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    新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第3讲 抛物线的定义及其应用

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    这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第3讲 抛物线的定义及其应用,共10页。试卷主要包含了问题综述,典例分析,巩固练习,巩固练习参考答案等内容,欢迎下载使用。

    本讲梳理抛物线的定义及其应用.抛物线的考题中,对抛物线定义的考查一直都是热点.对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题过程.
    (一)抛物线的定义
    平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点不在上).定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
    以开口向右的抛物线为例,设抛物线的焦点为F,准线为,点为抛物线上的动点.则有: 焦半径;过焦点的弦长为.
    (二)抛物线定义的应用
    与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:
    (1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;
    (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.
    二、典例分析
    类型一:利用定义求抛物线的标准方程
    【例1】已知动圆过定点,且与直线相切,其中.求动圆圆心的轨迹的方程.
    【解析】如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为.
    【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时,常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离.
    【变式训练】
    1.点与点的距离比它到直线的距离小1, 求点的轨迹方程.
    【答案】
    【解析】如图,设点的坐标为.
    由可知可得:点与点的距离等于它到直线的距离.
    根据抛物线的定义,点的轨迹是以为焦点的抛物线,所以,得.
    又因为焦点在轴的正半轴上,所以点的轨迹方程为:.
    2.平面上动点到定点的距离比到轴的距离大1,求动点的轨迹方程.
    【答案】或.
    3.若动圆与定圆相外切,且与直线相切,求动圆圆心的轨迹方程.
    【答案】.
    类型二:利用抛物线定义证明焦点弦或焦半径的相关性质
    【例2】为抛物线上任一点,为焦点,则以为直径的圆与轴( )
    A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由确定
    【解析】如图,抛物线的焦点为,准线是.
    作于,交轴于,那么,且.
    作轴于,则是梯形的中位线,

    故以为直径的圆与轴相切,选B.
    【方法小结】类似的问题:对于椭圆和双曲线来说,结论分别是相离或相交.
    【例2】在抛物线上有两点和,且满足,求证:
    (1)、和这抛物线的焦点三点共线;(2)为定值.
    【证明】(1)∵抛物线的焦点为,准线方程为.
    ∴、到准线的距离分别,.
    由抛物线的定义:,.
    ∴,即、、三点共线.
    (2)如图,设.
    ∵,∴,
    又,∴,
    ∴(定值).
    【变式训练】求证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切.
    【证明】如图,设抛物线的准线为,过、两点分别作、垂直于,垂足分别为、.取线段中点,作垂直于.
    由抛物线的定义有:,,所以.
    ∵是直角梯形,
    即为圆的半径,而准线过半径的外端且与半径垂直,故圆必与准线相切.
    类型三:利用抛物线的定义求解最值问题
    【例1】设是抛物线上的一个动点.
    (1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值;
    (2)若,求的最小值.
    【解析】(1)如下图,抛物线的焦点为,准线是,
    由抛物线的定义知:点到直线的距离等于点到焦点的距离.
    于是,问题转化为:在曲线上求一点,使点到点的距离与点P到的距离之和最小.
    显然,连结交曲线于点,则所求最小值为,即为.
    (2)如下图,过点作垂直准线于交抛物线于点,则,
    则有,
    即的最小值为4.
    【方法小结】本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点间线段距离最短”,使问题获解.
    【变式训练】已知是抛物线的焦点,点的坐标为,点是上的任意一点,当在点时,取得最大值,当在点时,取得最小值,则,两点间的距离是 .
    【解析】依题意,一方面:,
    当平行于轴时,取得最大值,此时;
    另一方面:,
    当,,,三点共线,且在,之间时,取得最小值,此时,
    故.
    类型四:抛物线定义的综合应用
    【例1】如图所示,直线和相交于点,,点,以、为端点的曲线段上任一点到的距离与到点的距离相等,若是锐角三角形,,且,建立适当的坐标系,求曲线的方程.
    【解析】(利用抛物线定义求标准方程)
    以为轴,线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示,
    依题意知:曲线段是以点为焦点,为准线的抛物线的一段,
    过作、垂线,垂足分别为、,
    由抛物线定义可知,
    则,
    ,,
    所以,即,故抛物线方程为.
    由,,结合抛物线定义,得,,所以,.
    综上,得曲线段的方程为.
    【例2】己知椭圆的左右焦点分别为,抛物线的焦点与重合,若点为椭圆和抛物线的一个公共点,且,则椭圆的离心率为 .
    【解析】
    【解法1】如图所示两种情况:

    情形1: 情形2:
    故椭圆的离心率为或.
    【解法2】设,则,
    由,结合抛物线定义得,所以,
    由,得,化简得,解得或.
    三、巩固练习
    1.已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是( )
    A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
    2.抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是( )
    A. B. C. D.0
    3.已知动圆的圆心在抛物线上,又与直线相切,那么必过定点__________.
    4.已知动圆P与定圆C:相外切,又与定直线相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.
    5.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点,若、在抛物线准线上的射影分别为、,则( )
    A.45° B.60° C.90° D.120°
    6.已知点是抛物线上的一点,为抛物线的焦点,在圆上,则的最小值为 .
    7.过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两点,若,则弦的中点到直线的距离等于( )
    A. B. C. 4 D.2
    8.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点,则 .
    9.经过抛物线的焦点的直线与相交于、两点,与的准线交于点.若点位于第一象限,且是的中点,则直线的斜率等于 .
    10.设抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于、两点,为抛物线的准线与轴的交点,若,则 .
    四、巩固练习参考答案
    1.已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是( )
    A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
    【答案】C.
    【解析】由题意得:,
    即动点到直线的距离等于它到原点的距离,
    由抛物线定义可知:动点的轨迹是以原点为焦点,以直线为准线的抛物线.
    故选C.
    2.抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是( )
    A. B. C. D.0
    【答案】B.
    【解析】抛物线方程化为,,所以,准线方程为,则,得.故选B.
    3.已知动圆的圆心在抛物线上,又与直线相切,那么必过定点__________.
    【答案】.
    【解析】该圆必过抛物线的焦点.
    4.已知动圆P与定圆C:相外切,又与定直线相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.
    【答案】.
    5.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点,若、在抛物线准线上的射影分别为、,则( )
    A.45° B.60° C.90° D.120°
    【答案】C.
    【解析】如图,由抛物线的定义知:,,
    则,,
    则由题意知:,,
    所以,
    即.故选C.
    6.已知点是抛物线上的一点,为抛物线的焦点,在圆上,则的最小值为 .
    【答案】5
    【解析】的最小值即为圆上的点到准线的最小距离.又准线方程为,所以最小值为.
    7.过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两点,若,则弦的中点到直线的距离等于( )
    A. B. C. 4 D.2
    【解析】如图所示,过弦中点作准线的垂线,即作直线的垂线,
    过点作准线的垂线,由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得:
    ,则弦的中点到直线的距离等于.故选 B.
    8.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点,则 .
    【答案】1
    【解析】由可得焦点坐标为,准线方程为,设过点直线方程为代入抛物线方程,化简得,设,,则有,
    根据抛物线定义可知,,,所以,故答案为1.
    9.经过抛物线的焦点的直线与相交于、两点,与的准线交于点.若点位于第一象限,且是的中点,则直线的斜率等于 .
    【答案】
    【解】设,,
    则,即,所以,
    于是,
    故.
    10.设抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于、两点,为抛物线的准线与轴的交点,若,则 .
    【答案】
    【解】,
    同理,于是,
    由.
    ,.
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