高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题28高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数)(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题28高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数)(B)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题范围：第一章----第四章 指数函数
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·广州市第一中学高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设函数，则满的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京通州·高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·广东·高一期中）已知函数，，若对于任意，均有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南南阳·高一期中）已知是定义在R上的奇函数，且对任意，当时，都有，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，都有；
②对任意的实数，都有；
③.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．不等式> 0的解集为
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
10．（2022·广东·东莞四中高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．存在最值
C．是减函数D．不具有奇偶性
11．（2022·福建省福州教育学院附属中学高一阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·河南南阳·高一期中）若满足对任意的实数a，b都有，且，则下列判断正确的有（ ）．
A．是奇函数
B．在定义域上单调递减
C．当时，函数
D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·江苏·西安交大苏州附中高一阶段练习）函数的定义域为__________.
14．（2022·天津河东·高一期中）已知，，，则a，b，c三者的大小关系______．
15．（2022·上海市市西中学高一期中）已知幂函数，且，则的取值范围是__________．
16．（2021·四川师范大学附属中学高一阶段练习）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·江苏·宿迁市第一高级中学高一阶段练习）已知，不等式解的集合为A，集合．
(1)求集合A
(2)若，且是的充分条件，求实数a的取值范围．
18．（2022·广东·高一期中）设函数.
(1)请判断并证明的奇偶性；
(2)当时，若，且在上的最小值为，求实数的值.
19．（2022·北京通州·高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)用定义证明函数是增函数；
(3)解不等式.
20．（2022·广东·高一期中）某医疗器械工厂计划在2022年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
(2)2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?
21．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数是定义域的奇函数．
(1)求值；
(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上最小值为，求的值．
22．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的函数满足对任意的a，b都有，且当时，.
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)判断的单调性，并加以证明；
(3)对任意的都有不等式恒成立，求的取值范围.
专题28 高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数）（B）
命题范围：第一章----第四章 指数函数
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再求交集即可.
【详解】由，可得，
由，可得，
所以.
故选：B
2．（2022·广东·广州市第一中学高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为当时一定有；当时，或，
所以“”是“”充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设函数，则满的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先画图，再根据函数的单调性，列式求的取值范围.
【详解】由条件画图可得，
可知， ，解得：.
故选：D
4．（2022·北京通州·高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意要使函数有意义，则，解之即可.
【详解】要使函数有意义，则， ，，
故函数的定义域为：
故选：C
5．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式.
【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得：
故选：B
6．（2022·广东·高一期中）已知函数，，若对于任意，均有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】问题等价于在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式可求取范围.
【详解】设，恒成立，即恒成立，
时，恒成立，即恒成立，
时，，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4．
∴，解得，实数的取值范围是．
故选：C．
7．（2022·河南南阳·高一期中）已知是定义在R上的奇函数，且对任意，当时，都有，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由题设条件证得在R上单调递增，再将题干中不等式转化为，由的单调性得可，从而求得，即求得所求不等式的解集.
【详解】因为对任意，当时，都有，即，
令，则在R上单调递增，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
由得，即，
所以由的单调性得，即，即，
所以，即的解集为.
故选：B.
8．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，都有；
②对任意的实数，都有；
③.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．不等式> 0的解集为
【答案】A
【分析】选项A，令，代入求解即可判定；选项B，由函数是奇函数，可判定；选项C，任取，，结合，即可判定；选项D，结合函数的单调性，以及，即可求解判定.
【详解】选项A，令，正确；
选项B，由函数是定义在R上的奇函数，，错误；
选项C，任取，，
即，又，故，
故，即，即函数在上单调递增，错误；
选项D，由选项B，函数在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上也单调递增，又，故当时，的解为，当时，由，的解为，故不等式> 0的解集为，错误.
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】得，再代入求判断A；由函数定义域即可判断求B；由图象平移可判断的区间单调性和对称中心，从而判断C、D.
【详解】因为，则，故A正确；
由解析式知定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，故B错误；
的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到，
故在上递减且关于对称，故C错误，D正确．
故选：AD．
10．（2022·广东·东莞四中高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．存在最值
C．是减函数D．不具有奇偶性
【答案】CD
【分析】采用待定系数法，由可求得解析式；根据幂函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断方法可得结果.
【详解】设，则，解得：，；
对于A，的定义域为，A错误；
对于B，的值域为，无最值，B错误；
对于C，，在上是减函数，C正确；
对于D，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，D正确.
故选：CD.
11．（2022·福建省福州教育学院附属中学高一阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于AD，当时，不成立；对于BC，用作差法比较大小即可.
【详解】当时，A错误；
因为，所以，所以，所以B正确；
因为，所以，所以C正确；
当时，D错误；
故选：BC.
12．（2022·河南南阳·高一期中）若满足对任意的实数a，b都有，且，则下列判断正确的有（ ）．
A．是奇函数
B．在定义域上单调递减
C．当时，函数
D．
【答案】CD
【分析】利用新定义函数的性质进行判断，计算出判断A；根据函数单调性的定义判断出；先利用证明对所有的有理数，都有，然后用无理数都可以看作一个有理数的极限，由极限的性质得出，这样就可判断；根据定义计算，然后求出选项的和即可.
