新高考物理一轮复习重难点练习难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（2份打包，原卷版+解析版）

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一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（一）粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
（二）带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.

【例1】（带电粒子在直线边界磁场中运动）如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】（带电粒子在圆形边界磁场中运动）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直径ab垂直cd，∠MOd=30°，从M点沿Ma方向射入的带正电粒子恰能从b点离开磁场，粒子的质量为m，电量为q，不计粒子的重力，则粒子的速度大小及在磁场中运动的时间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【例3】（带电粒子在多边形边界磁场中运动）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角 SKIPIF 1 < 0 。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x正半轴。已知 SKIPIF 1 < 0 ，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带正电荷
B．粒子速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．粒子在磁场中运动的时间为 SKIPIF 1 < 0
D．N与O点相距3d
二、带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
【例4】（带电粒子在磁场中运动的临界问题）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（ ）
A．轨道半径之比为 SKIPIF 1 < 0 B．线速度大小之比为 SKIPIF 1 < 0
C．向心力大小之比为 SKIPIF 1 < 0 D．在磁场中运动时间之比为 SKIPIF 1 < 0
【例5】（带电粒子在磁场中运动的极值问题）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例6】（磁场方向不确定形成多解）(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【例7】（临界状态不确定形成多解）(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴正方向成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ）
A．1∶B．1∶1C．1∶2D．2∶1
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（ ）
A．tatcD．ta3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，左右边界a、b内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O点到边界a的距离与a到b的距离相等，质量为m、电荷量为q的带电粒子从O点射出，速度大小为 SKIPIF 1 < 0 、方向与磁场边界a夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，从a边界射入后，垂直于b边界射出，粒子重力不计，以下判断正确的是（ ）
A．带电粒子带正电B．带电粒子出磁场时速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．a、b边界的距离等于 SKIPIF 1 < 0 D．粒子从O运动到b边界的时间为 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为 SKIPIF 1 < 0 的匀强磁场被边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形 SKIPIF 1 < 0 边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点 SKIPIF 1 < 0 处由一质子源，能沿 SKIPIF 1 < 0 的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过 SKIPIF 1 < 0 点，质子比荷 SKIPIF 1 < 0 ，则质子的速度不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是（ ）
A．电子的运动轨迹为PENCMDP
B．B1＝2B2
C．电子从射入磁场到回到P点用时为 SKIPIF 1 < 0
D．B1＝4B2
6．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（ ）
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
7．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，两平行线EF和MN将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子不可能带负电
B．磁感应强度大小可能为B＝ SKIPIF 1 < 0
C．粒子到达C点的时间可能为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0
D．粒子的速度大小可能为v＝ SKIPIF 1 < 0
8．（2022·辽宁·模拟预测）磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P点射入磁场的速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为 SKIPIF 1 < 0
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2022·内蒙古·二模）如图所示的等边三角形区域 SKIPIF 1 < 0 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B， SKIPIF 1 < 0 的中点O处有一粒子发射源，能向磁场区域沿垂直 SKIPIF 1 < 0 的方向发射一系列速率不同的同种正粒子，已知粒子的比荷为k，磁场区域的边长为L。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度越大在磁场中运动的时间越短
B．从 SKIPIF 1 < 0 边离开的粒子在磁场中运动的时间相同
C．从 SKIPIF 1 < 0 边离开的粒子，速率的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．从 SKIPIF 1 < 0 边的中点离开的粒子，速率为 SKIPIF 1 < 0
10．（2022·云南·模拟预测）如图所示， SKIPIF 1 < 0 圆弧区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，AOB为磁场区域边界。圆弧半径为R， O点为圆心，D点为边界OB中点，C点为边界上一点，且CD//AO。现有一个质量为m、带电荷量大小为q的粒子以某速度从C点沿着CD方向射入磁场， 一段时间后粒子从O点离开磁场，粒子重力不计，则（ ）
