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高考物理一轮复习专题25带电粒子在有界匀强磁场中的运动(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习专题25带电粒子在有界匀强磁场中的运动(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了粒子轨迹圆心的确定，半径，带电粒子在有界磁场中的运动等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22125" 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc22125 \h 1
\l "_Tc1023" 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 PAGEREF _Tc1023 \h 3
\l "_Tc16697" 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc16697 \h 5
\l "_Tc4585" 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc4585 \h 8
\l "_Tc14384" 类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场 PAGEREF _Tc14384 \h 10
\l "_Tc10245" 题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 PAGEREF _Tc10245 \h 13
\l "_Tc28024" 类型1带电粒子在磁场中运动的临界问题 PAGEREF _Tc28024 \h 13
\l "_Tc26493" 类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题 PAGEREF _Tc26493 \h 17
\l "_Tc16065" 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc16065 \h 22
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】(2022·四川省仪陇宏德中学高三模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【例2】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点．已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为eq \f(l,2)
B．α粒子在磁场中运动的半径为eq \f(\r(3),2)l
C．质子在磁场中运动的时间为eq \f(πl,2v)
D．质子和α粒子发射的时间间隔为eq \f(7πl,6v)
【例3】.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是( )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
【例2】.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是( )
A．该粒子带正电
B．该粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
C．该粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．直径AD长度为4d
【例3】.(2022·北京市丰台区模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为eq \f(mvθ,qB)
C．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(mθ,qB)
D．圆形磁场区域的半径为eq \f(mv,qB)tan θ
【例4】.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力．则( )
A．该粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为eq \f(\r(3)mv0,3qR)
C．该粒子第二次射入磁场的速度为eq \f(v0,2)
D．该粒子第二次在磁场中运动的时间为eq \f(2\r(3)πR,3v0)
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【例2】(2022·江苏省第二次适应性模拟)科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为eq \f(q,m)的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
(1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm；
(2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】(2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【例2】如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶eq \r(3)
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为eq \r(3)∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
【例3】．(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为( )
A.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1
B.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝2∶1
C．t1∶t2＝2∶3
D．t1∶t2＝1∶3
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为eq \f(2,3)d
B．它进入磁场时的速度为eq \f(2qBd,3m)
C．它在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为eq \r(3)d
【例2】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场
B. 磁场方向垂直AOC平面向里
C. CD间的距离为
D. 粒子从C点到D点时间为
【例3】(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是eq \f(5,3)t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(2,3)t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,4)t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(1,3)t0类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
【例1】(多选) (2022·山东济南市模拟)如图所示，边长为eq \r(3)L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度大小为eq \f(2mv,qL)
B．磁感应强度大小为eq \f(4mv,qL)
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,12v)
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,6v)
【例2】 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为eq \f(BqL,4m)
B．粒子的入射速度为eq \f(\r(3)BqL,6m)
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为eq \f(πL,4)
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为eq \f(πm,2Bq)
【例3】．(多选)如图所示，ab为有界磁场的边界，ab上的O点为粒子源，粒子以速率v0均匀对称地射入磁场，粒子速度方向分布在与ab夹角为30°至150°之间所有方向．已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，粒子电荷量为－q(q>0)，质量为m，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离x＝eq \f(mv0,Bq)
B．粒子在磁场中运动，距ab的最远距离y＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)
C．粒子在磁场中运动，时间最短的粒子用时t1＝eq \f(πm,3Bq)
D．粒子在磁场中运动，时间最长的粒子用时t2＝eq \f(5πm,6Bq)
【例4】如图所示，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的eq \f(1,4)圆形区域MQN内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，G是QM边的中点．一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以相同的速度v＝eq \f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场，下列说法正确的是( )
A．没有粒子到达P点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,3qB)
C．从G、M之间射入的粒子皆可到达PN边
