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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第9章整式(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)
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第9章 整式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）在与，与，与，与，与，与中是同类项的有（ ）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（ ）A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A．（x-y）（-x-y）=y2-x2B．12a2b3=2a2·6b3C．x4-81y4=（x2+9y2）（x+3y）（x-3y）D．（a2+2a）2-8（a2+2a）+12=（a2+2a）（a2+2a-8）+124．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·上海·七年级期末）计算的结果是（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·七年级期末）计算：的结果是（ ）A． B． C． D．7．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式中，，是多项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题8．（2022·上海·七年级专题练习）已知，则___________；9．（2022·上海·七年级专题练习）用含有x的代数式表示：7减去x的3倍差的立方___________；10．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝________．11．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一台计算机每秒可做5×1010次运算，某次计算用了4×102秒，它的计算次数用科学记数法表示为________．12．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：________．13．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）多项式的次数是________次．14．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）单项式的次数是________．15．（2022·上海宝山·七年级期末）多项式中的常数项是________．16．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：________．17．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．18．（2022·上海浦东新·七年级期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为________元．19．（2022·上海·七年级期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．20．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．21．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）如果与是同类项，那么___________.23．（2022·上海·七年级期末）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________________．24．（2022·上海·七年级期末）计算：______．25．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．26．（2022·上海·七年级期末）(x-3y)(x+3y)=_________．27．（2022·上海·七年级期末）分解因式：______．28．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________．29．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．三、解答题30．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣4）．31．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．32．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．33．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．34．（2022·上海·七年级开学考试）【典型】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母，，，．请你按图中箭头所指方向（即→→→→→→→→→…的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，…，当字母第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）．3．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段练习）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．4．（2021·上海·七年级期中）若单项式与的和仍是单项式，则______．5．（2021·上海·七年级期中）长方形的一边长为（3a+b），另一边比它小（a﹣b），则这个长方形的周长为_____．三、解答题6．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：7．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？8．（2020·上海闵行·七年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．【易错】一．选择题（共12小题）1．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠02．（2021春•杨浦区期中）甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（ ）①设乙数为x，甲数为4x﹣3②设甲数为x，乙数为x+3③设甲数为x，乙数为（x+3）④设甲数为x，乙数为（x﹣3）A．①③ B．①② C．②④ D．①④3．（2021秋•普陀区校级期中）下列各组式中，不是同类项的是（ ）A．x3y2和x2y3 B．0和π C．﹣mn和nm D．5a5b和﹣5a5b4．（2022春•徐汇区校级月考）下列属于单项式的是（ ）A．a+b B． C． D．15．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是36．（2021秋•浦东新区校级期中）（﹣）2015•（﹣2）2016的计算结果是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．（2022春•宝山区校级月考）下列计算正确的是（ ）A．（a2）3＝a5 B．3（a﹣2b）＝3a﹣2b C．a4+a4＝a8 D．a5÷a3＝a28．（2022春•宝山区校级月考）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）9．（2021秋•普陀区期末）下列计算结果中，正确的是（ ）A．a3+a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a﹣7）2＝a2﹣49 D．a7÷a6＝a．10．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a） C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）11．（2021秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是（ ）A．x2﹣3x﹣1＝x（x﹣3）﹣1 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b） D．x2﹣9y2＝（3y+x）（x﹣3y）12．（2021秋•奉贤区期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共3小题）13．（2021秋•普陀区期末）计算：（x+3）（x+5）＝ ．14．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝ ．15．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•浦东新区期末）计算：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）．17．（2021秋•浦东新区期中）化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．19．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【压轴】一、单选题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个A．4 B．5 C．8 D．10二、填空题3．（2021·上海·七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．4．（2021·上海·七年级期中）如图，一个的方格图，由粗线隔为个横竖各有个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有至的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个位数，这个位数是 __________．5．（2021·上海·七年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则______．三、解答题6．（2022·上海·七年级期中）如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积方法1： ；方法2： ．(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．7．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：8．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：9．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1） = ； = ．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2） ；（直接写出答案）（3） ；（直接写出答案）（4） ；（写出解题过程）10．（2021·上海·七年级期中）如果规定＝mq﹣np．（1）求的值；（2）当 的值为8时，求x的值．11．（2021·上海·七年级期中）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a与层数n之间满足关系式a=n²−32n+247，1⩽n<16，n为整数．(1)例如，当n=2时，a=2²−32×2+247=187，则a=___，a=___；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n的代数式表示)(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?12．