2023-2024学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 25B. 13C. 10D. 50
2.下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是( )
A. 1，1， 2B. 3，4，5C. 5，12，13D. 3， 4， 5
3.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为( )
A. 3kmB. 4kmC. 5kmD. 6km
4.一次函数y=kx的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为( )
A. (−2,3)B. (1,−3)C. (2,2)D. (0,−1)
5.如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法判断
6.若 2≈1.414，则 12的近似值是( )
A. 0.707B. 0.707C. 1.414D. 2.828
7.正方形具有而矩形不一定有的性质是( )
A. 四个角都是直角B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
8.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集是( )
A. x<1
B. x>1
C. x<2
D. x>2
9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形(如图2).设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为( )
A. 3B. 4C. 2 2D. 3 2
10.如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P(单位：cmHg)与其离水面的深度ℎ(单位：m)的函数解析式为P=kℎ+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，k为常数且k>0，点M的坐标为(34.5,312)，根据图中信息分析，下列结论正确的是( )
A. 湖水面大气压强为76.0cmHg
B. 湖水深23m处的压强为230cmHg
C. 函数解析式P=kℎ+P0中自变量ℎ的取值范围是ℎ>0
D. P与ℎ的函数解析式为P=7ℎ+66
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 2x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.一组数据的方差是，s2=110[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+…+(x10−4)2]，则这组数据共有______个，平均数是______．
13.如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为ℎcm，则ℎ的取值范围是______．
14.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，两图象交点为P，根据图象中的数据描述点P的实际含义______．
15.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，点F在AD上，沿BF折叠，使点A落在AE上的G点，若DE=5，则GE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ℎ.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/ℎ)
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
在计算 6×2 3− 24÷ 3的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式= 6×2 3− 24÷ 3
=2 6×3− 243……①
=2 18− 8……②
=(2−1) 18−8……③
= 10……④
(1)老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
18.(本小题7分)
某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上表中众数m的值为______；
(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适．(填“平均数”、“众数”或“中位数”)
(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
19.(本小题8分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
20.(本小题8分)
阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n圴为整数)，
则有a+b 2=m2+2n2+2 2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a，b，得：a= ______，b= ______；
(2)利用所探索的结论，填写合适的正整数a与n，填空：______+4 3=(2+______ 3)2；
(3)若a+8 3=(m+n 3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
21.(本小题8分)
作图：在▱ABCD内作菱形．
要求：
(1)用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(2)用两种不同的方法完成作图．
22.(本小题9分)
受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克.若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围．
23.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
(1)如图1，求证CF=GF；
(2)如图2，若∠ABC=120°，连接BD、CG，判断△DGB的形状？并说明理由；
(3)如图3，若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是EF的中点，求DM的长．
24.(本小题10分)
根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段(即垂线段)的长度.类似的我们给出两个图形G1、G2的“距离”定义：如果点P为图形G1上的任意一点，点Q为图形G2上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1，G2的“距离”，记为d(G1,G2)特别地，当图形G1，G2有公共点时，图形G1，G2的“距离”d(G1,G2)=0．

(1)如图1，在平面直角坐标系中，菱形OABC的∠AOC=60°，点B、C在第一象限，若A(5,0)，D(−3,0)，E(0,4)，则d(D，菱形OABC)= ______，d(E，菱形OABC)= ______；
(2)如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,2)，B(−2,0)，C(2,0)，将一次函数y=kx+6的图象记为L．
①若d(L,△ABC)=0，求k的取值范围；
②若k>0，且d(L,△ABC)=2 3，则k的值为______；
(3)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P(4n,6−4n)为平面内一点，令d(A,P)=d1，d(B,P)=d2，d(C,P)=d3，比较d1，d2，d3的大小关系______(直接写出结果)．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.D
10.B
11.x≥−32
12.10 4
13.6≤ℎ≤8
14.20秒是两者相遇
15.4913
16.解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC2=AB2−AC2=502−302=402，则BC=40m，
∴小汽车的速度为v=402=20m/s=20×3.6km/ℎ=72km/ℎ；
∵72>70；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
17.解：(1)③；
(2)原式= 6×2 3− 24÷ 3
=2 6×3− 243
=2 18− 8
=6 2−2 2
=4 2．
18.解：(1)18；
(2)中位数；
(3)300×1+1+2+3+1+230=100(名)，
答：该部门生产能手有100名工人．
19.解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，
∴BD2+1.52=6.25，
∴BD2=4．
∵BD>0，
∴BD=2米．
∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米．
答：小巷的宽度CD为2.7米．
20.(1)m2+3n2，2mn；
(2)7，1；
(3)∵a+8 3=(m+n 3)2，
∴a=m2+3n2，8=2mn，
∴mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=4；m=2，n=2；m=4，n=1，
当m=1，n=4时，时a=12+3×42=49；
当m=2，n=2时，a=22+3×22=16；
当m=4，n=1时，a=42+3×12=19；
∴a的值是49、16或19．
21.解：如图，四边形ABEF和四边形BHDG即为所作．

