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高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第7练函数的性质(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第7练函数的性质(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修一P85习题3.2T5变式）下列函数是奇函数的是( )
A．B．C．D．
2. （人A必修一P85习题3.2T7（1）变式）下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（人A必修一P85习题3.2T11变式）已知函数为R上的奇函数，当时，，则 .
4. （人A必修一P85习题3.2T7（2）变式）函数的最小值是 .
二、考点分类练
(一)函数的值域与最值
5．（2022届广东省深圳市高三上学期期末）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
6. （2022届浙江省3月联考）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
(二)函数的奇偶性
7．（2022届甘肃省兰州市高三诊断）已知是奇函数，当时，，若，则( )
A．B．C．2D．1
8．（2022届星云联盟高三统一模拟）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数
9. （2022届福建省高三4月百校联合测评）已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是___________.
(三)函数的单调性
10．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11. （2022届山东省聊城市高三下学期二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
12. （2022届辽宁省锦州市高三第一次质量检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
13. （2022届皖豫名校联盟体高三第三次联考）函数的单调递减区间为__________．
(四)函数的周期性
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
15. （2022届陕西省汉中市高三下学期教学质量第二次检测）定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
三、最新模拟练
16．（2022届江苏省南通市如皋市高三下学期适应性考试）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
17．（2022届河南省许昌济源平顶山高三第三次质量检测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
19．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）若为奇函数，则（ ）
A．-8B．-4C．-2D．0
20．（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．(，1)B．(－∞，1)
C．D．
21．（2022届天津市静海区高三下学期4月调研）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数．若关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022届江西省临川高三4月模拟）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
23．已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
24.（多选）（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
25．（2022届江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校高三下学期4月阶段性测试）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0A．0B．C．D．1
26.（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则______．
27. （2022届陕西省咸阳市高三3月月考）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
四、高考真题练
28. （2021新高考卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
29.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
30．（2021新高考卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则 ．
31．（2021新高考卷Ⅰ）函数的最小值为 ．
32. （2021新高考卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时,；③是奇函数．
五、综合提升练
33.（2022届江西省赣州市高三二模）若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
34.（2022届福建省泉州市高三质量监测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则
35.（2022届北京市十一学校高三4月月考）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
36．（2022届上海市南模中学高三下学期3月月考）己知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
第7练 函数的性质
一、课本变式练
1.（人A必修一P85习题3.2T5变式）下列函数是奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为偶函数，故A不符题意；，定义域为[0，)不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数，故B不符题意；，定义域由－x＞0得(－，0)不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故C不符题意；，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为奇函数，故选D.
2. （人A必修一P85习题3.2T7（1）变式）下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.
故选D.
3.（人A必修一P85习题3.2T11变式）已知函数为R上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】因为为R上的奇函数，所以，当时，此时，所以.
4. （人A必修一P85习题3.2T7（2）变式）函数的最小值是 .
【答案】3
【解析】在定义域上为增函数，所以其最小值为.
二、考点分类练
(一)函数的值域与最值
5．（2022届广东省深圳市高三上学期期末）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
【答案】C
【解析】根据，可知：关于对称，那么要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，因为递增，所以最小值与最大值分别为：，，，故选C.
6. （2022届浙江省3月联考）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.
(二)函数的奇偶性
7．（2022届甘肃省兰州市高三诊断）已知是奇函数，当时，，若，则( )
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】由题可知，∴．故选C．
8．（2022届星云联盟高三统一模拟）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数
【答案】B
【解析】对于A，，且
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，对于B，，且，所以的定义域关于原点对称
又，所以为奇函数，故B正确
对于C，，且
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，对于D，，且，所以的定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数，故D错误，故选B
9. （2022届福建省高三4月百校联合测评）已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知，仅有一个零点，结合单调性，可知.
故答案为（答案不唯一）.
(三)函数的单调性
10．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】因为，当时，此时为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；因为，，
所以，所以关于对称，故C正确，D错误；故选C
11. （2022届山东省聊城市高三下学期二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，因为，所以，即，设，则在上单调递减，
而，则，解得：；因为为R上的奇函数，所以，则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，则，解得：；综上，原不等式的解集为.故选B.
12. （2022届辽宁省锦州市高三第一次质量检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】为奇函数，，即，关于点对称；
为偶函数，，即，关于对称；由，得：，，即是周期为的周期函数；对于A，，A错误；对于C，，即，关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选CD.