（2021·上海·七年级期中）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程） 第9章 整式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）在与，与，与，与，与，与中是同类项的有（ ）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【答案】B【分析】根据同类项的定义解答即可，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【详解】解：与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项；与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项；与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项；与所含字母不相同，不是同类项；与是常数项，是同类项；与所含字母不相同，不是同类项．∴同类项共有3组．故选：B．【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．理解和掌握同类项的定义是解题的关键．2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（ ）A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c【答案】A【分析】根据所给的条件，由5c＝12＝3×22，可求得结果．【详解】解：∵5a＝3，5b＝2，5c＝12，∴5c＝12＝3×22＝5a×（5b）2＝5a+2b，∴c＝a+2b．故选：A．【点睛】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则要熟练掌握．3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A．（x-y）（-x-y）=y2-x2B．12a2b3=2a2·6b3C．x4-81y4=（x2+9y2）（x+3y）（x-3y）D．（a2+2a）2-8（a2+2a）+12=（a2+2a）（a2+2a-8）+12【答案】C【分析】根据因式分解的定义，即可求解．【详解】解：A选项，D选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意；B选项，左边不是多项式，所以不是因式分解，不符合题意；C选项，符合因式分解的定义，符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．4．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据单项式定义判断即可．【详解】数字与字母的乘积组成单项式，单独的数字和字母也是单项式．，，是单项式．故选：．【点睛】本题考查单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式，正确理解定义是求解本题的关键．5．（2022·上海·七年级期末）计算的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据积的乘方及幂的乘方的法则计算即可．【详解】解：原式=，故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6．（2022·上海·七年级期末）计算：的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式．故选B．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．7．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式中，，是多项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）逐个判断即可得．【详解】解：是多项式，是单项式，是一个常数，是单项式，不是整式，综上，多项式有1个，故选：A．【点睛】本题考查了多项式，熟记多项式的定义是解题关键．二、填空题8．（2022·上海·七年级专题练习）已知，则___________；【答案】250【分析】根据幂的乘方的逆用即可得．【详解】解：因为，所以，故答案为：250．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题关键．9．（2022·上海·七年级专题练习）用含有x的代数式表示：7减去x的3倍差的立方___________；【答案】##【分析】根据题意，列出代数式，即可求解．【详解】解：根据题意得：． 故答案为：【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．10．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝________．【答案】﹣（n﹣m）25【分析】首先把各项的底数转化为相同，再进行幂的乘方与同底数幂的乘法的运算即可．【详解】解：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•[（n﹣m）5]4＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•（n﹣m）20＝﹣（n﹣m）2+3+20＝﹣（n﹣m）25．故答案为：﹣（n﹣m）25．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．11．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一台计算机每秒可做5×1010次运算，某次计算用了4×102秒，它的计算次数用科学记数法表示为________．【答案】2×1013【分析】用5×1010乘4×102得出答案．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：由题意可得：5×1010×4×102＝2×1013．故答案为：2×1013．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：________．【答案】【分析】直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．正确运用运算法则是解题的关键．13．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）多项式的次数是________次．【答案】七【分析】根据多项式的次数的定义解答即可．【详解】解：根据多项式以及次数的定义，多项式含，，，，，这六项，次数分别为、、、、、，∴多项式的次数是七次．故答案为：七．【点睛】本题主要考查多项式的次数的定义．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．熟练掌握多项式的次数的定义是解题的关键．14．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）单项式的次数是________．【答案】【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，∴此单项式的次数为：．故答案为：．【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．15．（2022·上海宝山·七年级期末）多项式中的常数项是________．【答案】-1【分析】先化简多项式，然后再根据常数项的定义解答即可．【详解】解：∵=∴该多项式的常数项为-1．故填：-1．【点睛】本题主要考查了多项式，正确化简多项式成为解答本题的关键．16．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据幂的乘方，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．17．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．18．（2022·上海浦东新·七年级期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为________元．【答案】【分析】根据“售价原价折扣率优惠金额”列出代数式即可得．【详解】解：由题意，售价为元，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，掌握售价的计算方法是解题关键．需注意的是，此处代数式的书写需要带括号．19．（2022·上海·七年级期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．【答案】【分析】根据平方差公式，即可解答．【详解】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故答案为：4a2﹣b2．【点睛】本题主要考查平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．20．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查的是单项式乘单项式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解题关键．21．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】【分析】根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，即可求出结论．【详解】解：=故答案为：．【点睛】此题考查的是整式的加法，掌握合并同类项法则是解题关键．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）如果与是同类项，那么___________.【答案】8【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m，n的值，故可求解．【详解】∵与是同类项，∴-n=3,m=1，则n＝−3, m=1，∴9-1=8故答案为：8．【点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．23．（2022·上海·七年级期末）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________________．【答案】16【分析】根据完全平方公式：即可得出结论．【详解】解：∵关于的多项式=是一个完全平方式，∴m=42=16故答案为：16．【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．24．（2022·上海·七年级期末）计算：______．【答案】【分析】根据积的乘方的逆运算与平方差公式先将算式变形为，再用完全平方公式求解即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，根据积的乘方的逆运算对算式进行变形是关键．25．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．【答案】4x2-4x+1【分析】利用完全平方公式进行整式计算即可．【详解】利用完全平方公式进行计算：（2x-1）2=4x2-4x+1【点睛】本题主要考查了完全平方公式．26．（2022·上海·七年级期末）(x-3y)(x+3y)=_________．【答案】x2-9y2【详解】原式= = x2-9y227．（2022·上海·七年级期末）分解因式：______．【答案】【分析】直接利用提取公因式法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式法因式分解．注意要将看成一个整体提公因式．28．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________．【答案】【分析】直接提取公因式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．29．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为，且是的一次项的系数，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．三、解答题30．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣4）．【答案】2x2﹣6x＋【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案．【详解】解：原式＝3x2﹣6x﹣﹣x2＋4＝2x2﹣6x＋．【点睛】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号和合并同类项的法则是解题的关键．31．