福建省福州第十二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 化简的结果是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，根据二次根式的加减计算法则求解即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、和不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
3. 已知直角三角形的两直角边长分别为7，24，则斜边长为（ ）
A. 20B. 25C. 30D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为7和24，
∴斜边长为，
故选：B．
4. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. ，2，B. 3，4，5C. 0.6，0.8，1D. 130，120，50
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】A.，
，
，2，，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；
B. ，
，
3，4，5，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C. ，
，
0.6，0.8，1，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
D. ，
，
∴130，120，50，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟记并灵活运用勾股定理的逆定理是解题关键．
5. 一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析．甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差．后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分．则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（ ）
A. 平均分和方差都不变B. 平均分和方差都改变
C. 平均分不变，方差变小D. 平均分不变，方差变大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平均数，方差的定义计算即可．
【详解】解：甲同学补考的成绩是102分，其余同学的平均分为102分，
该班测试成绩的平均分为102分，
，
平均分不变，方差变小，
故选：C．
6. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：A．
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
8. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（ ）

A. 24B. 30C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据菱形的性质可得，再证是等边三角形，由此可得，进而得菱形的边长为6，由此可求出菱形的周长．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及菱形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
∴菱形的周长为：

，
故选：A．
9. 下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A. 图象经过第一、二、四象限B. 图象与x轴的交点坐标为
C. 当时，D. y的值随着x的值的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】A、一次函数的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项A不符合题意；
B、一次函数的图象与x轴的交点坐标为，此选项正确，故选项B不符合题意；
C、一次函数，当时，此选项错误，故选项C符合题意；
D、因为，所以y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，且，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长至H，使得，连接，，如图所示，根据正方形性质得到≌，≌，再由三角形全等的性质得到，设，在中由勾股定理得到方程求解即可得到答案．
【详解】解：延长至H，使得，连接，，如图所示：

四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，即，
∴，
又，
≌，
，
，，
，，
设，则，，
在中，，解得，即，
，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形背景下求线段长，涉及正方形性质、三角形全的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：．
12. 已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是______．
【答案】21
【解析】
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得答案．
【详解】解：由方差的计算算式可知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，
所以这组数据的和为．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义．
13. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出的长，利用斜边上的中线即可得解．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵点E边的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
14. 若实数，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
15. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
利用函数图象，写出图像在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式的解集是．
故答案为．
16. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
即，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴ab＝9，
∴，
∵，
∴，
解得c＝6（舍去负值），
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式，二次根式的混合与运算，求一个数的立方根，即可求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）移项，两边同时乘以得到，等式两边开方得或，由此即可求解；
（2）去括号，移项，合并同类项，根据十字交叉法即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴当时，；当时，．
【小问2详解】
解：
，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，根据题意灵活运用公式法，配方法，十字交叉是解题的关键．
19. 在矩形中，取CD的中点E，连接并延长，交的延长线于点F．
（1）求证：．
（2）已知，，求AD的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明，只要利用证明即可．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和中点的定义，解题关键在于证明
20. 深圳某学校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次有______名初中学生接受调查，图中的值为______；
（2）接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数是______，中位数是______；
（3）求接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数．
【答案】（1），
（2），
（3）小时
【解析】
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得的值；
（2）根据统计图中数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（3）利用加权平均数公式可求得这组数据的平均数．
【小问1详解】
本次接受调查的初中学生人数为：，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
由条形统计图得，个，个，个，个，个，
出现的次数最多，次，
众数是，
第个数和第个数都是，
中位数是；
故答案：；；
【小问3详解】
（小时），
答：接受调查学生每天在校体育活动时间的平均数为小时．
【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
21. 如图，是矩形的对角线，平分，交于点，.
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形证明四边形为平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，矩形性质，角平分线的有关计算，平行四边形判定，熟练掌握矩形性质及平行四边形的判定，是解题的关键．
（1）以点D圆心，任意长为半径，分别交于两点，再以这两个点为圆心，以大于这两个点之间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点并延长交于点，即可得出答案；
（2）根据矩形的性质结合角平分线得出，根据，即可得出答案．
【小问1详解】
即为所求；
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
又平分，平分，
，
，
，
又四边形是矩形，
，
四边形为平行四边形．
22. 2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】（1）甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
（2）购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【解析】
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元,根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
【小问2详解】
设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程组或函数关系式．
23. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外没有其它差别．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一些统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）口袋中白球有______个；
（2）经确认，实验结果中白球的个数与实际一致．若小明从4个球中先摸出一球后不放回，再从余下的球中摸出一球，请用列表或树状图的方法，求小明两次摸到的球颜色相同的概率．
【答案】（1），2
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定值左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据统计数据，当 n 很大时，摸到白球的频率接近0.5;根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；
（2）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：由题可知：当很大时，摸到白球的频率将会接近，
口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，摸到白球的频率为，
口袋中白球有：（个），
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：
由树状图可知：共有种等可能结果，其中颜色相同的共有4种；
小明两次摸到的球颜色相同的概率为：．
24. 已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，如图所示．
（1）若点P为线段的中点，求的长；
（2）若四边形为正方形时，求点P的坐标；
（3）点P在上运动过程中，的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线的性质得到；
（2）根据正方形的性质得到，确定在第一象限或在第二象限的角平分线上，设，则可得，解方程即可得到答案；
（3）连接，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短知：当时，最短，利用求出即可得到最小值.
【小问1详解】
解：在中，当时，，
当时，，
∴点坐标为，点坐标为0,3，
∴，，
在中，，
∵点为的中点，
；
【小问2详解】
解：∵四边形为正方形，
，
∵点在直线上，
∴可设，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵轴，轴，，
四边形矩形，
，
由垂线段最短知：当时，最短，即此时最短
∴此时有，
∵
，
∴存在最小值，且最小值为。
【点睛】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，正方形的性质，矩形的判定定理及性质定理，垂线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键.
25. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，BD，CE，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）是等腰直角三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．摸球的次数
2048
4040
10000
12000
24000
摸到白球的次数
1061
2048
4979
6019
12012
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005