新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第11讲 圆锥曲线的光学性质及其应用

这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第11讲 圆锥曲线的光学性质及其应用，共16页。试卷主要包含了问题综述，知识储备，性质转化及证明，巩固练习参考答案等内容，欢迎下载使用。

一、问题综述
解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识．相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识．在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧．利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题．
二、知识储备
1.1椭圆的光学性质：
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理.
证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率
∴到所成的角满足，
在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足，
∴，而，∴
1.2双曲线的光学性质：
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
1.3 抛物线的光学性质：
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3)
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

图1.3
F2


F1
图1.2


A
F1
F2
D
O
图1.1
B
要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证.
三、性质转化及证明
2.1圆锥曲线的切线与法线的定义
设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线.
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：
2.2圆锥曲线光学性质的证明
预备定理 1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：.
证明：由……①，
1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：，
∴，∴切线方程为……②，
∵点在椭圆上，故 ，代入②得……③，
而当时，切线方程为，也满足③式，故是椭圆过点的切线方程.
预备定理2. 若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：
证明：由……①，
1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，
∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②，
∵点在双曲线上，故 代入②得……③，
而当时， 切线方程为，也满足③式，故是双曲线过点的切线方程.
预备定理 3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是
证明：由，对求导得：，
当时，切线方程为，即，
而………①，而当时，切线方程为也满足①式，
故抛物线在该点的切线方程是.
定理1.椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分（图2.1）
已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设，
求证：.
证法一：在上，，
则过点的切线方程为：，是通过点
且与切线垂直的法线，
图2.1
则，
∴法线与轴交于，
∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线，
∴，∵，故可得
证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足：
∵在椭圆上，∴，
同理，到所成的角满足，∴
而，∴
证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点
下面只需证明点与重合即可.
一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）.
另一方面，在直线上任取另一点，∵
即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证．
定理2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；
已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，求证：．
图2.2
证明：，两焦点为， ，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于.
由双曲线的焦半径公式得：
，双曲线的两焦点坐标为，，故
故 ，∴切线为之角分线.
定理3.抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）.
图2.3
已知：如图，抛物线的方程为为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，，反射线与所成角记为，求证：
证明： 如图 ，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为，切线与轴交于，焦点为，(同位角)，
∵，∴，
∴
通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的.那么它在解题和生产生活中有何应用呢？
二、典例分析
类型1：解决入射与反射问题
【例1】设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为 ，点的坐标为 .
解：如图，直线平行于对称轴且，则点的坐标为，
图3.1
因此反射线过点，设，则，
解得：图3.1.1
，∴.
类型2：解决一类“距离之和”的最值问题
【例2】已知椭圆，为分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围.
解法1：,
即问题转化为求的最大值与最小值,
因为两边之差小于第三边,因此当三点一线时,
取得的最大值与最小值,即在处取得最小值, 处取得最大值,
图3.2
所以最小值为,最大值为.
解法2：根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P2F2Q）
综上所述，只需求出,
可得最小值为,最大值为.
类型3：解决与“切线”相关的问题
【例3】已知是过椭圆上一动点的椭圆的动切线，过的左焦点作的垂线，求垂足的轨迹方程.
分析：如图3.3，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐.由于是椭圆的切线，切点为，联想到椭圆光学性质及反射定律.
