高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第5节函数y＝asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用学案

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[考试要求]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.

2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.

3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

提醒：(1)两种变换的区别

①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．

(2)变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.   (　　)

(2)把y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin .                            (　　)

(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的． (　　)

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.               (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材习题衍生

1．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2,4π，   B．2，，

C．2，，－   D．2,4π，－

C　[由题意知A＝2，f ＝＝＝，初相为－.]

2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

A　[y＝2sin＝2sin 2.]

3．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)

A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象，故选D．]

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换  

[典例1]　(1)若函数f (x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f (x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

(2)已知函数f (x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.

①求a的值及f (x)的最小正周期；

②画出f (x)在[0，π]上的图象．

(1)A　[函数f (x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f (x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．]

(2)[解]　①f (x)＝4cos xsin＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a

＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a

＝2sin＋1＋a的最大值为2，

所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.

②由①知f (x)＝2sin，列表：

画图如下：

点评：三角函数图象变换中的三个注意点

(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；

(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．

1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 5x的图象(　　)

A．向左平移个单位   B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向右平移个单位

B　[函数y＝cos 5x＝sin＝sin 5，

y＝sin＝sin 5，设平移|φ|个单位，

则＋φ＝－，

解得φ＝－，故把函数y＝cos 5x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin的图象．]

2．将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f (x)＝(　　)

A．sin   B．sin

C．sin   D．sin

B　[由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f (x)的图象，故f (x)＝sin＝sin.故选B．]

考点二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式

[典例2]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ改编)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)

①sin；②sin；

③cos；④cos.

A．①②    B．①③    C．②③    D．②④

(2)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为        ．

(1)C　(2)y＝10sin＋20，x∈[6,14]　[(1)由图象知＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2.又图象过点，

由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，

所以sin(ωx＋φ)＝sin，故①错误；

由sin＝sin＝sin知②正确；

由sin＝sin＝cos知③正确；

由sin＝cos＝cos

＝－cos知④错误．

综上可知，正确的选项为C．

(2)从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，

所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，

又×＝14－6，所以ω＝.

又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，

所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．]

点评：(1)当题目中已知最值点时，最好代入最值点求φ.

(2)若φ未指定范围，一般取|φ|最小的．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f (x)的最小正周期为(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由题图知，f ＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f (x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，

∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C．]

2.函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则(　　)

A．f (x)＝3sin＋1B．f (x)＝2sin＋2

C．f (x)＝2sin＋2D．f (x)＝2sin＋2

D　[根据图象知解得A＝2，b＝2.

f (x)的最小正周期T＝4×＝π，

∴ω＝＝2.∴f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2.

又函数图象的一个最高点为，

将其坐标代入f (x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin＝1.

∵|φ|＜，∴φ＝，∴f (x)＝2sin＋2.]

考点三　三角函数图象与性质的综合应用      

　解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．

[典例3]　已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)将函数f (x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

[解]　(1)f (x)＝2sin ωxcos ωx＋(2sin2ωx－1)

＝sin 2ωx－cos 2ωx

＝2sin.

由最小正周期为π，得ω＝1，

所以f (x)＝2sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)将函数f (x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象，

所以g(x)＝2sin 2x＋1.

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，所以b的最小值为4π＋＝.

(2019·天津高考)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f ＝(　　)

A．－2    B．－    C．    D．2

C　[∵f (x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f (x)＝Asin ωx，则g(x)＝Asin.由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g＝Asin ＝A＝，∴A＝2，

∴f (x)＝2sin 2x，

∴f ＝2sin ＝，故选C．]

考点四　三角函数模型的应用          

[典例4](2020·开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．

[解]　(1)H关于t的函数关系式为H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，

由解得A＝62，B＝83，

又函数周期为30，

所以ω＝＝，可得H(t)＝62sin＋83，

又H(0)＝62sin＋83＝21，|φ|≤，

所以sin φ＝－1，φ＝－，

所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)＝62sin＋83,0≤t≤30，

(2)H(t)＝62sin＋83＝－62cost＋83，

所以－62cos t＋83＝52，cos t＝，

所以t＝5.

(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲＝－62cos t＋83，

乙与甲间隔的时间为×6＝5分钟，

所以乙距离地面高度解析式为H乙＝－62cos (t－5)＋83,5≤t≤30，

所以两人离地面的高度差h＝|H甲－H乙|＝＝62，5≤t≤30，

当t－＝，或时，即t＝10或25分钟时，h取最大值为62米．

1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

C　[由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝＝，

设函数解析式为y＝sin(因为秒针是顺时针走动)，

∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝.

∴sin φ＝，∴φ可取，∴函数解析式为y＝sin，故选C．]

2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为        元．

6 000　[作出函数简图如图所示，三角函数模型为：y＝f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，

由题意知：A＝2 000，B＝7 000，

T＝2×(9－3)＝12，

∴ω＝＝.

将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，

则有×3＋φ＝，∴φ＝0，

故f (x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．

∴f (7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.

故7月份的出厂价格为6 000元．]