A．该粒子带正电
B．该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
C．该粒子从C点射入磁场的速度大小为 SKIPIF 1 < 0
D．该粒子在磁场中运动的时间为 SKIPIF 1 < 0
11．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，两圆形成的圆环内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为 SKIPIF 1 < 0 的粒子由大圆上的A点以速率 SKIPIF 1 < 0 沿大圆切线方向进入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为 SKIPIF 1 < 0
B．经过时间 SKIPIF 1 < 0 ，粒子第1次回到A点
C．运动路程 SKIPIF 1 < 0 时，粒子第5次回到A点
D．粒子不可能回到A点
12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，边长为a的正方形线框内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。两个相同的带电粒子同时从AB边上的A点和E点（E点在AB之间，未画出），以相同的速度，沿平行于BC边的方向射入磁场，两带电粒子先后从BC边上的F点射出磁场，已知从A点入射的粒子射出磁场时速度方向与BF边的夹角θ=60°，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则（ ）
A．带电粒子的比荷为 SKIPIF 1 < 0
B．两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为tA∶tE=2∶1
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022·全国·高三专题练习）边长为a的等边三角形 SKIPIF 1 < 0 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为 SKIPIF 1 < 0 的带电粒子（不计重力）从 SKIPIF 1 < 0 边的中点沿平行 SKIPIF 1 < 0 边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（ ）
A．从 SKIPIF 1 < 0 边射出的粒子的最大速率为 SKIPIF 1 < 0
B．从 SKIPIF 1 < 0 边射出的粒子的最大速率为 SKIPIF 1 < 0
C．能从 SKIPIF 1 < 0 边射出的粒子最小速率为 SKIPIF 1 < 0
D．能从 SKIPIF 1 < 0 边射出的粒子最小速率为 SKIPIF 1 < 0
14．（2022·全国·高三课时练习）如图在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为 SKIPIF 1 < 0 的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R，则（ ）
A．粒子经偏转一定能回到原点O
B．粒子完在成一次周期性运动的时间为 SKIPIF 1 < 0
C．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动半径之比为1∶2
D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R
三、解答题
15．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值．
16．（2022·山东·蒙阴县实验中学高三阶段练习）如图所示，在xOy平面内，有一个圆形区域的直径AB与x轴重合，圆心O'的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场． 在ｙ轴和直线x＝3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力。
（1）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度大小v１；
（2）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt＝ SKIPIF 1 < 0 ，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v２；
17．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形匀强磁场区域 SKIPIF 1 < 0 内的 SKIPIF 1 < 0 点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为 SKIPIF 1 < 0 、电荷量为 SKIPIF 1 < 0 的带正电的粒子，粒子沿纸面以与 SKIPIF 1 < 0 成30°角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向垂直于纸面向里， SKIPIF 1 < 0 点是 SKIPIF 1 < 0 边的中点。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若粒子由边界 SKIPIF 1 < 0 离开磁场，求该粒子在磁场中的运动时间 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°，求该粒子的速度大小 SKIPIF 1 < 0 。
18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，直线 SKIPIF 1 < 0 上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 SKIPIF 1 < 0 。两带有等量异种电荷的粒子，同时从 SKIPIF 1 < 0 点以相同速度 SKIPIF 1 < 0 射入磁场，速度方向与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角。已知粒子的质量均为 SKIPIF 1 < 0 ，电荷量 SKIPIF 1 < 0 ，不计粒子的重力及两粒子间相互作用力，求：
（1）它们从磁场中射出时相距多远？
（2）射出的时间差是多少？
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，在xOy平面内存在以O点为圆心、半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向外。质量为m，电荷量为+q的带电粒子自圆周上的A点以速度v0平行于x轴射入磁场区域，粒子自圆周上的B点离开磁场。已知OA连线与y轴夹角为45°，粒子重力忽略不计。求：
（1）做出粒子在磁场中的运动轨迹，并标注轨迹圆心；（不需要叙述作图过程，图正确即可得满分）
（2）磁场的磁感应强度大小；
（3）带电粒子在磁场中的运动时间。
20．（2022·全国·高三专题练习）如图，xOy平面内有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子（不计粒子受到的重力）以大小为v0的初速度从y轴上的a点沿x轴正方向进入匀强磁场，其运动轨迹经过x轴上的b点，且 SKIPIF 1 < 0 。若撤去磁场换一个与y轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度v0从a点沿x轴正方向进入电场，运动轨迹仍能通过b点，求：
（1）粒子在磁场中从a点运动到b点的过程中，速度的偏转角的正弦值为多大？
（2）粒子在磁场中从a点运动到b点的时间？
（3）匀强电场的电场强度大小？