ”为：(a,b)Δ(c,d)=(ac+bd,ad+bc)．如果对于任意实数u,v，都有(u,v)Δ(x,y)=(u,v)，那么(x,y)为( )
A．(0,1)B．(1,0)C．(−1,0)D．(0,−1)
10．（3分）某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ）
A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知x=1y=−2是方程组2ax−3y=10−bax−by=−1的一个解，则(b−a)3=_________．
12．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=5ax+2y=2a+3（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx−2y（k是常数）的值始终不变，则k= ．
13．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组x+2y=k3x+5y=k−1的解满足x−y=7，那么k的值是 ．
14．（3分）古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只．
15．（3分）已知关于x，y的方程组2x−3y=3mx+my=−1和2mx+3ny=33x+2y=11的解相同，则3m+n3的值为 ．
16．（3分）一个圆盘里摆12颗糖，一个方盘里摆13颗糖，小张发现他有110颗糖恰好可以摆满所有的盘子，请问这时圆盘有 个．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程组：
(1)x+2y=55x−2y=7
(2)x2+y3=22x+3−3y=1
(3)x+y=−1x−y+z=72x−y−z=0
18．（6分）在解方程组x−2y=2①4x−2y=5②时，小颖、小明、小丽、小亮四位同学的解法各不相同：
A、小颖的解法：由①得x=2+2y③，把③代入②得，42+2y−2y=5；
B、小明的解法：由①得2y=x−2③，把③代入②得，4x−x−2=5；
C、小丽的解法：由①②，得3x=−3；
D、小亮的解法：由②得3x+x−2y=5③，把①代入③得，3x+2=5．
(1)反思：上述四人解方程组的部分过程中，你发现______的解题过程有错误（从A、B、C、D中选择）；请直接写出此方程组的正确解______．
(2)请选择你喜欢的方法解方程组x2+3y2=2①2x−2=−3y+2②
19．（8分）已知关于x，y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n是常数）．
(1)当n=1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5．
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
20．（8分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法，把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．
请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：
(1)3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7；
(2)x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1．
21．（8分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F(n)=pq．例如42可以分解成1×42，2×21，3×14或6×7，因为42−1>21−2>14−3>7−6，所以6×7是42的最佳分解，所以F(42)=67．
(1)求F(56)的值；
(2)如果一个两位正整数(个位数不为0），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为2376，那么我们称这个两位正整数t为“最美数”．当t为“最美数”时，求F(t)的最大值．
22．（8分）探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．

素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如下表：
调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．
素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本(一张兑换券只能兑换一种商品)．
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求m，n的值．
【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
23．（8分）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
(1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩x万只，则总销售额为______万元．（用含x的代数式表示）
(2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．获奖级别
一等奖
二等奖
三等奖
调整前人数(单位：个)
5
15
30
调整后人数(单位：个)
m
20
n
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
第8章 二元一次方程组章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知方程组x−2y=kx+4y=5的解x与y的值互为相反数，则k的值是（ ）
A．5B．−5C．3D．4
【答案】B
【分析】利用加减消元法解方程组，得到x=5+2k3，y=5−k6，再根据相反数的定义，即可求出k的值．
【详解】解：x−2y=k①x+4y=5②，
由②−①得：6y=5−k，
解得：y=5−k6，
将y=5−k6代入④得：x+4×5−k6=5，
解得：x=5+2k3，
∵x与y的值互为相反数，
∴5−k6+5+2k3=0，
解得：k=−5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题关键．
2．（3分）小玲解方程组2x+y=a2x−y=12的解为x=5y=b，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了两个数（用“a”和“b”表示），则这两个数分别为（ ）
A．−2，5B．−6，4C．−4，6D．8，−2
【答案】D
【分析】把x=5y=b代入原方程组得到关于a、b得方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵方程组2x+y=a2x−y=12的解为x=5y=b，
∴10+b=a①10−b=12②
①+②得：a+12=20，解得a=8，