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据单项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算：先进行整式的乘方运算，再进行整式的乘除运算，然后进行整式的加减运算；涉及到合并同类项，单项式乘多项式法则等知识点．能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．32．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．33．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．【答案】a﹣3﹣4a3＋12a2【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式＝[﹣（2a）2]（a﹣3）＝（1﹣4a2）（a﹣3）＝a﹣3﹣4a3＋12a2．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键．34．（2022·上海·七年级开学考试）【答案】2x【分析】原式被除数利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．【详解】解：原式．故答案为2x．【点睛】本题考查整式的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．【典型】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．【详解】∵，∴，即4ab＝4，解得，ab＝1．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母，，，．请你按图中箭头所指方向（即→→→→→→→→→…的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，…，当字母第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）．【答案】【分析】根据题意可以发现六个为一个循环，每个循环中字母出现两次，从而可以解答本题．【详解】解：按照→→→→→→→→→…的方式进行，每6个字母一循环，每一循环里字母出现2次，当循环次时，字母第次出现时（为正整数），此时数到最后一个数为，当字母第次出现时（为正整数），再数3个数为．故答案为：．【点睛】本题考查代数式、数的规律，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段练习）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．【答案】a4b3；【分析】根据单项式相乘的法则计算后合并同类项可得答案.【详解】解：原式==.【点睛】本题主要考查单项式的乘法及合并同类项.4．（2021·上海·七年级期中）若单项式与的和仍是单项式，则______．【答案】-1【分析】根据单项式的和是单项式,可得同类项,根据同类项的定义,可得答案.【详解】解:由题意,得4a=8,b+4=1.解得：a=2,6=-3.a+b=-3+2=-1,故答案为:-1.【点睛】本题考查了同学们对同类项及合同同类项的掌握.5．（2021·上海·七年级期中）长方形的一边长为（3a+b），另一边比它小（a﹣b），则这个长方形的周长为_____．【答案】10a+6b．【分析】根据题意列出关系式, 去括号合并即可得到结果.【详解】解：根据题意知矩形的另一边为3a+b-(a-b)=3a+b-a+b=2a+2b所以这个长方形的周长为2(3a+b+2a+26)=2(5a+36)=10a+6b,故答案为: 10a+6b.【点睛】本题主要考查代数式及整式的加减.三、解答题6．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：【答案】（1）；（2）325【分析】(1)根据两个连续自然数的平方差等于这两数的和，用字母表示即可；(2)把式子分组，运用（1）的规律进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察式子找到规律是解题的关键．7．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得； （2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×ab）=3ab×2ab=6a2b2；（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2；（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×ab）•ab•ab=2ab•ab•ab=a3b3．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．8．（2020·上海闵行·七年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．【答案】m＝6，n＝9，正确结果是(x＋3)2.【分析】根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可．【详解】∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，甲看错了n，∴m=6．∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，乙看错了m，∴n=9；∴x2+mx+n=x2+6x+9=（x+3）2．【点睛】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式分解法（十字相乘）是解题的关键．【易错】一．选择题（共12小题）1．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【分析】根据代数式的定义对各选项的式子进行判断即可．【解答】解：A、是代数式，故此选项符合题意；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）为等式，不是代数式，故此选项不符合题意；C、y＞0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意；D、3m+2≠0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的定义．代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．2．（2021春•杨浦区期中）甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（ ）①设乙数为x，甲数为4x﹣3②设甲数为x，乙数为x+3③设甲数为x，乙数为（x+3）④设甲数为x，乙数为（x﹣3）A．①③ B．①② C．②④ D．①④【分析】理清数量关系并用代数式表示出即可．【解答】解：甲数是乙数的4倍少3，若设乙数为x，甲数为4x﹣3；若设甲数为x，则乙数的4倍是（x+3），所以乙数为（x+3），∴①、③正确，故B、C、D错误，故选：A．【点评】本题考查列代数式，理清数量关系并用代数式表示出是解题关键．3．（2021秋•普陀区校级期中）下列各组式中，不是同类项的是（ ）A．x3y2和x2y3 B．0和π C．﹣mn和nm D．5a5b和﹣5a5b【分析】根据同类项的定义解决此题．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解答】解：A．x3y2和x2y3，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意；B．根据同类项的定义，0和π是同类项，故本选项不符合题意；C．根据同类项的定义，﹣mn和nm是同类项，故本选项不符合题意；D．根据同类项的定义，5a5b和﹣5a5b是同类项，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键．4．（2022春•徐汇区校级月考）下列属于单项式的是（ ）A．a+b B． C． D．1【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，根据单项式的定义即可判断．【解答】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；B、是分式，不是单项式，故本选项不符合题意；C、是多项式，故本选项不符合题意；D、是单项式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对单项式定义的理解和运用，注意：单项式表示数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式．5．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．【解答】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故本选项不符合题意；C．2x是一次单项式，故本选项符合题意；D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，其中不含字母的项，叫常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．6．（2021秋•浦东新区校级期中）（﹣）2015•（﹣2）2016的计算结果是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】逆向运用积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（﹣）2015•（﹣2）2016＝（﹣）2015•22016＝（﹣）2015•22015×2＝＝（﹣1）×2＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．7．（2022春•宝山区校级月考）下列计算正确的是（ ）A．（a2）3＝a5 B．3（a﹣2b）＝3a﹣2b C．a4+a4＝a8 D．a5÷a3＝a2【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、3（a﹣2b）＝3a﹣6b，故B不符合题意；C、a4+a4＝2a4，故C不符合题意；D、a5÷a3＝a2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．8．（2022春•宝山区校级月考）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2，故选：A．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．9．（2021秋•普陀区期末）下列计算结果中，正确的是（ ）A．a3+a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a﹣7）2＝a2﹣49 D．a7÷a6＝a．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法的运算法则直接计算得出结果即可得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（2a）3＝8a3，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a﹣7）2＝a2﹣14a+49，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a7÷a6＝a，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，正确掌握乘法计算公式和运算法则是解题的关键．10．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a） C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．故选：B．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2021秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是（ ）A．x2﹣3x﹣1＝x（x﹣3）﹣1 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b） D．x2﹣9y2＝（3y+x）（x﹣3y）【分析】根据因式分解的定义和要求判断即可．【解答】解：∵因式分解是将多项式写成几个整式的乘积形式，∴A，B不合题意．∵a（a﹣b）＝a2﹣ab．∴C不合题意．∵x2﹣9y2＝（x﹣3y）（x+3y）＝（3y+x）（x﹣3y）．∴D符合题意．故选：D．