高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲函数y＝asinωx＋φ的图象及应用学案

这是一份高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲函数y＝asinωx＋φ的图象及应用学案，共14页。
知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表如示.
知识点二 函数y＝Asin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下
知识点三 简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为eq \f(T,2).
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acs(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．
3．正弦曲线y＝sin x向左平移eq \f(π,2)个单位即得余弦曲线y＝cs x.
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度得到的．( √ )
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin (ωx－φ)的图象．( × )
(3)函数y＝Acs (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( √ )
(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，所得图象对应的函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.( × )
题组二 走进教材
2．(必修4P55T2改编)(1)把y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位，得 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) 的图象．
(2)把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(横坐标不变)得 y＝eq \f(1,2)sin x 的图象．
(3)把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)得 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) 的图象．
(4)把y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位，得 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) 的图象．
3．(必修4P70T18改编)函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为( C )
A．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，eq \f(π,4)
C．2，eq \f(1,π)，－eq \f(π,4) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,4)
[解析] 由题意得A＝2，T＝eq \f(2π,2)＝π，∴f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,π)，φ＝－eq \f(π,4).故选C.
4．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6 .
[解析] 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,2)，
所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋φ))＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＋6，
结合表中数据得eq \f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－eq \f(π,2)，
所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6.
题组三 走向高考
5．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )
A．2 B．eq \f(3,2)
C．1 D．eq \f(1,2)
[解析] 依题意得函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－\f(π,4)))＝π，解得ω＝2，选A.
6．(多选题)(2020·新高考Ⅰ，10,5分)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( BC )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
[解析] 由题图可知，eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，∴T＝π，由T＝eq \f(2π,|ω|)可知，eq \f(2π,|ω|)＝π，∴|ω|＝2，不妨取ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，又∵图象过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝0，又∵eq \f(π,6)是f(x)的下降零点，∴eq \f(π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq \f(2π,3)，则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，故选BC.
7．(2020·江苏，10)将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 x＝－eq \f(5π,24) .
[解析] 本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数图象的对称轴．将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))的图象，则函数g(x)图象的对称轴方程为2x－eq \f(π,12)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即x＝eq \f(7π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝0时，x＝eq \f(7π,24)；
当k＝－1时，x＝－eq \f(5π,24)，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－eq \f(5π,24).
考点突破·互动探究
考点一 “五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象——自主练透
例1 (2021·湖北黄冈元月调考)已知函数f(x)＝－eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1－2sin2x.
用“五点作图法”在坐标系中画出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解析] f(x)＝－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1－2sin2x＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
列表如下：
函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
名师点拨
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
(2)确定周期．
(3)确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点．
(4)列表．
(5)描点．
(6)连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象．注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以－eq \f(φ,ω)为首项，公差为eq \f(π,2ω)的等差数列．
〔变式训练1〕
设函数f(x)＝cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)