D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例1】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【例2】(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
【例3】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度的大小B0；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
类型
分析
图例
带电粒子电性
不确定
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
专题25 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22125" 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc22125 \h 1
\l "_Tc1023" 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 PAGEREF _Tc1023 \h 3
\l "_Tc16697" 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc16697 \h 5
\l "_Tc4585" 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc4585 \h 8
\l "_Tc14384" 类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场 PAGEREF _Tc14384 \h 10
\l "_Tc10245" 题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 PAGEREF _Tc10245 \h 13
\l "_Tc28024" 类型1带电粒子在磁场中运动的临界问题 PAGEREF _Tc28024 \h 13
\l "_Tc26493" 类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题 PAGEREF _Tc26493 \h 17
\l "_Tc16065" 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc16065 \h 22
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】(2022·四川省仪陇宏德中学高三模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案】 A
【解析】 电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝eq \f(mv,Bq)可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)，电子2运动的时间t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3Bq)，所以eq \f(t1,t2)＝3，故A正确，B、C、D错误．
【例2】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点．已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为eq \f(l,2)
B．α粒子在磁场中运动的半径为eq \f(\r(3),2)l
C．质子在磁场中运动的时间为eq \f(πl,2v)
D．质子和α粒子发射的时间间隔为eq \f(7πl,6v)
【答案】 ACD
【解析】 根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示；
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为粒子做圆周运动的半径为r＝eq \f(mv,qB)，质子与α粒子的荷质比为2∶1，所以其运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为eq \f(l,2).故A正确，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πl,v)，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝eq \f(θ1,360°)T＝eq \f(5πl,3v)，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为eq \f(l,2)，可知O点射入的速度方向必与OP边界垂直，θ2＝180°，故t2＝eq \f(πl,2v).所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝eq \f(7πl,6v)，故C、D正确．
【例3】.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
【答案】 C
【解析】 粒子运动周期T＝eq \f(2πm,Bq)，当θ一定时，粒子在磁场中运动时间：t＝eq \f(2π－2θ,2π)T＝eq \f(π－θ,π)T，ω＝eq \f(2π,T)，由于t、ω均与v无关，故A、B错误，C正确；当v一定时，由r＝eq \f(mv,Bq)知，r一定；当θ从0变至eq \f(π,2)的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于eq \f(π,2)时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是( )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
【答案】 C
【解析】 由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
qvB＝meq \f(v2,R)，T＝eq \f(2πR,v)，解得T＝eq \f(2πm,qB)，
可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝eq \f(θ,2π)T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；
由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；
设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝eq \r(3)r，根据qBv＝meq \f(v2,r)，可得eq \f(va,vb)＝eq \f(ra,rb)＝eq \f(\r(3),3)，C项正确；
由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以eq \f(tb,td)＝eq \f(θb,θd)＝eq \f(60°,45°)＝eq \f(4,3)，D项错误．
【例2】.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是( )
A．该粒子带正电
B．该粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
C．该粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．直径AD长度为4d
【答案】 D
【解析】 带电粒子在半圆形磁场中向上偏转，由左手定则可判断，粒子带负电，A错误；过P点和C点做速度的垂线，交点即为轨迹圆圆心．如图，由几何关系可知，OCO′P为菱形∠COP＝∠CO′P＝60°， eq \x\t(OP)＝2d＝eq \x\t(PC)＝r
洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)
r＝eq \f(mv,qB)
eq \f(q,m)＝eq \f(v,2dB)，B错误；
粒子在磁场中运动时间为t＝eq \f(T,6)＝eq \f(1,6)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)＝eq \f(π,3B)×eq \f(2dB,v)＝eq \f(2dπ,3v)，C错误；
直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，D正确．
【例3】.(2022·北京市丰台区模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为eq \f(mvθ,qB)
C．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(mθ,qB)
D．圆形磁场区域的半径为eq \f(mv,qB)tan θ
【答案】 D
【解析】 根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A不符合题意；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝meq \f(v2,r)，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝eq \f(mv,qB)，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝eq \f(mvθ,qB)，B不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(mθ,qB)，C不符合题意；设圆形磁场区域的半径为R，由tan eq \f(θ,2)＝eq \f(R,r)，解得R＝rtan eq \f(θ,2)＝eq \f(mv,qB)·tan eq \f(θ,2)，D符合题意。
【例4】.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力．则( )
A．该粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为eq \f(\r(3)mv0,3qR)
C．该粒子第二次射入磁场的速度为eq \f(v0,2)
D．该粒子第二次在磁场中运动的时间为eq \f(2\r(3)πR,3v0)
【答案】 BD