【点评】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义和要求是求解本题的关键．12．（2021秋•奉贤区期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．二．填空题（共3小题）13．（2021秋•普陀区期末）计算：（x+3）（x+5）＝ x2+8x+15 ．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．【解答】解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15；故答案为：x2+8x+15．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项是解题关键．14．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝ （m+n）（a﹣b） ．【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答．【解答】解：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b），故答案为：（m+n）（a﹣b）．【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解﹣分组分解法是解题的关键．15．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ±2 ．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•浦东新区期末）计算：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）．【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【解答】解：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）＝（3x﹣1﹣2y）（3x﹣1+2y）＝[（3x﹣1）﹣2y][（3x﹣1）+2y]＝（3x﹣1）2﹣（2y）2＝9x2﹣6x+1﹣4y2．【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式和平方差公式．17．（2021秋•浦东新区期中）化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．【分析】先用平方差、完全平方公式去掉括号，再合并同类项就可得结果．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab．【点评】本题考查了平方差、完全平方公式，掌握这两个公式的熟练应用，括号前面是负号去括号时注意每一项都变号是解题易出错的地方．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．【分析】先分组，再提公因式分解．【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）＝（y2﹣1）（x﹣1）＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．19．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【压轴】一、单选题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则．2．（2021·上海·七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．【详解】，，，根据为整数，有以下10种情况：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，；（8）当时，；（9）当时，；（10）当时，；综上，符合条件的m的值为，共有5个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．二、填空题3．（2021·上海·七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【详解】解：；；；，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．（2021·上海·七年级期中）如图，一个的方格图，由粗线隔为个横竖各有个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有至的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个位数，这个位数是 __________．【答案】【分析】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；此题分析规律，试着通过推理就可得到待求的数.【详解】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；第3、6列中都含有3，故（9,3）应填5，（9,6）应填6；所以这个9位数应是495186273故答案为495186273【点睛】本题考查数阵图，数阵图是把一些数按一定的规则，填在特定形状的图形中，观察图形，找出规律是解题关键.5．（2021·上海·七年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则______．【答案】300【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可．【详解】解：观察图1有个黑棋子；图2有个黑棋子；图3有个黑棋子；图4有个黑棋子；图n有个黑棋子,当,解得：,故答案：300【点睛】本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是能够仔细观察并发现图形的变化规律,难度不大.三、解答题6．（2022·上海·七年级期中）如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积方法1： ；方法2： ．(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．【答案】(1)（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn(2)（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn(3)1(4)画图解释见解析【分析】（1）主要通过观察和理解图形，用含m，n的式子来表示图中阴影部分的面积；（2）将完全平方展开，合并同类项即可看出三个式子的等量关系；（3）将题干所给已知条件带入（2）所得到的等量关系中，即可求出答案；（4）根据所给等量关系，画出几何图形．【详解】（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，故答案为1；（4）如图③，∵四边形ABCD的面积＝（a﹣b）（a+2b）或a（a+2b）﹣ab﹣2b2，∴（a﹣b）（a+2b）＝a（a+2b）﹣ab﹣2b2，∴（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2．【点睛】本题考查了完全平方公式；值得注意的是，该题不仅仅考查了完全平方的运算求解能力，还与图形相结合，考查难度提升，要求学生对完全平方公式的掌握非常熟练并结合图形方可准确得出答案．7．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先把式子化成，再运用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式====【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．8．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到结论．【详解】解：．【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1） = ； = ．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2） ；（直接写出答案）（3） ；（直接写出答案）（4） ；（写出解题过程）【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；【详解】解：（1）====，故答案为：，； （2）===6；（3） ====14；（4）====198【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．10．（2021·上海·七年级期中）如果规定＝mq﹣np．（1）求的值；（2）当 的值为8时，求x的值．【答案】（1）44；（2）x＝．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：＝50﹣6＝44；（2）根据题中的新定义化简得： =（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，解得：x＝．【点睛】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2021·上海·七年级期中）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a与层数n之间满足关系式a=n²−32n+247，1⩽n<16，n为整数．(1)例如，当n=2时，a=2²−32×2+247=187，则a=___，a=___；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n的代数式表示)(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?【答案】（1）112，91；（2）（31-2n）个；（3）①46.75N；②该仪器最多可以堆放5层.【分析】（1）把n=5，n=6分别代入n²−32n+247中进行计算.；（2）分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法计算；（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．【详解】解：（1）当n=5时，a5=5²−32×5+247=112，当n=6时，a6=6²−32×6+247=91；（2）由题意可得，n²−32n+247-[ (n+1)²−32(n+1)+247]= n²−32n+247-(n2+2n+1−32n-32+247)= n²−32n+247-n2-2n-1+32n+32-247=31-2n（个）答：第n层比第(n+1)层多堆放（31-2n）个仪器箱.（3）①由题意得， ==46.75（N）答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75N.②该仪器箱最多可以堆放5层,理由如下.当n=1时，a1=216，当n=2时，a2=187，当n=3时，a3=160，当n=4时，a4=135，当n=5时，a5=112，当n=6时，a6=91，当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=148.5<160（N）当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=171.25>160（N）所以，该仪器箱最多可以堆放5层.【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想.12．（2021·上海·七年级期中）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）【答案】（1）-b;(2) ：a=-2，b=2;(3)9.【分析】（1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a与b的关系；（2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；（3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值.【详解】解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a，即a=-b；故答案为-b；（2）由题意得： 解得：故答案为a=-2，b=2（3）由题意得：，即：，可得：;故答案为9.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等"列出等式.
