[数学][期中]传陕西省西安市碑林区2023-2024学年高一上学期期中教育质量监测试题(解析版)

这是一份[数学][期中]传陕西省西安市碑林区2023-2024学年高一上学期期中教育质量监测试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（每小题4分，共8小题，总计32分.）
1. 设集合为小于10的素数，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，因为，所以.
故选：A.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当，时，满足，此时；
当，时，满足，此时；
，，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 命题“，一元二次方程有实根”的否定是（ ）
A. ，一元二次方程无实根
B. ，一元二次方程无实根
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】命题“，一元二次方程有实根”为全称量词命题，
其否定为：，一元二次方程无实根.
故选：B.
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】A：若时，不成立，假命题；
B：由不等式性质知，则，真命题；
C：若，则，假命题；
D：若，则，假命题.
故选：B.
5. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数，定义域为，
选项A中，定义域为，故A错误；
选项B中，定义域为，故B错误；
选项中，定义域为，故正确；
选项D中，定义域为，故D错误.
故选：C.
6. 已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得对任意恒成立，
当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；
当时，由该不等式恒成立可得，解之得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A.
7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
A. 小于B. 等于
C. 大于D. 与左右臂的长度有关
【答案】C
【解析】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则，解之得，
则顾客购得的黄金为（克），
（当且仅当时等号成立），
由题意知，，则克.
故选：C.
8. 定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】令，即，解得，
所以，
则的图象如下所示：
又，，
要使函数在区间的值域为，当时，
当时，
所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为.
故选：D.
二、多项选择题（每小题4分，共4小题，总计16分，全部答对得4分，部分答对得2分，错选得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 集合
C. 函数的值域为
D. 在定义域内单调递增
【答案】BD
【解析】对于A：或，故A错误；
对于B：，
又，令，所以，，
即，
所以，故B正确；
对于C：因为，所以的值域为，故C错误；
对于D：，
因为在上单调递增，在上单调递增，
且为连续函数，所以在上单调递增，故D正确.
故选：BD.
10. 使“”成立的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，
所以由推得出，由推不出，
即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
同理可得是的必要不充分条件；
所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，.
故选：AC.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为或，
则和是方程的二根，且，
则，解之得，
由，可得选项A判断正确；
选项B：不等式可化为，
解之得，则不等式解集，判断正确；
选项C：，判断错误；
选项D：不等式可化为，
即，解之得或，
则不等式的解集为或，判断正确.
故选：ABD.
12. 若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B. 若，则存在区间M使为“弱增函数”
C. 若，则为R上的“弱增函数”
D. 若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，
由幂函数的性质可知，在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，
由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，
其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，
C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，
则，综上.故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（每小题4分，共4小题，总计16分.）
13. 写出一个同时具有下列性质的函数：____．
①是偶函数； ②在上单调递增．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由是偶函数可得的图像关于y轴对称，
则的图像关于直线对称，又在上单调递增，
则，或，或（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，
则.
故答案为：.
15. 若，且，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】因为，所以，即，
所以，则有，
解得（舍），或，
当且仅当时取得等号，
所以的最小值为6.
故答案为：6.
16. 已知函数是定义在上的偶函数，则______．
【答案】
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，
即且，
所以且，
则.
故答案为：.
四、解答题（共6大题，共56分.）
17. 已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
解：（1）是幂函数，
，解得或，
则或，
又的图象关于轴对称，即为偶函数，所以.
（2）由（1）可知，，对称轴为，
函数在区间上单调，
令或，解得或，即．
18. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时不等式，即，
即，解得，所以，
由，即，解得，
所以，.
（2）集合，，
分三种情况讨论：
①当时，，由，则，解得，
②当时，，满足，
③当时，，由，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
19. 设，均为正实数．
（1）求证：
（2）若，证明：．
解：（1），，，，
要证，即证，
，
，即，当且仅当时等号成立．
（2）因为，，且，
所以，且，则，，
由（1）得，
，
当且仅当，即时等号成立．
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上单调递增．
解：（1）函数是定义在上的奇函数，，
，而，解得，
，则的定义域为且，
即为奇函数，符合题意.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
任意且，
则，
因为，所以，又因为，所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
21. 某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
解：（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，
电力部门的收益为.
（2）依题意有，
整理得，
解此不等式组得．
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数.
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
解：（1）∵为奇函数，
∴，得，
则令，得.
（2）（i），
∵为奇函数，∴为奇函数，
∴函数的图象关于点对称.
（ii）在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，
记在区间上的值域为，
由对，总，使得成立知，
①当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，
∴在上单调递增，
只需即可，得，∴满足题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，
在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴或，
当时，，，
∴满足题意；
③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
∴在上单调递减，
只需即可，得，∴满足题意.
综上所述，的取值范围为.