【解析】 由左手定则可知该粒子带负电，故A错误；由qBv＝meq \f(v2,r)，知r＝eq \f(mv,qB)，如图，由几何关系可得r1＝eq \f(R,tan θ)＝eq \r(3)R，B＝eq \f(\r(3)mv0,3qR)，故B正确；粒子第二次射入磁场，由几何关系知r2＝eq \f(\r(3),3)R，qBv2＝meq \f(v22,r)，知v2＝eq \f(qBr2,m)，则进入磁场速度为v2＝eq \f(v0,3)，故C错误；粒子第二次在磁场中运动的时间t＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2\r(3)πR,3v0)，故D正确．
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【答案】 C
【解析】 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有eq \r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq \f(4,3)a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有evB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(3mv,4ae)，选项C正确。
【例2】(2022·江苏省第二次适应性模拟)科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为eq \f(q,m)的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
(1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm；
(2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。
【答案】 (1)eq \f(3qBR,2m) (2)eq \f(127πm,90qB) (3)eq \f(qBR,m)
【解析】 (1)如图甲所示，
甲
粒子源在A点时，粒子最大运动半径为
rmax＝eq \f(2R＋R,2)＝eq \f(3,2)R，
由运动的半径
rmax＝eq \f(mvAm,qB)
解得vAm＝eq \f(3qBR,2m)。
(2)设粒子运动半径为r0，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图乙所示，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间最长，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2
乙
则R2＋req \\al(2,0)＝(2R－r0)2
得r0＝eq \f(3,4)R，则∠ACO＝53°，∠ACD＝106°，
轨迹圆心角为360°－106°＝254°
解得tm＝eq \f(254°,360°)T＝eq \f(127πm,90qB)。
(3)当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图丙所示，被磁场约束的粒子半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP。
丙
在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，
OG＝eq \f(\r(3),2)R，EG＝rP－eq \f(1,2)R，OE＝2R－rP
得rP＝R
由运动半径r＝eq \f(mv,qB)，解得vPm＝eq \f(qBR,m)。
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】(2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【答案】 B
【解析】 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝eq \f(l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝meq \f(va2,ra)，又eq \f(e,m)＝k，解得va＝eq \f(kBl,4)；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－eq \f(l,2))2，解得：rd＝eq \f(5l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝meq \f(vd2,rd)，又eq \f(e,m)＝k，解得vd＝eq \f(5kBl,4)，选项B正确．
【例2】如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶eq \r(3)
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为eq \r(3)∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
【答案】 B
【解析】 a粒子向上偏转，由F＝qvB得，a粒子带正电；b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故B正确；由qvB＝meq \f(v2,R)得v＝eq \f(qBR,m)，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故C错误；粒子运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，Ta＝Tb，a运动时间ta＝eq \f(60°,360°)Ta＝eq \f(1,6)Ta＝eq \f(1,6)T，b运动时间tb＝eq \f(30°,360°)Tb＝eq \f(1,12)Tb＝eq \f(1,12)T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误．
【例3】．(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为( )
A.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1
B.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝2∶1
C．t1∶t2＝2∶3
D．t1∶t2＝1∶3
【答案】 AC
【解析】 两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝meq \f(v02,r)，可得eq \f(q,m)＝eq \f(v0,Br)，则eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1，选项A正确，B错误；根据T＝eq \f(2πm,qB)可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝eq \f(θ,2π)T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误．
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为eq \f(2,3)d
B．它进入磁场时的速度为eq \f(2qBd,3m)
C．它在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为eq \r(3)d
【答案】 AB
【解析】 粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝eq \f(2,3)d，故A正确；由qvB＝meq \f(v2,r)，r＝eq \f(2,3)d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(2qBd,3m)，故B正确；由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，如图由几何关系知t＝eq \f(2,3)T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(4πm,3qB)，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcs 30°＝－eq \f(2\r(3),3)d，故D错误．
【例2】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场
B. 磁场方向垂直AOC平面向里
C. CD间的距离为
D. 粒子从C点到D点时间为
【答案】BD
【解析】
【详解】A．若粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场，到达D点时的速度一定与AC边垂直，A错误；
B．根据左手定则，磁场方向垂直AOC平面向里，B正确；
C．根据题意，该粒子在磁场中的偏转角度为
设轨道半径为R，根据牛顿第二定律得
CD间的距离为
解得
C错误；
D．粒子从C点到D点的时间为
解得
D正确。
故选BD。
【例3】(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是eq \f(5,3)t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(2,3)t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,4)t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(1,3)t0【答案】 ACD
【解析】 如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.由图中几何关系可知，从ad射出磁场经历的时间一定小于eq \f(1,3)t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于eq \f(1,3)t0，小于eq \f(5,6)t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于eq \f(5,6)t0，小于eq \f(4,3)t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是eq \f(5,3)t0.故选A、C、D.