第9章 整式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）在与，与，与，与，与，与中是同类项的有（ ）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（ ）A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A．（x-y）（-x-y）=y2-x2B．12a2b3=2a2·6b3C．x4-81y4=（x2+9y2）（x+3y）（x-3y）D．（a2+2a）2-8（a2+2a）+12=（a2+2a）（a2+2a-8）+124．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·上海·七年级期末）计算的结果是（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·七年级期末）计算：的结果是（ ）A． B． C． D．7．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式中，，是多项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题8．（2022·上海·七年级专题练习）已知，则___________；9．（2022·上海·七年级专题练习）用含有x的代数式表示：7减去x的3倍差的立方___________；10．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝________．11．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一台计算机每秒可做5×1010次运算，某次计算用了4×102秒，它的计算次数用科学记数法表示为________．12．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：________．13．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）多项式的次数是________次．14．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）单项式的次数是________．15．（2022·上海宝山·七年级期末）多项式中的常数项是________．16．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：________．17．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．18．（2022·上海浦东新·七年级期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为________元．19．（2022·上海·七年级期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．20．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．21．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）如果与是同类项，那么___________.23．（2022·上海·七年级期末）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________________．24．（2022·上海·七年级期末）计算：______．25．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．26．（2022·上海·七年级期末）(x-3y)(x+3y)=_________．27．（2022·上海·七年级期末）分解因式：______．28．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________．29．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．三、解答题30．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣4）．31．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．32．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．33．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．34．（2022·上海·七年级开学考试）【典型】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母，，，．请你按图中箭头所指方向（即→→→→→→→→→…的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，…，当字母第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）．3．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段练习）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．4．（2021·上海·七年级期中）若单项式与的和仍是单项式，则______．5．（2021·上海·七年级期中）长方形的一边长为（3a+b），另一边比它小（a﹣b），则这个长方形的周长为_____．三、解答题6．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：7．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？8．（2020·上海闵行·七年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．【易错】一．选择题（共12小题）1．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠02．（2021春•杨浦区期中）甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（ ）①设乙数为x，甲数为4x﹣3②设甲数为x，乙数为x+3③设甲数为x，乙数为（x+3）④设甲数为x，乙数为（x﹣3）A．①③ B．①② C．②④ D．①④3．（2021秋•普陀区校级期中）下列各组式中，不是同类项的是（ ）A．x3y2和x2y3 B．0和π C．﹣mn和nm D．5a5b和﹣5a5b4．（2022春•徐汇区校级月考）下列属于单项式的是（ ）A．a+b B． C． D．15．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是36．（2021秋•浦东新区校级期中）（﹣）2015•（﹣2）2016的计算结果是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．（2022春•宝山区校级月考）下列计算正确的是（ ）A．（a2）3＝a5 B．3（a﹣2b）＝3a﹣2b C．a4+a4＝a8 D．a5÷a3＝a28．（2022春•宝山区校级月考）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）9．（2021秋•普陀区期末）下列计算结果中，正确的是（ ）A．a3+a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a﹣7）2＝a2﹣49 D．a7÷a6＝a．10．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a） C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）11．（2021秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是（ ）A．x2﹣3x﹣1＝x（x﹣3）﹣1 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b） D．x2﹣9y2＝（3y+x）（x﹣3y）12．（2021秋•奉贤区期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共3小题）13．（2021秋•普陀区期末）计算：（x+3）（x+5）＝ ．14．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝ ．15．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•浦东新区期末）计算：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）．17．（2021秋•浦东新区期中）化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．19．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【压轴】一、单选题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个A．4 B．5 C．8 D．10二、填空题3．（2021·上海·七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．4．（2021·上海·七年级期中）如图，一个的方格图，由粗线隔为个横竖各有个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有至的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个位数，这个位数是 __________．5．（2021·上海·七年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则______．三、解答题6．（2022·上海·七年级期中）如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积方法1： ；方法2： ．(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．7．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：8．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：9．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1） = ； = ．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2） ；（直接写出答案）（3） ；（直接写出答案）（4） ；（写出解题过程）10．（2021·上海·七年级期中）如果规定＝mq﹣np．（1）求的值；（2）当 的值为8时，求x的值．11．（2021·上海·七年级期中）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a与层数n之间满足关系式a=n²−32n+247，1⩽n<16，n为整数．(1)例如，当n=2时，a=2²−32×2+247=187，则a=___，a=___；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n的代数式表示)(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?12．（2021·上海·七年级期中）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程） 第9章 整式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）在与，与，与，与，与，与中是同类项的有（ ）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【答案】B【分析】根据同类项的定义解答即可，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【详解】解：与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项；与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项；与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项；与所含字母不相同，不是同类项；与是常数项，是同类项；与所含字母不相同，不是同类项．