13. （2022届皖豫名校联盟体高三第三次联考）函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减，综上，的单调递减区间为
(四)函数的周期性
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，定义在上的函数满足，所以，
所以是周期为的周期函数.故选D
15. （2022届陕西省汉中市高三下学期教学质量第二次检测）定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
【答案】B
【解析】由得是周期函数，周期是5，，，，，，所以，
．故选B．
三、最新模拟练
16．（2022届江苏省南通市如皋市高三下学期适应性考试）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，所以，
所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选D
17．（2022届河南省许昌济源平顶山高三第三次质量检测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．故选D．
18．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以A不正确；
因为，，
所以，故B不正确；
因为，
所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在的图象上取一点，则其关于点的点为，
因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.故选C
19．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）若为奇函数，则（ ）
A．-8B．-4C．-2D．0
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以，又，可得.故选A.
20．（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．(，1)B．(－∞，1)
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴为定义在上的偶函数
又∵，∴在上递减，则在上递增，即，则解得：．故选D．
21．（2022届天津市静海区高三下学期4月调研）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数．若关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①，则，即②，
由①②得，，
方程为（*），
令是增函数，，则，
方程（*）变为，此方程在上有两不等实解，
记，则，解得，
故选B．
22．（2022届江西省临川高三4月模拟）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，且，所以函数是定义在上的奇函数，所以，解得，即，；
因为为偶函数，所以，即的图象关于对称，
又满足，所以，则，，即函数是周期函数，周期为4，
则.故选A.
23．已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
【答案】A
【解析】函数定义域为，
其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，
当时，，当或时，取一切实数，当时，，
，即的图象关于点对称，
函数定义域为R，在R上单调递增，值域为，其图象夹在二平行直线之间，
，的图象关于点对称，
因此，函数的图象与的图象有4个交点，即，它们关于点对称，
不妨令点与相互对称，与相互对称，则，，
所以.故选A
24.（多选）（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，故选ACD.
25．（2022届江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校高三下学期4月阶段性测试）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0A．0B．C．D．1
【答案】AC
【解析】A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B：时，，所以不是的周期点.故B错误；
C：时，，周期为1，周期为2也正确.故C正确；D：时，，不是周期为2的周期点，故D错误.故选AC.
26.（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则______．
【答案】480
【解析】因为定义在上的函数满足，所以是在上周期为的周期函数，
且当时，，函数图象如下所示：
依题意可得、、，且的方程为，
设，，
所以，，
所以，所以
27. （2022届陕西省咸阳市高三3月月考）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【解析】 (1)因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
(2)由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
(3)当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
四、高考真题练
28. （2021新高考卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.故选B.
29.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得：
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,故选D.
30．（2021新高考卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则 ．
【答案】1
【解析】因为函数是偶函数,
为上的奇函数,
故也为上的奇函数,
所以,
所以．
31．（2021新高考卷Ⅰ）函数的最小值为 ．
【答案】1
【解析】函数的定义域为．
当时,,
此时函数在,上为减函数,
所以；
当时,,
则,
当,时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时取得最小值为（1）．
,
函数的最小值为1．
32. （2021新高考卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时,；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一,均满足）
【解析】取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,
又,故是奇函数,满足③.
五、综合提升练
33.（2022届江西省赣州市高三二模）若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
【答案】A
【解析】由有解，
可得，=，
因为与在[1，+∞）都是增函数，
所以在是增函数，又时，
所以当时有零点.故选A.
34.（2022届福建省泉州市高三质量监测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，则，
当时，，，
，A错误；
对于B，当时，在上的单调性与在的单调性相同，
在上单调递增，在上单调递增，B正确；
对于C，由得：，
依次类推可得：，，……，则；
，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，
；
；
在上的值域为，C正确；
对于D，由图象可知：与的图象在有个交点，且，，
且，数列是等差数列，数列是等比数列，
，D错误.
故选BC.
35.（2022届北京市十一学校高三4月月考）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
【答案】（3）（4）
【解析】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有一个零点，
当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立；
（2）显然，若的值域是，则的值域包含，则,
但时，的对称轴，即在内递增，，∴（2）不成立；
（3）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：有两解，
当时，的对称轴，开口向下， 与有两个交点，∴（3）成立；
（4）如图，直线过定点,数学结合可知：,
又∵,则,
综上所诉：，∴（4）成立．
故答案为：（3）（4）．
36．（2022届上海市南模中学高三下学期3月月考）己知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
【解析】 (1)证明：因为，
所以的图象关于直线对称，
所以根据②，可知对于，
若，用分别代替②中的，
则可得
(2)证明：a）设，且，则，
因为
，
所以，所以在上为不减函数，
b）因为，
所以
……
(3)证明：对于任意，则必存在正整数，使得，
因为在上为不减函数，
所以，
由（2）知，
由①可得，在②中，令，得，
所以，
而，所以，
所以，
所以时，，
因为时，，且，
所以
1.（人A必修一P85习题3.2T5变式）下列函数是奇函数的是( )
A．B．C．D．
2. （人A必修一P85习题3.2T7（1）变式）下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（人A必修一P85习题3.2T11变式）已知函数为R上的奇函数，当时，，则 .