【例4】如图所示，比荷为k的带电粒子(不计重力)，从坐标原点O1以速度v0沿x轴正方向射入垂直纸面向里的匀强磁场中；在坐标平面内，半径为R的圆形边界(圆心在O2点)正好与y轴相切在O1，粒子从圆形边界的c点射出，磁场的磁感应强度大小为eq \f(v0,Rk)，下列说法正确的是( )
A．粒子做匀速圆周运动的半径为Rk2
B．c点的坐标为(R，R)
C．粒子从O1到c的运动时间为eq \f(πR,4v0)
D．若该粒子从圆形边界上的a点或b点，以平行于x轴的速度v0射入磁场，则粒子必不从c点射出圆形边界
答案 B
解析 设粒子做匀速圆周运动的半径为r，磁感应强度为B，由Bqv0＝meq \f(v\\al(02),r)，得
r＝eq \f(mv0,Bq)，代入B＝eq \f(v0,Rk)，eq \f(q,m)＝k，联立可得r＝R，A错误；
圆形边界的半径与轨迹圆的半径相等，根据匀速圆周运动知识可知，轨迹圆的圆心O3在y轴上，如图所示，
O1O2cO3是边长为R的正方形，则c点的坐标为(R，R)，B正确；
粒子从O1到c运动时间t＝eq \f(2πR,4v0)＝eq \f(πR,2v0)，C错误；
圆形边界的半径与轨迹圆的半径相同，满足磁聚焦原理，一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则粒子将汇聚于同一点，即入射速度相同的粒子从圆形磁场边界上的O1、a、b点射入，必然从同一点c射出，D错误．
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
【例1】(多选) (2022·山东济南市模拟)如图所示，边长为eq \r(3)L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度大小为eq \f(2mv,qL)
B．磁感应强度大小为eq \f(4mv,qL)
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,12v)
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,6v)
【答案】 BC
【解析】 磁场方向垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此带电粒子的轨迹圆的直径等于过O点垂直于cb的线段长度，设垂足为d，由几何关系得Od＝eq \f(1,2)L，则粒子轨迹圆的半径为r＝eq \f(1,4)L，由洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(4mv,qL)，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由2qvB＝meq \f(（2v）2,r)，得r′＝eq \f(2mv,qB)＝eq \f(L,2)，求最短时间，也就是求粒子在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d穿出时，时间最短，由几何关系知，转过的角度为θ＝60°，T＝eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πL,2v)，即最短时间t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(πL,12v)，C正确，D错误。
【例2】 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为eq \f(BqL,4m)
B．粒子的入射速度为eq \f(\r(3)BqL,6m)
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为eq \f(πL,4)
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为eq \f(πm,2Bq)
【答案】 AC
【解析】 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，r＝eq \f(mv,Bq)，因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝eq \f(L,4)，则粒子的入射速度v＝eq \f(BqL,4m)，所以A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为s＝πr＝eq \f(πL,4)，所以C项正确；与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为eq \f(2π,3)，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝eq \f(2πm,3Bq)，所以D项错误．
【例3】．(多选)如图所示，ab为有界磁场的边界，ab上的O点为粒子源，粒子以速率v0均匀对称地射入磁场，粒子速度方向分布在与ab夹角为30°至150°之间所有方向．已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，粒子电荷量为－q(q>0)，质量为m，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离x＝eq \f(mv0,Bq)
B．粒子在磁场中运动，距ab的最远距离y＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)
C．粒子在磁场中运动，时间最短的粒子用时t1＝eq \f(πm,3Bq)
D．粒子在磁场中运动，时间最长的粒子用时t2＝eq \f(5πm,6Bq)
【答案】 BC
【解析】 粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝eq \f(mv0,Bq)，周期T＝eq \f(2πm,Bq)，粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离为直径，即x＝eq \f(2mv0,Bq)，A错误；粒子在磁场中运动时，距ab的最远距离y＝r＋eq \f(\r(3),2)r＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)，B正确；当粒子沿着最右的方向射入时，偏转角最小为60°，时间最短为eq \f(1,6)周期，即t1＝eq \f(πm,3Bq)，C正确；粒子沿着最左的方向射入时，偏转角最大为300°，最长时间为eq \f(5,6)周期，即t2＝eq \f(5πm,3Bq)，选项D错误．
【例4】如图所示，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的eq \f(1,4)圆形区域MQN内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，G是QM边的中点．一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以相同的速度v＝eq \f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场，下列说法正确的是( )
A．没有粒子到达P点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,3qB)
C．从G、M之间射入的粒子皆可到达PN边
D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【答案】 B
【解析】 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)解得R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(m\f(qBL,m),qB)＝L，若粒子在磁场中恰好经过弧QN的中点K，如图：
则根据几何关系可知粒子的出射速度与水平方向成45°角，之后匀速直线运动正好到达P点，选项A错误；
经分析知从M点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，如图：
由几何关系可知粒子的偏转角为60°，则在磁场中运动的时间t＝eq \f(60°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)，选项B正确；
画出粒子从G点射入的轨迹如图：
由图知粒子从磁场中射出的点在K的下方，粒子不会打在PN边上，所以从G、M之间射入的粒子不能全部到达PN边，选项C错误；
由以上分析可知粒子将从磁场边界上不同的点射出磁场，选项D错误．
【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
【答案】 (1)eq \f(\r(3)v,3BR) eq \f(\r(3)πR,3v) (2)eq \f(\r(3),3)R
【解析】 (1)粒子的轨迹半径：
r＝eq \f(R,tan 30°)①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝meq \f(v2,r)②
由①②两式得粒子的比荷：eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v,3BR)③
粒子的运动周期T＝eq \f(2πr,v)④
粒子在磁场中的运动时间t＝eq \f(1,6)T⑤
由①④⑤式得t＝eq \f(\r(3)πR,3v).⑥
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．
由图可知sin θ＝eq \f(R,r)⑦
平移距离d＝Rsin θ⑧
由①⑦⑧式得d＝eq \f(\r(3),3)R.