22.解：(1)当0≤x≤50时，设y=mx，
根据题意得50m=1500，
解得m=30，
∴y=30x；
当x>50时，设y=kx+b，
根据题意得50k+b=150070k+b=1980，
解得 k=24b=300，
∴y=24x+300，
∴y=30x(0≤x≤50)24x+300(x>50)，
(2)①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果(100−x)千克
∴40≤x≤60，
当40≤x≤50时，
w1=30x+25(100−x)=5x+2500，
当x=40时．w小=2700元；
当50w2=24x+300+25(100−x)=−x+2800，
当x=60时，w小=2740元，
∵2740>2700
∴当x=40时，总费用最少，最少总费用为2700元此时乙种水果100−40=60(千克)，
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w (元)最少．
②当40≤x≤50时，(41−30)x>(36−25)(100−x)，
解得x>50，不符合题意；
当50(36−25)(100−x)，解得：x>50，
∴甲种水果购进量的取值范围为：5023.(1)证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形，
∴CF=GF；
(2)解：△BDG是等边三角形，理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，AD//BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°，
由(1)知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG//DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
(3)解：如图2中，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由(1)可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵BE=CD∠BEM=∠DCMEM=CM，
∴△BME≌△DMC(SAS)，
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∴DM= 22BD=5 2．
方法二：∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由(1)可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC=6，
过M作MH⊥CF于H，

则△MHF是等腰直角三角形，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=8，
∵CF=CE=2，
∴MH=FH=1，
∴DM= MH2+DH2= 12+72=5 2．
24.3 2 33 d1=d2【解析】解：(1)过E作EH⊥OC于H，如图1：
∵D(−3,0)，E(0,4)，
∴OD=3，OE=4，
由题意知，d(D，菱形OABC)=OD=3，
∵∠AOC=60°，
∴∠EOH=30°，
∴EH=12OE=2，
∴d(E，菱形OABC)=EH=2，
故答案为：3，2；
(2)①图象L经过点B或点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d(L,△ABC)=0，
当图象L经过点B时，
将B(−2,0)代入y=kx+6，得−2k+6=0，
解得k=3，
当图象L经过点C时，
将C(2,0)代入y=kx+6，得2k+6=0，
解得k=−3，
由一次函数的图象和性质可知，当k>3或k<−3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d(L,△ABC)=0，
∴k的取值范围为k≥3或k≤−3；
②如图2，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E．
y=kx+6中，令 x=0，得 y=6，
∴D(0,6)，
∴AD=OD−OA=6−2=4，
∵d(L,ABC)=2 3，
∴AE=2 3，
∴DE= AD2−AE2=2，
∴DE=12AD，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠DFO=30°，
∴OF= 3OD=6 3，
∴F(−6 3,0)，
将 F(−6 3,0)代入 y=kx+6，得 −6 3k+6=0，
解得k= 33；
故答案为： 33；
(3)∵点P(4n,6−4n)为平面内一点，
令x=4n，y=6−4n，则y=−x+6，
∴点P(4n,6−4n)在直线y=−x+6上，
设直线y=−x+6与x轴交于点E，与y轴交于点D，如图3，
当x=0时，y=6；当y=0时，−x+6=0，
解得x=6，
∴OD=OE=6，∠ODE=∠OED=45°
又∵OA=OC=OB=2，
∴AD=CE=4
∴当AP⊥DE时，距离最小，这时AP=DP= 22AD=2 2，
∴d1=2 2，
同理得到d2=2 2，d3=4 2，
∴d1=d220
21
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18
31
31
19
22
统计量
平均数
众数
中位数
数值
23
m
21