4. （人A必修一P85习题3.2T7（2）变式）函数的最小值是 .
二、考点分类练
(一)函数的值域与最值
5．（2022届广东省深圳市高三上学期期末）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
6. （2022届浙江省3月联考）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
(二)函数的奇偶性
7．（2022届甘肃省兰州市高三诊断）已知是奇函数，当时，，若，则( )
A．B．C．2D．1
8．（2022届星云联盟高三统一模拟）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数
9. （2022届福建省高三4月百校联合测评）已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是___________.
(三)函数的单调性
10．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11. （2022届山东省聊城市高三下学期二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
12. （2022届辽宁省锦州市高三第一次质量检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
13. （2022届皖豫名校联盟体高三第三次联考）函数的单调递减区间为__________．
(四)函数的周期性
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
15. （2022届陕西省汉中市高三下学期教学质量第二次检测）定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
三、最新模拟练
16．（2022届江苏省南通市如皋市高三下学期适应性考试）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
17．（2022届河南省许昌济源平顶山高三第三次质量检测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
19．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）若为奇函数，则（ ）
A．-8B．-4C．-2D．0
20．（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．(，1)B．(－∞，1)
C．D．
21．（2022届天津市静海区高三下学期4月调研）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数．若关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022届江西省临川高三4月模拟）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
23．已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
24.（多选）（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
25．（2022届江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校高三下学期4月阶段性测试）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0
26.（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则______．
27. （2022届陕西省咸阳市高三3月月考）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
四、高考真题练
28. （2021新高考卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
29.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
30．（2021新高考卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则 ．
31．（2021新高考卷Ⅰ）函数的最小值为 ．
32. （2021新高考卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时,；③是奇函数．
五、综合提升练
33.（2022届江西省赣州市高三二模）若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
34.（2022届福建省泉州市高三质量监测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则
35.（2022届北京市十一学校高三4月月考）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
36．（2022届上海市南模中学高三下学期3月月考）己知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
第7练 函数的性质
一、课本变式练
1.（人A必修一P85习题3.2T5变式）下列函数是奇函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为偶函数，故A不符题意；，定义域为[0，)不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数，故B不符题意；，定义域由－x＞0得(－，0)不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故C不符题意；，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为奇函数，故选D.
2. （人A必修一P85习题3.2T7（1）变式）下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.
故选D.
3.（人A必修一P85习题3.2T11变式）已知函数为R上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】因为为R上的奇函数，所以，当时，此时，所以.
4. （人A必修一P85习题3.2T7（2）变式）函数的最小值是 .
【答案】3
【解析】在定义域上为增函数，所以其最小值为.
二、考点分类练
(一)函数的值域与最值
5．（2022届广东省深圳市高三上学期期末）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
【答案】C
【解析】根据，可知：关于对称，那么要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，因为递增，所以最小值与最大值分别为：，，，故选C.
6. （2022届浙江省3月联考）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.
(二)函数的奇偶性
7．（2022届甘肃省兰州市高三诊断）已知是奇函数，当时，，若，则( )
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】由题可知，∴．故选C．
8．（2022届星云联盟高三统一模拟）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数
【答案】B
【解析】对于A，，且
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，对于B，，且，所以的定义域关于原点对称
又，所以为奇函数，故B正确
对于C，，且
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，对于D，，且，所以的定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数，故D错误，故选B
9. （2022届福建省高三4月百校联合测评）已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知，仅有一个零点，结合单调性，可知.
故答案为（答案不唯一）.
(三)函数的单调性
10．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】因为，当时，此时为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；因为，，
所以，所以关于对称，故C正确，D错误；故选C
11. （2022届山东省聊城市高三下学期二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，因为，所以，即，设，则在上单调递减，
而，则，解得：；因为为R上的奇函数，所以，则为R上的偶函数，故在上单调递增，
，则，解得：；综上，原不等式的解集为.故选B.
12. （2022届辽宁省锦州市高三第一次质量检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】为奇函数，，即，关于点对称；
为偶函数，，即，关于对称；由，得：，，即是周期为的周期函数；对于A，，A错误；对于C，，即，关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选CD.