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例1】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【答案】 BD
【解析】 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,B1q)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误．
【例2】(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
【答案】 ABD
【解析】 质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcs 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝meq \f(v2,R)，联立解得v＝eq \f(BqR,m)＝eq \f(BkL,n)(n＝1,2，…)，所以A、B、D正确，C错误．
【例3】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度的大小B0；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】 (1)eq \f(2πm,qT0) (2)eq \f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)
【解析】 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
做匀速圆周运动的周期T0＝eq \f(2πR,v0)
解得磁感应强度大小B0＝eq \f(2πm,qT0)。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向如图所示，正离子在两板之间只运动一个周期T0，有R＝eq \f(d,4)；当正离子在两板之间运动n(n＝1，2，3，…)个周期，即nT0(n＝1，2，3，…)时，有R＝eq \f(d,4n)(n＝1，2，3，…)。
由qv0B0＝meq \f(veq \\al(2,0),R)得正离子的速度的可能值为
v0＝eq \f(qB0R,m)＝eq \f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)。
类型
分析
图例
带电粒子电性
不确定
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22125" 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc22125 \h 1
\l "_Tc1023" 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 PAGEREF _Tc1023 \h 3
\l "_Tc16697" 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc16697 \h 5
\l "_Tc4585" 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc4585 \h 8
\l "_Tc14384" 类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场 PAGEREF _Tc14384 \h 10
\l "_Tc10245" 题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 PAGEREF _Tc10245 \h 13
\l "_Tc28024" 类型1带电粒子在磁场中运动的临界问题 PAGEREF _Tc28024 \h 13
\l "_Tc26493" 类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题 PAGEREF _Tc26493 \h 17
\l "_Tc16065" 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc16065 \h 22
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】(2022·四川省仪陇宏德中学高三模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【例2】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点．已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为eq \f(l,2)
B．α粒子在磁场中运动的半径为eq \f(\r(3),2)l
C．质子在磁场中运动的时间为eq \f(πl,2v)
D．质子和α粒子发射的时间间隔为eq \f(7πl,6v)
【例3】.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是( )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
【例2】.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是( )
A．该粒子带正电
B．该粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
C．该粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．直径AD长度为4d
【例3】.(2022·北京市丰台区模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为eq \f(mvθ,qB)
C．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(mθ,qB)
D．圆形磁场区域的半径为eq \f(mv,qB)tan θ
【例4】.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力．则( )
A．该粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为eq \f(\r(3)mv0,3qR)
C．该粒子第二次射入磁场的速度为eq \f(v0,2)
D．该粒子第二次在磁场中运动的时间为eq \f(2\r(3)πR,3v0)
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【例2】(2022·江苏省第二次适应性模拟)科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为eq \f(q,m)的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
(1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm；
(2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】(2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【例2】如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶eq \r(3)
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为eq \r(3)∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
【例3】．(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为( )
A.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1
B.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝2∶1
C．t1∶t2＝2∶3
D．t1∶t2＝1∶3
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为eq \f(2,3)d
B．它进入磁场时的速度为eq \f(2qBd,3m)
C．它在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为eq \r(3)d
【例2】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场
B. 磁场方向垂直AOC平面向里
C. CD间的距离为
D. 粒子从C点到D点时间为
【例3】(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是eq \f(5,3)t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(2,3)t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,4)t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(1,3)t0
【例1】(多选) (2022·山东济南市模拟)如图所示，边长为eq \r(3)L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度大小为eq \f(2mv,qL)
B．磁感应强度大小为eq \f(4mv,qL)
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,12v)
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,6v)
【例2】 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为eq \f(BqL,4m)
B．粒子的入射速度为eq \f(\r(3)BqL,6m)
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为eq \f(πL,4)
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为eq \f(πm,2Bq)
【例3】．(多选)如图所示，ab为有界磁场的边界，ab上的O点为粒子源，粒子以速率v0均匀对称地射入磁场，粒子速度方向分布在与ab夹角为30°至150°之间所有方向．已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，粒子电荷量为－q(q>0)，质量为m，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离x＝eq \f(mv0,Bq)
B．粒子在磁场中运动，距ab的最远距离y＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)
C．粒子在磁场中运动，时间最短的粒子用时t1＝eq \f(πm,3Bq)