把a=8代入①得：10+b=8，解得b=−2，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确得到关于a、b的方程组是解题的关键．
3．（3分）下列关于x，y的方程组x+3y=4−ax−5y=3a的说法中，正确的是( )
①x=5y=−1是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a=−2时，x与y相等．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【分析】①将x=5，y=−1代入，判断a的值是否相等即可；②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y的值即可判断；③将a=−2代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可判断．
【详解】①将x=5y=−1代入方程组得：
5−3=4−a①5+5=3a②，解得a=2①a=103②
两个方程a的值不相等，所以①错误；
②解方程组x+3y=4−ax−5y=3a，得
x=5+a2y=1−a2，
x+y=5+a2+1−a2=3，
∴x+y的值和a的取值无关，始终为3，所以②正确；
③将a=−2代入方程组得，
x=32y=32，
因此③正确；
本题②③正确，故选C．
【点睛】本题考查了含参二元一次方程组中参数的确定，二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
4．（3分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：x+y的值为定值；
结论Ⅲ：若xm−3n=1，则y的值为4或1．（3分）
A．I，Ⅲ均对B．Ⅱ对，Ⅲ错C．Ⅱ错，Ⅲ对D．I，Ⅱ均错
【答案】B
【分析】先由题意得到x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，然后解方程组得到x=n−m2y=3m−n4，当n=5时，m=3，则此时y=3×3−54=1，即可判断I；①+②得4x+4y=8，即可判断②；根据1的任何次方为1，−1的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．
【详解】解：由题意得，x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，
②−①得2x=n−m，解得x=n−m2，
把x=n−m2代入①得n−m2+2y=m，解得y=3m−n4，
∴方程组的解为x=n−m2y=3m−n4，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，则此时y=3×3−54=1，故结论I正确；
①+②得4x+4y=8，
∴x+y=2，故结论Ⅱ正确；
当x=1时，y=1，此时满足xm−3n=1；
当m−3n=0时，则m=3n，此时m=6，n=2，
∴x=−2，y=4，此时满足xm−3n=1；
当x=−1时，则y=3，
此时m=−1+2×3=5n=−1×3+2×3=3，
∴m−3n=5−3×3=−4，此时满足xm−3n=1，
综上所述，若xm−3n=1，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（3分）方程x+2y=7在正整数范围内的解有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．无数个
【答案】B
【分析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可．
【详解】解：∵方程可变形为x=7−2y，
∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1，
∴方程x+2y=7的正整数解有：{y=1x=5，{y=2x=3，{y=3x=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程，二元一次方程有无数组解，确定二元一次方程的特殊解，解题的关键是用其中一个未知数表示另一个未知数．
6．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值有可能是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：4x+3y=mx+2y=n，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．（8分）
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；
②若2x+y=3，则a=−1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，解得x=5y=−1，经检验得是x+y=a+3的解，故①正确；方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②两方程相加得2x+y=6+3a，根据2x+y=3，得到6+3a=3，解得a=−1，故②正确；根据x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，得到3x+3y=12，得到x+y=4，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据x+y=4，得到x，y都为自然数的解有x=0y=4,x=1y=3,x=2y=2,x=3y=1,x=4y=0共5对，故④正确．
【详解】解：将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，
解得x=5y=−1，
将x=5y=−1代入方程x+y=a+3左右两边，
左边=5−1=4，右边1+3=4，
∴当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解，故①正确；
方程组x+2y=6−3a①x−y=6a② ①+②得2x+y=6+3a，
若2x+y=3，则6+3a=3，解得a=−1，故②正确；
∵x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，
∴两方程相加得3x+3y=12，
∴x+y=4，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解有x=0y=4,x=1y=3,x=2y=2,x=3y=1,x=4y=0共5对，
故④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
8．（3分）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=−2，则方程组3a1x+2b1y=a1+c13a2x+2b2y=a2+c2的解是（ ）
A．x=43y=1B．x=43y=−1C．x=−1y=−1D．x=−1y=1
【答案】B
【分析】可得a13x−1+b12y=c1a23x−1+b22y=c2，从而可得3x−1=32y=2，即可求解．
【详解】解：由3a1x+2b1y=a1+c13a2x+2b2y=a2+c2得