13. （2022届皖豫名校联盟体高三第三次联考）函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减，综上，的单调递减区间为
(四)函数的周期性
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，定义在上的函数满足，所以，
所以是周期为的周期函数.故选D
15. （2022届陕西省汉中市高三下学期教学质量第二次检测）定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
【答案】B
【解析】由得是周期函数，周期是5，，，，，，所以，
．故选B．
三、最新模拟练
16．（2022届江苏省南通市如皋市高三下学期适应性考试）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，所以，
所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选D
17．（2022届河南省许昌济源平顶山高三第三次质量检测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．故选D．
18．（2022届山西省太原市高三二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以A不正确；
因为，，
所以，故B不正确；
因为，
所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在的图象上取一点，则其关于点的点为，
因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.故选C
19．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）若为奇函数，则（ ）
A．-8B．-4C．-2D．0
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以，又，可得.故选A.
20．（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．(，1)B．(－∞，1)
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴为定义在上的偶函数
又∵，∴在上递减，则在上递增，即，则解得：．故选D．
21．（2022届天津市静海区高三下学期4月调研）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数．若关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①，则，即②，
由①②得，，
方程为（*），
令是增函数，，则，
方程（*）变为，此方程在上有两不等实解，
记，则，解得，
故选B．
22．（2022届江西省临川高三4月模拟）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，且，所以函数是定义在上的奇函数，所以，解得，即，；
因为为偶函数，所以，即的图象关于对称，
又满足，所以，则，，即函数是周期函数，周期为4，
则.故选A.
23．已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
【答案】A
【解析】函数定义域为，
其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，
当时，，当或时，取一切实数，当时，，
，即的图象关于点对称，
函数定义域为R，在R上单调递增，值域为，其图象夹在二平行直线之间，
，的图象关于点对称，
因此，函数的图象与的图象有4个交点，即，它们关于点对称，
不妨令点与相互对称，与相互对称，则，，
所以.故选A
24.（多选）（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知函数，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，故选ACD.
25．（2022届江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校高三下学期4月阶段性测试）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0
【答案】AC
【解析】A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B：时，，所以不是的周期点.故B错误；
C：时，，周期为1，周期为2也正确.故C正确；D：时，，不是周期为2的周期点，故D错误.故选AC.
26.（2022届山东省潍坊市高三下学期二模）已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则______．
【答案】480
【解析】因为定义在上的函数满足，所以是在上周期为的周期函数，
且当时，，函数图象如下所示：
依题意可得、、，且的方程为，
设，，
所以，，
所以，所以
27. （2022届陕西省咸阳市高三3月月考）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【解析】 (1)因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
(2)由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
(3)当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
四、高考真题练
28. （2021新高考卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.故选B.
29.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得：
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,故选D.
30．（2021新高考卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则 ．
【答案】1
【解析】因为函数是偶函数,
为上的奇函数,
故也为上的奇函数,
所以,
所以．
31．（2021新高考卷Ⅰ）函数的最小值为 ．
【答案】1
【解析】函数的定义域为．
当时,,
此时函数在,上为减函数,
所以；
当时,,
则,
当,时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时取得最小值为（1）．
,
函数的最小值为1．
32. （2021新高考卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时,；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一,均满足）
【解析】取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,
又,故是奇函数,满足③.
五、综合提升练
33.（2022届江西省赣州市高三二模）若函数有零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
【答案】A
【解析】由有解，
可得，=，
因为与在[1，+∞）都是增函数，
所以在是增函数，又时，
所以当时有零点.故选A.
34.（2022届福建省泉州市高三质量监测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，则，
当时，，，
，A错误；
对于B，当时，在上的单调性与在的单调性相同，
在上单调递增，在上单调递增，B正确；
对于C，由得：，
依次类推可得：，，……，则；
，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，
；
；
在上的值域为，C正确；
对于D，由图象可知：与的图象在有个交点，且，，
且，数列是等差数列，数列是等比数列，
，D错误.
故选BC.
35.（2022届北京市十一学校高三4月月考）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
【答案】（3）（4）
【解析】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有一个零点，
当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立；
（2）显然，若的值域是，则的值域包含，则,
但时，的对称轴，即在内递增，，∴（2）不成立；
（3）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：有两解，
当时，的对称轴，开口向下， 与有两个交点，∴（3）成立；
（4）如图，直线过定点,数学结合可知：,
又∵,则,
综上所诉：，∴（4）成立．
故答案为：（3）（4）．
36．（2022届上海市南模中学高三下学期3月月考）己知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
【解析】 (1)证明：因为，
所以的图象关于直线对称，
所以根据②，可知对于，
若，用分别代替②中的，
则可得
(2)证明：a）设，且，则，
因为
，
所以，所以在上为不减函数，
b）因为，
所以
……
(3)证明：对于任意，则必存在正整数，使得，
因为在上为不减函数，
所以，
由（2）知，
由①可得，在②中，令，得，
所以，
而，所以，
所以，
所以时，，
因为时，，且，
所以
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