D．粒子在磁场中运动，时间最长的粒子用时t2＝eq \f(5πm,6Bq)
【例4】如图所示，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的eq \f(1,4)圆形区域MQN内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，G是QM边的中点．一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以相同的速度v＝eq \f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场，下列说法正确的是( )
A．没有粒子到达P点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,3qB)
C．从G、M之间射入的粒子皆可到达PN边
D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例1】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【例2】(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
【例3】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度的大小B0；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
类型
分析
图例
带电粒子电性
不确定
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
专题25 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22125" 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc22125 \h 1
\l "_Tc1023" 类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动 PAGEREF _Tc1023 \h 3
\l "_Tc16697" 类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc16697 \h 5
\l "_Tc4585" 类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动 PAGEREF _Tc4585 \h 8
\l "_Tc14384" 类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场 PAGEREF _Tc14384 \h 10
\l "_Tc10245" 题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题 PAGEREF _Tc10245 \h 13
\l "_Tc28024" 类型1带电粒子在磁场中运动的临界问题 PAGEREF _Tc28024 \h 13
\l "_Tc26493" 类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题 PAGEREF _Tc26493 \h 17
\l "_Tc16065" 题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc16065 \h 22
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】(2022·四川省仪陇宏德中学高三模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案】 A
【解析】 电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝eq \f(mv,Bq)可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)，电子2运动的时间t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3Bq)，所以eq \f(t1,t2)＝3，故A正确，B、C、D错误．
【例2】(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点．已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为eq \f(l,2)
B．α粒子在磁场中运动的半径为eq \f(\r(3),2)l
C．质子在磁场中运动的时间为eq \f(πl,2v)
D．质子和α粒子发射的时间间隔为eq \f(7πl,6v)
【答案】 ACD
【解析】 根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示；
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为粒子做圆周运动的半径为r＝eq \f(mv,qB)，质子与α粒子的荷质比为2∶1，所以其运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为eq \f(l,2).故A正确，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πl,v)，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝eq \f(θ1,360°)T＝eq \f(5πl,3v)，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为eq \f(l,2)，可知O点射入的速度方向必与OP边界垂直，θ2＝180°，故t2＝eq \f(πl,2v).所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝eq \f(7πl,6v)，故C、D正确．
【例3】.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
【答案】 C
【解析】 粒子运动周期T＝eq \f(2πm,Bq)，当θ一定时，粒子在磁场中运动时间：t＝eq \f(2π－2θ,2π)T＝eq \f(π－θ,π)T，ω＝eq \f(2π,T)，由于t、ω均与v无关，故A、B错误，C正确；当v一定时，由r＝eq \f(mv,Bq)知，r一定；当θ从0变至eq \f(π,2)的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于eq \f(π,2)时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是( )
A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为eq \f(\r(3),3)
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
【答案】 C
【解析】 由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
qvB＝meq \f(v2,R)，T＝eq \f(2πR,v)，解得T＝eq \f(2πm,qB)，
可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝eq \f(θ,2π)T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；
由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；
设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝eq \r(3)r，根据qBv＝meq \f(v2,r)，可得eq \f(va,vb)＝eq \f(ra,rb)＝eq \f(\r(3),3)，C项正确；
由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以eq \f(tb,td)＝eq \f(θb,θd)＝eq \f(60°,45°)＝eq \f(4,3)，D项错误．
【例2】.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是( )
A．该粒子带正电
B．该粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
C．该粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．直径AD长度为4d
【答案】 D
【解析】 带电粒子在半圆形磁场中向上偏转，由左手定则可判断，粒子带负电，A错误；过P点和C点做速度的垂线，交点即为轨迹圆圆心．如图，由几何关系可知，OCO′P为菱形∠COP＝∠CO′P＝60°， eq \x\t(OP)＝2d＝eq \x\t(PC)＝r
洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)
r＝eq \f(mv,qB)
eq \f(q,m)＝eq \f(v,2dB)，B错误；
粒子在磁场中运动时间为t＝eq \f(T,6)＝eq \f(1,6)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)＝eq \f(π,3B)×eq \f(2dB,v)＝eq \f(2dπ,3v)，C错误；
直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，D正确．
【例3】.(2022·北京市丰台区模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为eq \f(mvθ,qB)
C．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(mθ,qB)
D．圆形磁场区域的半径为eq \f(mv,qB)tan θ
【答案】 D
【解析】 根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A不符合题意；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝meq \f(v2,r)，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝eq \f(mv,qB)，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝eq \f(mvθ,qB)，B不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(mθ,qB)，C不符合题意；设圆形磁场区域的半径为R，由tan eq \f(θ,2)＝eq \f(R,r)，解得R＝rtan eq \f(θ,2)＝eq \f(mv,qB)·tan eq \f(θ,2)，D符合题意。