∴同类项共有3组．故选：B．【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．理解和掌握同类项的定义是解题的关键．2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知5a＝3，5b＝2，5c＝12，则a、b、c之间满足数量关系（ ）A．a＋2b＝c B．4a＋6b＝c C．a＋2b＝12c D．3a＋2b＝12c【答案】A【分析】根据所给的条件，由5c＝12＝3×22，可求得结果．【详解】解：∵5a＝3，5b＝2，5c＝12，∴5c＝12＝3×22＝5a×（5b）2＝5a+2b，∴c＝a+2b．故选：A．【点睛】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则要熟练掌握．3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A．（x-y）（-x-y）=y2-x2B．12a2b3=2a2·6b3C．x4-81y4=（x2+9y2）（x+3y）（x-3y）D．（a2+2a）2-8（a2+2a）+12=（a2+2a）（a2+2a-8）+12【答案】C【分析】根据因式分解的定义，即可求解．【详解】解：A选项，D选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意；B选项，左边不是多项式，所以不是因式分解，不符合题意；C选项，符合因式分解的定义，符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．4．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式，，，，中，单项式的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据单项式定义判断即可．【详解】数字与字母的乘积组成单项式，单独的数字和字母也是单项式．，，是单项式．故选：．【点睛】本题考查单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式，正确理解定义是求解本题的关键．5．（2022·上海·七年级期末）计算的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据积的乘方及幂的乘方的法则计算即可．【详解】解：原式=，故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6．（2022·上海·七年级期末）计算：的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式．故选B．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．7．（2022·上海·七年级专题练习）下列各式中，，是多项式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）逐个判断即可得．【详解】解：是多项式，是单项式，是一个常数，是单项式，不是整式，综上，多项式有1个，故选：A．【点睛】本题考查了多项式，熟记多项式的定义是解题关键．二、填空题8．（2022·上海·七年级专题练习）已知，则___________；【答案】250【分析】根据幂的乘方的逆用即可得．【详解】解：因为，所以，故答案为：250．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题关键．9．（2022·上海·七年级专题练习）用含有x的代数式表示：7减去x的3倍差的立方___________；【答案】##【分析】根据题意，列出代数式，即可求解．【详解】解：根据题意得：． 故答案为：【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．10．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）化简：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝________．【答案】﹣（n﹣m）25【分析】首先把各项的底数转化为相同，再进行幂的乘方与同底数幂的乘法的运算即可．【详解】解：（n﹣m）2•（m﹣n）3•[（n﹣m）5]4＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•[（n﹣m）5]4＝﹣（n﹣m）2•（n﹣m）3•（n﹣m）20＝﹣（n﹣m）2+3+20＝﹣（n﹣m）25．故答案为：﹣（n﹣m）25．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．11．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一台计算机每秒可做5×1010次运算，某次计算用了4×102秒，它的计算次数用科学记数法表示为________．【答案】2×1013【分析】用5×1010乘4×102得出答案．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：由题意可得：5×1010×4×102＝2×1013．故答案为：2×1013．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：________．【答案】【分析】直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．正确运用运算法则是解题的关键．13．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）多项式的次数是________次．【答案】七【分析】根据多项式的次数的定义解答即可．【详解】解：根据多项式以及次数的定义，多项式含，，，，，这六项，次数分别为、、、、、，∴多项式的次数是七次．故答案为：七．【点睛】本题主要考查多项式的次数的定义．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．熟练掌握多项式的次数的定义是解题的关键．14．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）单项式的次数是________．【答案】【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，∴此单项式的次数为：．故答案为：．【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．15．（2022·上海宝山·七年级期末）多项式中的常数项是________．【答案】-1【分析】先化简多项式，然后再根据常数项的定义解答即可．【详解】解：∵=∴该多项式的常数项为-1．故填：-1．【点睛】本题主要考查了多项式，正确化简多项式成为解答本题的关键．16．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据幂的乘方，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．17．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．18．（2022·上海浦东新·七年级期末）电脑原价a元的八五折再减50元后的售价为________元．【答案】【分析】根据“售价原价折扣率优惠金额”列出代数式即可得．【详解】解：由题意，售价为元，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，掌握售价的计算方法是解题关键．需注意的是，此处代数式的书写需要带括号．19．（2022·上海·七年级期末）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．【答案】【分析】根据平方差公式，即可解答．【详解】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故答案为：4a2﹣b2．【点睛】本题主要考查平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．20．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查的是单项式乘单项式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解题关键．21．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】【分析】根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，即可求出结论．【详解】解：=故答案为：．【点睛】此题考查的是整式的加法，掌握合并同类项法则是解题关键．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）如果与是同类项，那么___________.【答案】8【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m，n的值，故可求解．【详解】∵与是同类项，∴-n=3,m=1，则n＝−3, m=1，∴9-1=8故答案为：8．【点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．23．（2022·上海·七年级期末）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________________．【答案】16【分析】根据完全平方公式：即可得出结论．【详解】解：∵关于的多项式=是一个完全平方式，∴m=42=16故答案为：16．【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．24．（2022·上海·七年级期末）计算：______．【答案】【分析】根据积的乘方的逆运算与平方差公式先将算式变形为，再用完全平方公式求解即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，根据积的乘方的逆运算对算式进行变形是关键．25．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．【答案】4x2-4x+1【分析】利用完全平方公式进行整式计算即可．【详解】利用完全平方公式进行计算：（2x-1）2=4x2-4x+1【点睛】本题主要考查了完全平方公式．26．（2022·上海·七年级期末）(x-3y)(x+3y)=_________．【答案】x2-9y2【详解】原式= = x2-9y227．（2022·上海·七年级期末）分解因式：______．【答案】【分析】直接利用提取公因式法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式法因式分解．注意要将看成一个整体提公因式．28．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________．【答案】【分析】直接提取公因式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．29．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为，且是的一次项的系数，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．三、解答题30．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣4）．【答案】2x2﹣6x＋【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案．【详解】解：原式＝3x2﹣6x﹣﹣x2＋4＝2x2﹣6x＋．【点睛】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号和合并同类项的法则是解题的关键．31．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据单项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算：先进行整式的乘方运算，再进行整式的乘除运算，然后进行整式的加减运算；涉及到合并同类项，单项式乘多项式法则等知识点．能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．32．