高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第9练指数与指数函数(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第9练指数与指数函数(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

1.（人A必修一P109习题4.1T7变式）设，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
2.（人A必修一P118习题4.2T6变式）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3. （人A必修一P109习题4.1T6变式）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是 小时
4. （人A必修一P118习题4.2T1变式）函数的定义域为 ；值域为 .
二、考点分类练
(一)指数幂的运算
5．（2022届河南省许平汝联盟高三下学期3月质量检测）已知，，则ab=（ ）
A．2B．C．D．1
6. （2022届“皖豫名校联盟体”高三第三次考试）某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（ ）
（参考数据：）
A．4900mB．5500mC．6200mD．7400m
7. （多选）下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
(二)指数函数的图象及应用
8．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学高三下学期联考）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
9. 若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
10. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
(三)指数函数的性质及应用
11．（2022届广东省广州市高三上学期第三次月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
12. （2022届山东省潍坊市高三上学期期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是奇函数
C．在定义域上是减函数
D．无最小值，无最大值
13. （2021届江西省南昌县高三上学期期末）已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.
三、最新模拟练
14．（2022届北京市西城区高三二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022届河南省豫西名校高三4月质检）若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
17．（2022届山西省晋中市高三二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
18．（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2022届河北省邯郸市大名县高三上学期强化训练）函数的图像恒过一定点，这个定点是___________.
20．（2022届江苏省南通市高三下学期联考）若，则的最小值为_________．
21．（2022届山西省吕梁市名校金科大联考高三上学期12月月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）.过点的直线与函数的图象交于，两点.
(1)若存在直线，使得，求的取值范围；
(2)证明：.
四、高考真题练
22．(2020全国卷Ⅰ)若，则( )
A．B．C．D．
23. (2020全国卷Ⅱ)若，则( )
A．B．C．D．
24.(2019全国卷Ⅲ)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A．B．
C．D．
25．(2017全国卷Ⅰ)设为正数,且,则( )
A．B．C．D．
26.(2016全国卷Ⅲ)已知,,,则( )
A．B．C．D．
五、综合提升练
27.（2022届上海市向明中学高三上学期月考）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①与②均不正确
28.（多选）（2022届江苏省盐城 、淮安、 宿迁 、如东等地高三上学期联考）已知函数，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
29.（2022届陕西省西安市高三上学期练习）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
30．定义在Ｄ上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数，.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.
第9练 指数与指数函数
一、课本变式练
1.（人A必修一P109习题4.1T7变式）设，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】因为，所以，故.
故选C
2.（人A必修一P118习题4.2T6变式）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，，根据在上是增函数，所以，即.故选D.
3. （人A必修一P109习题4.1T6变式）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是 小时
【答案】18
【解析】，食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，
，解得，即，，即该食品在的保鲜时间是18小时．
4. （人A必修一P118习题4.2T1变式）函数的定义域为 ；值域为 .
【答案】
【解析】由得的定义域为；由，得.
二、考点分类练
(一)指数幂的运算
5．（2022届河南省许平汝联盟高三下学期3月质量检测）已知，，则ab=（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】因，，因此有，即，而函数在R上单调递增，则，
所以.故选B
6. （2022届“皖豫名校联盟体”高三第三次考试）某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（ ）
（参考数据：）
A．4900mB．5500mC．6200mD．7400m
【答案】B
【解析】记甲、乙两处的海拔高度分别为，则由题可知：，则m，故选B
7. （多选）下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
【答案】CD
【解析】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选CD.
(二)指数函数的图象及应用
8．（2022届浙江省富阳中学、浦江中学高三下学期联考）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.
①若,，在定义域内单调递减，，令时，
如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.
如图D，解得，无意义，故D错.
②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合故选B
9. 若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
故选BC
10. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选AC
(三)指数函数的性质及应用
11．（2022届广东省广州市高三上学期第三次月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，即，
令，则在上单调递增，所以.故选C．
12. （2022届山东省潍坊市高三上学期期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是奇函数
C．在定义域上是减函数
D．无最小值，无最大值
【答案】BD
【解析】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确，故选BD
13. （2021届江西省南昌县高三上学期期末）已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.
【答案】
【解析】，因为，
所以，.
，又因为，
所以，，
所以，，
所以.令，，则，
所以.
设，，则，在上单调递增，
所以，，故.
三、最新模拟练
14．（2022届北京市西城区高三二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即，故选B
15．（2022届河南省豫西名校高三4月质检）若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，
所以．故选D．
16．（2022届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线对称B．点对称
C．直线对称D．点对称
【答案】D
【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．故选D．
17．（2022届山西省晋中市高三二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，对任意的，，
所以，函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，排除CD选项，
又恒成立，可排除A选项.故选B.
18．（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；故选ACD
19．（2022届河北省邯郸市大名县高三上学期强化训练）函数的图像恒过一定点，这个定点是___________.
【答案】
【解析】当即时，，故函数过定点.
20．（2022届江苏省南通市高三下学期联考）若，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，
所以，当时，取最小值.
21．（2022届山西省吕梁市名校金科大联考高三上学期12月月考）已知函数（其中e是自然对数的底数）.过点的直线与函数的图象交于，两点.
(1)若存在直线，使得，求的取值范围；
(2)证明：.
【解析】 (1)解：由题意可知，直线的斜率存在，设的方程为，
由直线过点，可得，即.
因为直线与函数的图象交于，两点，且，
所以，故.
故若存在直线，使得，的取值范围为.
(2)证明：由题意可知，，整理得，不妨设，
要证，只需证明，
即，
即.
整理得，设，即证，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
即，
即，
故.
四、高考真题练
22．(2020全国卷Ⅰ)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选B．
23. (2020全国卷Ⅱ)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选A．
24.(2019全国卷Ⅲ)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，
，故选C．
25．(2017全国卷Ⅰ)设为正数,且,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令,则,,
∴,则
,则,故选D．
26.(2016全国卷Ⅲ)已知,,,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,,故选A.
五、综合提升练
27.（2022届上海市向明中学高三上学期月考）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①与②均不正确
【答案】A
【解析】令函数，
可得函数为单调递增函数，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，
①中，因为，且，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正确；
②中，若，不妨设，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正确.故选A.
28.（多选）（2022届江苏省盐城 、淮安、 宿迁 、如东等地高三上学期联考）已知函数，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对选项A：因为，所以，故选项A正确；
对选项B：因为，所以，故选项B错误；
对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，
不妨设，则，所以，即，故选项C正确；
对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，
又，所以由凹凸性有，
所以有，
即，
即，故选项D错误；故选AC.
29.（2022届陕西省西安市高三上学期练习）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；综上所述：
30．定义在Ｄ上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数，.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，显然在上递减，即有，
于是得在上的值域为，显然不存在常数，使成立，
所以函数在上不是有界函数；
（2）依题意，在上恒成立，而，
于是得在上恒成立，
当x≥0时，令，，则，因此，在上递减，
当时，，即当时，取最大值-5，
令，显然在上递增，当时，，即当时，取最小值1，
从而有，
所以实数a的取值范围为；
（3）依题意，，，而，则在上递减，
于是得，即，
①当时，恒有，此时，，
解，当时，，而成立，则，
当时，，解得，
当时，，而不成立，此时无解，
综上得当时，，即当时，，
②当，恒有，此时，，
解得，即当时，，
所以，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.