【例4】.(多选)如图，半径为R的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某质量为m、带电荷量为q的粒子从圆上P点沿半径方向以速度v0射入匀强磁场，粒子从Q点飞出，速度偏转角为60°.现将该粒子从P点以另一速度沿半径方向射入匀强磁场，粒子离开磁场时，速度偏转角为120°，不计粒子重力．则( )
A．该粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为eq \f(\r(3)mv0,3qR)
C．该粒子第二次射入磁场的速度为eq \f(v0,2)
D．该粒子第二次在磁场中运动的时间为eq \f(2\r(3)πR,3v0)
【答案】 BD
【解析】 由左手定则可知该粒子带负电，故A错误；由qBv＝meq \f(v2,r)，知r＝eq \f(mv,qB)，如图，由几何关系可得r1＝eq \f(R,tan θ)＝eq \r(3)R，B＝eq \f(\r(3)mv0,3qR)，故B正确；粒子第二次射入磁场，由几何关系知r2＝eq \f(\r(3),3)R，qBv2＝meq \f(v22,r)，知v2＝eq \f(qBr2,m)，则进入磁场速度为v2＝eq \f(v0,3)，故C错误；粒子第二次在磁场中运动的时间t＝eq \f(1,3)T＝eq \f(2\r(3)πR,3v0)，故D正确．
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【答案】 C
【解析】 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有eq \r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq \f(4,3)a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有evB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(3mv,4ae)，选项C正确。
【例2】(2022·江苏省第二次适应性模拟)科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为eq \f(q,m)的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
(1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm；
(2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。
【答案】 (1)eq \f(3qBR,2m) (2)eq \f(127πm,90qB) (3)eq \f(qBR,m)
【解析】 (1)如图甲所示，
甲
粒子源在A点时，粒子最大运动半径为
rmax＝eq \f(2R＋R,2)＝eq \f(3,2)R，
由运动的半径
rmax＝eq \f(mvAm,qB)
解得vAm＝eq \f(3qBR,2m)。
(2)设粒子运动半径为r0，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图乙所示，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间最长，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2
乙
则R2＋req \\al(2,0)＝(2R－r0)2
得r0＝eq \f(3,4)R，则∠ACO＝53°，∠ACD＝106°，
轨迹圆心角为360°－106°＝254°
解得tm＝eq \f(254°,360°)T＝eq \f(127πm,90qB)。
(3)当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图丙所示，被磁场约束的粒子半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP。
丙
在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，
OG＝eq \f(\r(3),2)R，EG＝rP－eq \f(1,2)R，OE＝2R－rP
得rP＝R
由运动半径r＝eq \f(mv,qB)，解得vPm＝eq \f(qBR,m)。
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】(2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【答案】 B
【解析】 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝eq \f(l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝meq \f(va2,ra)，又eq \f(e,m)＝k，解得va＝eq \f(kBl,4)；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－eq \f(l,2))2，解得：rd＝eq \f(5l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝meq \f(vd2,rd)，又eq \f(e,m)＝k，解得vd＝eq \f(5kBl,4)，选项B正确．
【例2】如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶eq \r(3)
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为eq \r(3)∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
【答案】 B
【解析】 a粒子向上偏转，由F＝qvB得，a粒子带正电；b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故B正确；由qvB＝meq \f(v2,R)得v＝eq \f(qBR,m)，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶eq \r(3)，故C错误；粒子运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，Ta＝Tb，a运动时间ta＝eq \f(60°,360°)Ta＝eq \f(1,6)Ta＝eq \f(1,6)T，b运动时间tb＝eq \f(30°,360°)Tb＝eq \f(1,12)Tb＝eq \f(1,12)T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误．
【例3】．(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为( )
A.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1
B.eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝2∶1
C．t1∶t2＝2∶3
D．t1∶t2＝1∶3
【答案】 AC
【解析】 两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b点飞出的粒子的运动轨迹半径为r1＝L；从c点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝meq \f(v02,r)，可得eq \f(q,m)＝eq \f(v0,Br)，则eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶1，选项A正确，B错误；根据T＝eq \f(2πm,qB)可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝eq \f(θ,2π)T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C正确，D错误．
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为eq \f(2,3)d
B．它进入磁场时的速度为eq \f(2qBd,3m)
C．它在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为eq \r(3)d
【答案】 AB
【解析】 粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝eq \f(2,3)d，故A正确；由qvB＝meq \f(v2,r)，r＝eq \f(2,3)d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(2qBd,3m)，故B正确；由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，如图由几何关系知t＝eq \f(2,3)T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(4πm,3qB)，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcs 30°＝－eq \f(2\r(3),3)d，故D错误．
【例2】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场
B. 磁场方向垂直AOC平面向里
C. CD间的距离为
D. 粒子从C点到D点时间为
【答案】BD
【解析】
【详解】A．若粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场，到达D点时的速度一定与AC边垂直，A错误；
B．根据左手定则，磁场方向垂直AOC平面向里，B正确；
C．根据题意，该粒子在磁场中的偏转角度为
设轨道半径为R，根据牛顿第二定律得
CD间的距离为
解得
C错误；
D．粒子从C点到D点的时间为
解得
D正确。
故选BD。
【例3】(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是eq \f(5,3)t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(2,3)t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(5,4)t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是eq \f(1,3)t0
【解析】 如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.由图中几何关系可知，从ad射出磁场经历的时间一定小于eq \f(1,3)t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于eq \f(1,3)t0，小于eq \f(5,6)t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于eq \f(5,6)t0，小于eq \f(4,3)t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是eq \f(5,3)t0.故选A、C、D.