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．33．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．【答案】a﹣3﹣4a3＋12a2【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式＝[﹣（2a）2]（a﹣3）＝（1﹣4a2）（a﹣3）＝a﹣3﹣4a3＋12a2．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键．34．（2022·上海·七年级开学考试）【答案】2x【分析】原式被除数利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．【详解】解：原式．故答案为2x．【点睛】本题考查整式的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．【典型】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．【详解】∵，∴，即4ab＝4，解得，ab＝1．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母，，，．请你按图中箭头所指方向（即→→→→→→→→→…的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，…，当字母第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）．【答案】【分析】根据题意可以发现六个为一个循环，每个循环中字母出现两次，从而可以解答本题．【详解】解：按照→→→→→→→→→…的方式进行，每6个字母一循环，每一循环里字母出现2次，当循环次时，字母第次出现时（为正整数），此时数到最后一个数为，当字母第次出现时（为正整数），再数3个数为．故答案为：．【点睛】本题考查代数式、数的规律，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段练习）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．【答案】a4b3；【分析】根据单项式相乘的法则计算后合并同类项可得答案.【详解】解：原式==.【点睛】本题主要考查单项式的乘法及合并同类项.4．（2021·上海·七年级期中）若单项式与的和仍是单项式，则______．【答案】-1【分析】根据单项式的和是单项式,可得同类项,根据同类项的定义,可得答案.【详解】解:由题意,得4a=8,b+4=1.解得：a=2,6=-3.a+b=-3+2=-1,故答案为:-1.【点睛】本题考查了同学们对同类项及合同同类项的掌握.5．（2021·上海·七年级期中）长方形的一边长为（3a+b），另一边比它小（a﹣b），则这个长方形的周长为_____．【答案】10a+6b．【分析】根据题意列出关系式, 去括号合并即可得到结果.【详解】解：根据题意知矩形的另一边为3a+b-(a-b)=3a+b-a+b=2a+2b所以这个长方形的周长为2(3a+b+2a+26)=2(5a+36)=10a+6b,故答案为: 10a+6b.【点睛】本题主要考查代数式及整式的加减.三、解答题6．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：(1)由上述一系列算式，你能发现什么规律？请用含代数式表达这个规律(2)应用上述规律计算：【答案】（1）；（2）325【分析】(1)根据两个连续自然数的平方差等于这两数的和，用字母表示即可；(2)把式子分组，运用（1）的规律进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察式子找到规律是解题的关键．7．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得； （2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×ab）=3ab×2ab=6a2b2；（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2；（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×ab）•ab•ab=2ab•ab•ab=a3b3．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．8．（2020·上海闵行·七年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．【答案】m＝6，n＝9，正确结果是(x＋3)2.【分析】根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可．【详解】∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，甲看错了n，∴m=6．∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，乙看错了m，∴n=9；∴x2+mx+n=x2+6x+9=（x+3）2．【点睛】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式分解法（十字相乘）是解题的关键．【易错】一．选择题（共12小题）1．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（ ）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【分析】根据代数式的定义对各选项的式子进行判断即可．【解答】解：A、是代数式，故此选项符合题意；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）为等式，不是代数式，故此选项不符合题意；C、y＞0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意；D、3m+2≠0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的定义．代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．2．（2021春•杨浦区期中）甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（ ）①设乙数为x，甲数为4x﹣3②设甲数为x，乙数为x+3③设甲数为x，乙数为（x+3）④设甲数为x，乙数为（x﹣3）A．①③ B．①② C．②④ D．①④【分析】理清数量关系并用代数式表示出即可．【解答】解：甲数是乙数的4倍少3，若设乙数为x，甲数为4x﹣3；若设甲数为x，则乙数的4倍是（x+3），所以乙数为（x+3），∴①、③正确，故B、C、D错误，故选：A．【点评】本题考查列代数式，理清数量关系并用代数式表示出是解题关键．3．（2021秋•普陀区校级期中）下列各组式中，不是同类项的是（ ）A．x3y2和x2y3 B．0和π C．﹣mn和nm D．5a5b和﹣5a5b【分析】根据同类项的定义解决此题．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解答】解：A．x3y2和x2y3，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意；B．根据同类项的定义，0和π是同类项，故本选项不符合题意；C．根据同类项的定义，﹣mn和nm是同类项，故本选项不符合题意；D．根据同类项的定义，5a5b和﹣5a5b是同类项，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键．4．（2022春•徐汇区校级月考）下列属于单项式的是（ ）A．a+b B． C． D．1【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，根据单项式的定义即可判断．【解答】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；B、是分式，不是单项式，故本选项不符合题意；C、是多项式，故本选项不符合题意；D、是单项式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对单项式定义的理解和运用，注意：单项式表示数与字母的积，单独一个数或字母也是单项式．5．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（ ）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．【解答】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故本选项不符合题意；C．2x是一次单项式，故本选项符合题意；D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，其中不含字母的项，叫常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．6．（2021秋•浦东新区校级期中）（﹣）2015•（﹣2）2016的计算结果是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】逆向运用积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（﹣）2015•（﹣2）2016＝（﹣）2015•22016＝（﹣）2015•22015×2＝＝（﹣1）×2＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．7．（2022春•宝山区校级月考）下列计算正确的是（ ）A．（a2）3＝a5 B．3（a﹣2b）＝3a﹣2b C．a4+a4＝a8 D．a5÷a3＝a2【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、3（a﹣2b）＝3a﹣6b，故B不符合题意；C、a4+a4＝2a4，故C不符合题意；D、a5÷a3＝a2，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．8．（2022春•宝山区校级月考）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2，故选：A．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．9．（2021秋•普陀区期末）下列计算结果中，正确的是（ ）A．a3+a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a﹣7）2＝a2﹣49 D．a7÷a6＝a．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法的运算法则直接计算得出结果即可得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（2a）3＝8a3，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a﹣7）2＝a2﹣14a+49，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a7÷a6＝a，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，正确掌握乘法计算公式和运算法则是解题的关键．10．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a） C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．故选：B．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2021秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是（ ）A．x2﹣3x﹣1＝x（x﹣3）﹣1 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b） D．x2﹣9y2＝（3y+x）（x﹣3y）【分析】根据因式分解的定义和要求判断即可．【解答】解：∵因式分解是将多项式写成几个整式的乘积形式，∴A，B不合题意．∵a（a﹣b）＝a2﹣ab．∴C不合题意．∵x2﹣9y2＝（x﹣3y）（x+3y）＝（3y+x）（x﹣3y）．∴D符合题意．故选：D．【点评】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义和要求是求解本题的关键．