a13x−1+b12y=c1a23x−1+b22y=c2，
∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=−2，
∴3x−1=32y=−2，
解得：x=43y=−1；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的应用，解二元一次方程组，掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键．
9．（3分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“Δ”为：(a,b)Δ(c,d)=(ac+bd,ad+bc)．如果对于任意实数u,v，都有(u,v)Δ(x,y)=(u,v)，那么(x,y)为( )
A．(0,1)B．(1,0)C．(−1,0)D．(0,−1)
【答案】B
【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程ux+vy=u，uy+vx=v是解此题的关键．
【详解】解：∵u,v△x,y=ux+vy,uy+vx=u,v，
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x=1，y=0，
∴x,y为1,0．
故选：B．
10．（3分）某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ）
A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天
【答案】D
【分析】设口罩的单价为x元，酒精的单价为y元，假设第1天、第2天的记录无误，根据题意列二元一次方程组求解，再分别计算第3天和第4天的收入，比较即可得到答案．
【详解】解：设口罩的单价为x元，酒精的单价为y元，
若第1天、第2天的记录无误时，依题意得：13x+7y=22218x+11y=327，
解得：x=9y=15，
∴第3天收入7×9+11×15=228元，符合记录，
第4天收入23×9+20×15=507元，不符合记录，
∴第4天的记录有误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数的混合运算，根据题意正确列方程组是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知x=1y=−2是方程组2ax−3y=10−bax−by=−1的一个解，则(b−a)3=_________．
【答案】−125
【分析】把x=1y=−2代入方程组可得关于a,b的二元一次方程，根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解．
【详解】解：把x=1y=−2代入方程组可得2a+6=10−ba+2b=−1，整理得，2a+b=4a+2b=−1
∴2a+b=4①a+2b=−1②，
①×2−②得，4a+2b−a−2b=8−(−1)，整理得，3a=9，解得，a=3，
把a=3代入①得，2×3+b=4，解得，b=−2，
∴(b−a)3=(−2−3)3=(−5)3=−125，
故答案为：−125．
【点睛】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组的方法，掌握等式的性质，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
12．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=5ax+2y=2a+3（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx−2y（k是常数）的值始终不变，则k= ．
【答案】−12/−0.5
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出−x−4y=−15，可得−12x−2y=−152，然后结合已知可得答案．
【详解】解：2x+3y=5a①x+2y=2a+3②，
①×2−②×5得：−x−4y=−15，
∴−12x−2y=−152，
∵不论a取什么实数，代数式kx−2y（k是常数）的值始终不变，
∴k=−12，
故答案为：−12．
13．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组x+2y=k3x+5y=k−1的解满足x−y=7，那么k的值是 ．
【答案】−2
【分析】两个方程相减可得2x+3y=−1，与x−y=7联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案．
【详解】解：x+2y=k①3x+5y=k−1②，
②-①，得2x+3y=−1，
解方程组2x+3y=−1x−y=7，得x=4y=−3，
∴k=4+2×−3=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．
14．（3分）古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只．
【答案】45
【分析】设甲放x只羊，乙放y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同”列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲放x只羊，乙放y只羊，
由题意得：x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得：x=63y=45，
即：乙的羊数量45只．
故答案为：45．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，根据数量的变化，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
15．（3分）已知关于x，y的方程组2x−3y=3mx+my=−1和2mx+3ny=33x+2y=11的解相同，则3m+n3的值为 ．
【答案】2764
【分析】根据两个方程组共解可得到方程组2x−3y=33x+2y=11的解即为原方程组的解，解方程组2x−3y=33x+2y=11后，将x，y的值代入mx+my=−12mx+3ny=3计算出m，n的值即可计算代数式的值．
【详解】解：解方程组2x−3y=33x+2y=11可得：x=3y=1，
将x=3y=1代入mx+my=−12mx+3ny=3可得3m+m=−16m+3n=3解得：m=−14n=32，
∴3m+n3=3×(−14)+323=2764，
故答案为：2764
【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，根据共解求出方程组的解是解决本题的关键．
16．（3分）一个圆盘里摆12颗糖，一个方盘里摆13颗糖，小张发现他有110颗糖恰好可以摆满所有的盘子，请问这时圆盘有 个．
【答案】7
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设圆盘有x个，方盘有y个，列出方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设圆盘有x个，方盘有y个，