【详解】对于选项A，令，则，即，
所以，所以函数不可能是奇函数，故A错误；
对于选项，对于任意的，，若存在，使得，
则，与矛盾，故对于任意的，，所以任意的，，
因为，所以对于任意的正整数，，所以，
同理，
对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），
则，
对任意正无理数，可看作是某个有理数的极限，
而，所以是的极限，所以，
综上，对所有的正实数，都有，故正确；
对于选项，设，则，由对选项的分析可知：当时，则有，故，所以函数是增函数，故错误；
对于选项，由已知可知，所以，所以，
故正确，
故选：.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·江苏·西安交大苏州附中高一阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】根据函数有意义，列出不等式组，求出定义域.
【详解】有题意得：，解得：且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（2022·天津河东·高一期中）已知，，，则a，b，c三者的大小关系______．
【答案】
【分析】根据函数的单调性比较大小．
【详解】解：，，
构造函数，为R上的递增函数，
，
．
故答案为：．
15．（2022·上海市市西中学高一期中）已知幂函数，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据函数的定义域和单调性列不等式组即可求解.
【详解】,
，
且函数在上单调递增，
而，
，解得.
故答案为：
16．（2021·四川师范大学附属中学高一阶段练习）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据函数解析式可得，令，则是单调增函数且，进而可得，对恒成立，结合一元二次不等式恒成立即可求解.
【详解】，
，
有，又为单调增函数，
令，可得是单调增函数，且，
由得，
即，即对恒成立．
当时显然成立；
当时，需，解得，
综上可得．
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·江苏·宿迁市第一高级中学高一阶段练习）已知，不等式解的集合为A，集合．
(1)求集合A
(2)若，且是的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据和的大小分类讨论得集合；
（2）由（1）得集合，由充分条件得包含关系，再由集合的包含关系得不等式组求解．
【详解】（1）等价于，对应方程的根为
①当，则；
②当，则；
③当，则；
（2）因为是的充分条件，所以．
所以， 故a的取值范围为．
18．（2022·广东·高一期中）设函数.
(1)请判断并证明的奇偶性；
(2)当时，若，且在上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)当为正奇数时，为奇函数.；当为正偶数时，为非奇非偶函数.
(2)1
【分析】（1）分为正奇数和为正偶数两种类型讨论，研究函数定义域，比较和的关系得出奇偶性的结论.
（2），设，在上的最小值为，等价于函数在上的最小值为，讨论函数单调性，计算最小值，求实数的值.
【详解】（1）当为正奇数时，定义域为，由可得，则有，即为奇函数.；
当为正偶数时，定义域为，由，，
可得且，所以为非奇非偶函数.
（2）当时，，
则
设，因为，所以；
问题等价于函数在上的最小值为；
一元二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为；
当时，有，得；
当时，有，得（舍去）；
综上所述：实数的值为1.
19．（2022·北京通州·高一期中）已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)用定义证明函数是增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数可得；
（2）利用定义法直接证明函数的单调性；
（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式.
【详解】（1）由函数是奇函数，
得，
解得；经检验成立
（2）由（1）得，
任取，，且，即，，
则，
即，
所以函数是增函数；
（3）由（1）得，函数为奇函数，，
则，
又由（2）得，函数单调递增，
所以，即，
解得，
所以该不等式的解集为.
20．（2022·广东·高一期中）某医疗器械工厂计划在2022年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
(2)2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)2022年产量为千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元
【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型得；
（2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案．
【详解】（1）销售千部手机获得的销售额为：
当时，
当时，
故
（2）当时，，当时，
当时，，当且仅当，即时，等号成立
因为，
所以当(千部)时，所获利润最大，最大利润为3800万元．
21．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数是定义域的奇函数．
(1)求值；
(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；
(3)
【分析】（1）由函数为奇函数得，解方程即可；
（2）由确定的取值范围，进而判断函数单调性，根据单调性可得二次不等式恒成立，求得参赛范围；
（3）由可得，进而可得函数，再利用换元法将函数转化为二次函数，分情况讨论二次函数最值即可.
（1）
是定义域为的奇函数，
，即，
解得；经检验成立
（2）
因为函数（且），
又，
，又，
，
由于单调递增，单调递减，故在上单调递增，
不等式化为．
，即恒成立，
，解得；
（3）
由已知，得，即，解得，或（舍去），
，
令，是增函数，
，，
则，
若，当时，，解得,不成立；
若，当时，，解得，成立；
所以．
22．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的函数满足对任意的a，b都有，且当时，.
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)判断的单调性，并加以证明；
(3)对任意的都有不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先函数的定义域关于原点对称且，得证；
（2）先设，，结合题意可证在上单调递增.，再由为偶函数，可证得在上单调递减；
（3）根据已知和单调性去掉函数符号，然后分离参数，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）为偶函数，证明如下：
∵函数的定义域为，令，
，
令，所以，解得：，
令，所以，解得：，
所以，∴为偶函数.
（2）在上单调递增，在上单调递减， 证明如下：
证明：且
因为，
所以，
，，，
即，在上单调递增.
由（1）知，为偶函数，所以在上单调递减.
（3）对任意的都有不等式恒成立,
所以对任意的恒成立,
因为为偶函数，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减.
所以对任意的恒成立，
当时，，
所以，
则或.
故的取值范围为.