12．（2021秋•奉贤区期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．二．填空题（共3小题）13．（2021秋•普陀区期末）计算：（x+3）（x+5）＝ x2+8x+15 ．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．【解答】解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15；故答案为：x2+8x+15．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项是解题关键．14．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝ （m+n）（a﹣b） ．【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答．【解答】解：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b），故答案为：（m+n）（a﹣b）．【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解﹣分组分解法是解题的关键．15．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ±2 ．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•浦东新区期末）计算：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）．【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【解答】解：（3x﹣2y﹣1）（3x+2y﹣1）＝（3x﹣1﹣2y）（3x﹣1+2y）＝[（3x﹣1）﹣2y][（3x﹣1）+2y]＝（3x﹣1）2﹣（2y）2＝9x2﹣6x+1﹣4y2．【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式和平方差公式．17．（2021秋•浦东新区期中）化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．【分析】先用平方差、完全平方公式去掉括号，再合并同类项就可得结果．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab．【点评】本题考查了平方差、完全平方公式，掌握这两个公式的熟练应用，括号前面是负号去括号时注意每一项都变号是解题易出错的地方．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．【分析】先分组，再提公因式分解．【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）＝（y2﹣1）（x﹣1）＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．19．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【压轴】一、单选题1．（2021·上海市西延安中学七年级期中）在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则．2．（2021·上海·七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．【详解】，，，根据为整数，有以下10种情况：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，；（8）当时，；（9）当时，；（10）当时，；综上，符合条件的m的值为，共有5个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．二、填空题3．（2021·上海·七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【详解】解：；；；，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．（2021·上海·七年级期中）如图，一个的方格图，由粗线隔为个横竖各有个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有至的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个位数，这个位数是 __________．【答案】【分析】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；此题分析规律，试着通过推理就可得到待求的数.【详解】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；第3、6列中都含有3，故（9,3）应填5，（9,6）应填6；所以这个9位数应是495186273故答案为495186273【点睛】本题考查数阵图，数阵图是把一些数按一定的规则，填在特定形状的图形中，观察图形，找出规律是解题关键.5．（2021·上海·七年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则______．【答案】300【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可．【详解】解：观察图1有个黑棋子；图2有个黑棋子；图3有个黑棋子；图4有个黑棋子；图n有个黑棋子,当,解得：,故答案：300【点睛】本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是能够仔细观察并发现图形的变化规律,难度不大.三、解答题6．（2022·上海·七年级期中）如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积方法1： ；方法2： ．(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．【答案】(1)（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn(2)（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn(3)1(4)画图解释见解析【分析】（1）主要通过观察和理解图形，用含m，n的式子来表示图中阴影部分的面积；（2）将完全平方展开，合并同类项即可看出三个式子的等量关系；（3）将题干所给已知条件带入（2）所得到的等量关系中，即可求出答案；（4）根据所给等量关系，画出几何图形．【详解】（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，故答案为1；（4）如图③，∵四边形ABCD的面积＝（a﹣b）（a+2b）或a（a+2b）﹣ab﹣2b2，∴（a﹣b）（a+2b）＝a（a+2b）﹣ab﹣2b2，∴（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2．【点睛】本题考查了完全平方公式；值得注意的是，该题不仅仅考查了完全平方的运算求解能力，还与图形相结合，考查难度提升，要求学生对完全平方公式的掌握非常熟练并结合图形方可准确得出答案．7．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先把式子化成，再运用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式====【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．8．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到结论．【详解】解：．【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1） = ； = ．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2） ；（直接写出答案）（3） ；（直接写出答案）（4） ；（写出解题过程）【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；【详解】解：（1）====，故答案为：，； （2）===6；（3） ====14；（4）====198【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．10．（2021·上海·七年级期中）如果规定＝mq﹣np．（1）求的值；（2）当 的值为8时，求x的值．【答案】（1）44；（2）x＝．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：＝50﹣6＝44；（2）根据题中的新定义化简得： =（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，解得：x＝．【点睛】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2021·上海·七年级期中）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a与层数n之间满足关系式a=n²−32n+247，1⩽n<16，n为整数．(1)例如，当n=2时，a=2²−32×2+247=187，则a=___，a=___；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n的代数式表示)(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?【答案】（1）112，91；（2）（31-2n）个；（3）①46.75N；②该仪器最多可以堆放5层.【分析】（1）把n=5，n=6分别代入n²−32n+247中进行计算.；（2）分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法计算；（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．【详解】解：（1）当n=5时，a5=5²−32×5+247=112，当n=6时，a6=6²−32×6+247=91；（2）由题意可得，n²−32n+247-[ (n+1)²−32(n+1)+247]= n²−32n+247-(n2+2n+1−32n-32+247)= n²−32n+247-n2-2n-1+32n+32-247=31-2n（个）答：第n层比第(n+1)层多堆放（31-2n）个仪器箱.（3）①由题意得， ==46.75（N）答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75N.②该仪器箱最多可以堆放5层,理由如下.当n=1时，a1=216，当n=2时，a2=187，当n=3时，a3=160，当n=4时，a4=135，当n=5时，a5=112，当n=6时，a6=91，当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=148.5<160（N）当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=171.25>160（N）所以，该仪器箱最多可以堆放5层.【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想.12．（2021·上海·七年级期中）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）【答案】（1）-b;(2) ：a=-2，b=2;(3)9.【分析】（1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a与b的关系；（2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；（3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值.【详解】解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a，即a=-b；故答案为-b；（2）由题意得： 解得：故答案为a=-2，b=2（3）由题意得：，即：，可得：;故答案为9.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等"列出等式.
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