由题意可得：12x+13y=110，
整理得：y=110−12x13，
解得：当x=7时，y=2，且无其他正整数解，
∴圆盘有7个，
故答案为：7．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程组：
(1)x+2y=55x−2y=7
(2)x2+y3=22x+3−3y=1
(3)x+y=−1x−y+z=72x−y−z=0
【答案】(1)x=2y=32
(2)x=2y=3
(3)x=1y=−2z=4
【分析】（1）用加减消元法先算出x的值，然后代入计算y即可；
（2）先化简方程组，然后用加减消元法算出x的值，代入计算y值即可；
（3）先将后边两个方程相加，得到一个和x，y相关的方程，在和第一个方程联立求解x，y，在代入求z即可．
【详解】（1）x+2y=5①5x−2y=7②，
①+②可得：6x=12，解得：x=2，
将x=2代入①可得：y=32，
∴原方程组的解是x=2y=32；
（2）化简原方程组可得：3x+2y=12①2x−3y=−5②，
①×3+②×2可得：9x+4x=36−10，解得：x=2，
将x=2代入①可得：y=3
∴原方程组的解是x=2y=3；
（3）x+y=−1①x−y+z=7②2x−y−z=0③，
②+③可得：3x−2y=7④，
①×2+④可得：5x=5，解得：x=1，
将x=1代入①可得：y=−2，
将x=1，y=−2代入②可得：z=4，
∴原方程组的解是：x=1y=−2z=4．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，选择合适的消元法解方程是解题的关键．
18．（6分）在解方程组x−2y=2①4x−2y=5②时，小颖、小明、小丽、小亮四位同学的解法各不相同：
A、小颖的解法：由①得x=2+2y③，把③代入②得，42+2y−2y=5；
B、小明的解法：由①得2y=x−2③，把③代入②得，4x−x−2=5；
C、小丽的解法：由①②，得3x=−3；
D、小亮的解法：由②得3x+x−2y=5③，把①代入③得，3x+2=5．
(1)反思：上述四人解方程组的部分过程中，你发现______的解题过程有错误（从A、B、C、D中选择）；请直接写出此方程组的正确解______．
(2)请选择你喜欢的方法解方程组x2+3y2=2①2x−2=−3y+2②
【答案】(1)C，x=1y=−12
(2)x=−6y=103
【分析】（1）由x−2y=2①4x−2y=5②的① −②可得−3x=−3可得小丽的解法错误，再正确的解方程组即可；
（2）由①得：x+3y=4，可得x−2=−3y+2③，把③代入②得：2−3y+2=−3y+2，先求解y，再求解x即可．
【详解】（1）解：小丽的解法错误：
x−2y=2,①4x−2y=5.②，
①−②得：−3x=−3，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=−12，
∴方程组的解为：x=1y=−12；
故答案为：C；x=1y=−12
（2）x2+3y2=2①2x−2=−3y+2②
由① 得：x+3y=4，
∴x−2=−3y+2③，
把③代入②得：2−3y+2=−3y+2，
解得：y=103，
把y=103代入x+3y=4，
∴x=−6，
∴方程组的解为：x=−6y=103．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用代入法与加减法解二元一次方程组是解本题的关键．
19．（8分）已知关于x，y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5（n是常数）．
(1)当n=1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5．
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①x=1y=1，x=3y=0②−4
(2)−2或0
【分析】（1）①根据x，y为非负数即可求得方程x+2y=3的所有非负整数解；②先解方程组x+2y=3x+y=2，然后将x，y的值代入方程x−2y+mx=−5中即可获得答案；
（2）将n=3代入原方程组，利用加减消元法得到x=−55+2m，再根据方程组有整数解，且m为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵x，y为非负整数，
∴方程x+2y=3的所有非负整数解为
x=1y=1，x=3y=0；
②∵根据题意可得x+2y=3x+y=2，
解得x=1y=1，
将x=1y=1代入x−2y+mx=−5中，
解得 m=−4；
（2）当n=3时，原方程组可化为3x+4y=5①x−2y+mx=−5②，
由①+②×2，可得 5x+2mx=−5，
整理可得x=−55+2m，
∵方程组由整数解，且m为整数，
∴5+2m=±1或5+2m=±5，
当5+2m=1时，解得m=−2，此时方程组的解为x=−5y=5；
当5+2m=−1时，解得m=−3，此时方程组的解为x=5y=−52（舍去）；
当5+2m=5时，解得m=0，此时方程组的解为x=−1y=2；
当5+2m=−5时，解得m=−5，此时方程组的解为x=1y=12（舍去）．
综上所述，整数m的值为−2或0．（3分）
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定m的值是解题关键．
20．（8分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法，把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．
请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：
(1)3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7；
(2)x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1．
【答案】(1)x=1y=2；
(2)x=9y=−3．
【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法．
（1）设x+y=m，6x−y=n，利用加减消元法求得m=3n=4，即x+y=36x−y=4，再利用加减消元法即可求解；
（2）设x+y=6m，x−y=12n，利用加减消元法求得m=1n=1，即x+y=6x−y=12，再利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7，
设x+y=m，6x−y=n，则原方程组可化为3m−2n=1①m+n=7②，
①+②×2得5m=15，解得m=3，
将m=3代入②，得3+n=7，解得n=4，
解得m=3n=4，即x+y=36x−y=4，
解得x=1y=2；
（2）解：x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1，
设x+y=6m，x−y=12n，则原方程组可化为3m+4n=7①2m−3n=−1②，
①×3+②×4得17m=17，解得m=1，
将m=1代入②，得2−3n=−1，解得n=1，
解得m=1n=1，即x+y=6x−y=12，