图3.3
根据椭圆的光学性质是的外角平分线， 关于直线的对称点在的延长线上。这样，由于，
故，而点、点分别是、的中点，
所以.从而点轨迹是以为圆心、以4为半径的圆。
即点的轨迹方程.为.
类型4：解决高考与竞赛中的问题
【例4】(2005江西.理22)如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点.
(1)求的重心的轨迹方程；
(2)证明.
解：(1)设切点A、B坐标分别为，
切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为，
图3.4.1
所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
(2)解法1：因为
由于P点在抛物线外，则
所以
同理有
所以.
解法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得.
②当时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到.
解法3：如图3.4.2，做出抛物线的准线，过做于，
过作于，连，，在线段的延长
线上分别取，
因为直线轴，直线轴，
由抛物线的光学性质知：，
.
又由抛物线的定义知：，
所以，
图3.4.2
又，
所以，
所以，
所以，即，
又，
所以，
又，，
所以.
【例5】(2017年数学联赛湖北预赛12) 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点E，求证：.
解法1：设的方程为，代入，得.
设，，则 ①， ②.
设切线 ③，切线 ④.
由③、④得，所以，
，得，即，所以，
当时，显然有；
当时，，所以.
解法2：如图3.5，设过点的切线与准线交于，过点的切线与准线交于，过作准线的垂线，垂足为.
由抛物线的光学性质，可得，
由抛物线的定义，有，而，
所以，从而，即.
同理.
那么，当三点共线时，必然有，重合，即重合成，
从而.
图3.5
【方法小结】
解析几何的主流思想是以数解形，即从代数角度解决几何同题.而圆锥曲线光学性质从几何角度看问题，即以形解数，则是剑走偏锋，别具一格的.正所谓“横看成岭侧成峰”，换个角度看问题，效果也许就是截然不同的，再结合进一步的思考，也许就会收获“柳暗花明又一村”的喜悦与畅决．
三、巩固练习
1.已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图4.1所示，则△ABC的周长为 .
图4.1
2.双曲线，又，已知A(4，2)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线反射，反射光通过P(8，k)，则k  .
图4.2
3.已知双曲线C：， F1、、F2为分别是其左右焦点，点，M是C上的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围.
图4.3
4.已知动圆(圆心为点)过定点，且与直线相切，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)设过点的直线与曲线相切，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
5. (2013山东.理22)椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交
的长轴于点，求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
6.( 2016年数学联赛湖北预赛.13)过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.
证明：(1)； (2).
四、巩固练习参考答案
1. 在椭圆方程为 1中，，
因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点
所以自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点 (-3，0)，
故△ABC的周长为.
2. 因为入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点,
所以.
3. 由双曲线属性知, |MF2|+|MQ|不存在最大值，存在最小值，
因为，所以
===，即|MF2|+|MQ|的取值范围是.
4.(1)因为动圆过定点，且与直线相切，所以圆心到点的距离与圆心到直线的距离相等.
根据抛物线定义，知动点的轨迹为抛物线，且方程为.
(2)解法1：如图4.4.1，设直线的方程为(易知斜率不存在的直线不符合要求)，
由，消去得，
图4.4.1
因为相切所以，且，化简得.
设直线与曲线相切的切点，则，
所以，由，得.
假设坐标平面内符合条件的点存在，由图形的对称性，知点必在轴上.
若取，此时，以为直径的圆为，交轴于点；
若取，此时，
以为直径的圆为，交轴于点.
所以若符合条件的点存在，则点的坐标必为，即为点.
以下证明就是满足条件的点.
因为的坐标为，所以，，
从而，故恒有，
即在坐标平面内存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
解法2：本题也可使用抛物线的光学性质来求解第二问.
如图4.4.2，连接，由抛物线的光学性质可得其反射光线平行于轴，将反向延长交于点，易知垂直于直线，根据抛物线定义，
由反射定理得，又因为，在和中，
图4.4.2
因为，所以和全等，所以，
即点在以为直径的圆上，点就是要找的定点.
5. (1)由于，将代入椭圆方程，得，
由题意知，即.又，所以.椭圆的方程为
(2) 解法1：设.又 ，
所以直线的方程分别为:
图4.5
由题意知 ，
由于点在椭圆上，所以所以
因为，
可得.所以.因此.
解法2：设，当时，
①当时，直线的斜率不存在，易知或.
若，则直线的方程为.由题意得，
因为，所以.若,同理可得.
②当时，设直线的方程分别为 ，
由题意知 ，所以 ，
因为 并且 ，
所以 ，
即 .
因为 所以 .
整理得，故 .
综合①②可得.当时，同理可得.
综上所述，的取值范围是 .
解法3：设，过点的椭圆切线为直线，则过的切线方程为，即，
根据椭圆的光学性质可得的角平分线即为直线的法线，所以，
所以直线方程为，即，所以代入，
得，又，所以.
(3)解法1：设，则直线的方程为，联立
整理得
由题意 ，即
又 所以 故，
由(2)知 ， 所以 ，
因此为定值，这个定值为.
解法2：因为，，代入中得
为定值.
6. 解法1：设,,,易求得切线的方程为，切线的方程为.
因为点在两条切线上，所以有，，故点均在直线上，所以直线的方程为.
联立，得，即.
由韦达定理可知：，.
(1)因为，由抛物线第二定义可得，，所以
，
因此.
(2)因为，，，所以
，
又，，所以，
同理可得，
所以，所以，
结合可得，所以.
解法2：当与抛物线在其准线异侧时，如图4.6所示，过做准线的垂线，垂足分别为，，与分别交准线于，，连接，.
由抛物线的光学性质，可知是的角平分线，由抛物线的定义有，所以有
，于是且，
同理有，于是且，
所以有，即得，
而，，
所以①；
在中，
.
由，得；由，
得.
所以，且有，
于是，
图4.6
而，故，又有.
所以②
由①、②可得，于是，即.