解得x=9y=−3．
21．（8分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F(n)=pq．例如42可以分解成1×42，2×21，3×14或6×7，因为42−1>21−2>14−3>7−6，所以6×7是42的最佳分解，所以F(42)=67．
(1)求F(56)的值；
(2)如果一个两位正整数(个位数不为0），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为2376，那么我们称这个两位正整数t为“最美数”．当t为“最美数”时，求F(t)的最大值．
【答案】(1)F(56)=78
(2)Ft的最大值为35．
【分析】（1）由题意可得：56=1×56=2×28=4×14=7×8，结合56−1>28−2>14−4>8−7即可得到56的最佳分解是：7×8，从而可得：F(56)=78；
（2）设原来的两位正整数十位数字为x，个位数字为y， 且1≤x≤9， x， y为自然数由题意易到：m=(10y+x)−(10x+y)=9(y−x)，n=(10y+x)+(10x+y)=11(x+y)，由此可得：mn=99((y−x)(y+x)结合mn=2376，可得(y−x)(x+y)=24，再结合x、y都是自然数，且1≤x≤y≤9即可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求得符合条件的x、y的值，从而可得“最美数”t的值；由所得结果结合（1）中的方法即可求得F(t)的最大值．
【详解】（1）∵56=1×56=2×28=4×14=7×8，且56−1>28−2>14−4>8−7，
∴7×8是56的最佳分解，
∴F(56)=78；
（2）设原来的两位正整数十位数字为x，个位数字为y， 且1≤x≤9， x， y为自然数．则原来的这个两位整数表示为10x+y．由题意可知：m=10y+x−10x+y=9y−x，
n=10y+x+10x+y=11x+y，
∴mn=9y−x⋅11x+y=99y−xx+y，
∴99y−xx+y=2376 ，即 y−xx+y=24，
∵x、y为自然数，且1≤x≤y≤9，
∴ y−x=1x+y=24 y−x=2x+y=12 y−x=3x+y=8 y−x=4x+y=6 ，
解得：x=11.5y=12.5， x=5y=7， x=2.5y=5.5， x=1y=5 ，
∵x、y为自然数，且1≤x≤y≤9，
∴ x=5y=7 或 x=1y=5，
∴t=5×10+7=57或t=1×10+5=15，
即“最美数”为57和15；
当t=57时，∵57=1×57=3×19
∴F57=319；
当t=15时，∵15=1×15=3×5，
∴F15=35，
∵35>319，
∴Ft的最大值为：35．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，解题关键是掌握最佳分解和“最美数”的概念．
22．（8分）探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．

素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如下表：
调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．
素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本(一张兑换券只能兑换一种商品)．
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求m，n的值．
【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
【答案】[任务1]一盒水笔的单价为15元，一本笔记本的单价为6元；
[任务2]m=10，n=20；
[任务3]用30张兑换券兑换90盒水笔，再花240元购买40本笔记本．
【分析】[任务1] 设一盒水笔为x元，一本笔记本的单价为y元，根据题意列方程组求解；
[任务2]根据题意列方程组求解；
[任务3]尽量兑换水笔，再购买笔记本更优惠．
【详解】解：[任务1]设一盒水笔为x元，一本笔记本的单价为y元，
由题意得：x−9=y10x+10y=210，
解得：x=15y=6，
答：一盒水笔的单价为15元，一本笔记本的单价为6元；
[任务2]解：由题意得：m+n=30+5+15−2090m+70n=94×5+80×15+71×30−20×75，
解得：m=10n=20，
∴m=10，n=20；
[任务3]解：共需要水笔：10×3+20×2+20=90(盒)，笔记本：2×10+20=40(本)，
30张“吉祥超市”的兑换券可兑换3×30=90盒水笔，
40×6=240元，
所以最佳采购方案为：用30张兑换券兑换90盒水笔，再花240元购买40本笔记本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
23．（8分）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
(1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩x万只，则总销售额为______万元．（用含x的代数式表示）
(2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．
【答案】(1)1.2x+12；
(2)甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
(3)该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩x万只，乙种型号的防疫口罩y万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该同学购买m只甲型口罩，n只乙型口罩，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩x万只，则总销售额为1.8x+0.620−x=1.2x+12（万元），
故答案为：1.2x+12；
（2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只，
由题意可得：
1.8−1.2x+0.6−0.4y=8.8x+y=20，
解得：x=12y=8，
答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
（3）设该同学购买m只甲型口罩，n只乙型口罩，
根据题意得：1.8×(1+50%)m+0.6n=16.2，
∴m=6−29n．
又∵m，n均为正整数，
∴ m=4n=9或m=2n=18，
∴该同学共有2种购买方案，
方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；
方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．获奖级别
一等奖
二等奖
三等奖
调整前人数(单位：个)
5
15
30
调整后人数(单位：个)
m
20
n
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只