【例4】如图所示，比荷为k的带电粒子(不计重力)，从坐标原点O1以速度v0沿x轴正方向射入垂直纸面向里的匀强磁场中；在坐标平面内，半径为R的圆形边界(圆心在O2点)正好与y轴相切在O1，粒子从圆形边界的c点射出，磁场的磁感应强度大小为eq \f(v0,Rk)，下列说法正确的是( )
A．粒子做匀速圆周运动的半径为Rk2
B．c点的坐标为(R，R)
C．粒子从O1到c的运动时间为eq \f(πR,4v0)
D．若该粒子从圆形边界上的a点或b点，以平行于x轴的速度v0射入磁场，则粒子必不从c点射出圆形边界
答案 B
解析 设粒子做匀速圆周运动的半径为r，磁感应强度为B，由Bqv0＝meq \f(v\\al(02),r)，得
r＝eq \f(mv0,Bq)，代入B＝eq \f(v0,Rk)，eq \f(q,m)＝k，联立可得r＝R，A错误；
圆形边界的半径与轨迹圆的半径相等，根据匀速圆周运动知识可知，轨迹圆的圆心O3在y轴上，如图所示，
O1O2cO3是边长为R的正方形，则c点的坐标为(R，R)，B正确；
粒子从O1到c运动时间t＝eq \f(2πR,4v0)＝eq \f(πR,2v0)，C错误；
圆形边界的半径与轨迹圆的半径相同，满足磁聚焦原理，一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则粒子将汇聚于同一点，即入射速度相同的粒子从圆形磁场边界上的O1、a、b点射入，必然从同一点c射出，D错误．
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
【例1】(多选) (2022·山东济南市模拟)如图所示，边长为eq \r(3)L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度大小为eq \f(2mv,qL)
B．磁感应强度大小为eq \f(4mv,qL)
C．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,12v)
D．若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为eq \f(πL,6v)
【答案】 BC
【解析】 磁场方向垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此带电粒子的轨迹圆的直径等于过O点垂直于cb的线段长度，设垂足为d，由几何关系得Od＝eq \f(1,2)L，则粒子轨迹圆的半径为r＝eq \f(1,4)L，由洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(4mv,qL)，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由2qvB＝meq \f(（2v）2,r)，得r′＝eq \f(2mv,qB)＝eq \f(L,2)，求最短时间，也就是求粒子在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d穿出时，时间最短，由几何关系知，转过的角度为θ＝60°，T＝eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πL,2v)，即最短时间t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(πL,12v)，C正确，D错误。
【例2】 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为eq \f(BqL,4m)
B．粒子的入射速度为eq \f(\r(3)BqL,6m)
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为eq \f(πL,4)
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为eq \f(πm,2Bq)
【答案】 AC
【解析】 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，r＝eq \f(mv,Bq)，因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝eq \f(L,4)，则粒子的入射速度v＝eq \f(BqL,4m)，所以A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为s＝πr＝eq \f(πL,4)，所以C项正确；与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为eq \f(2π,3)，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝eq \f(2πm,3Bq)，所以D项错误．
【例3】．(多选)如图所示，ab为有界磁场的边界，ab上的O点为粒子源，粒子以速率v0均匀对称地射入磁场，粒子速度方向分布在与ab夹角为30°至150°之间所有方向．已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，粒子电荷量为－q(q>0)，质量为m，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离x＝eq \f(mv0,Bq)
B．粒子在磁场中运动，距ab的最远距离y＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)
C．粒子在磁场中运动，时间最短的粒子用时t1＝eq \f(πm,3Bq)
D．粒子在磁场中运动，时间最长的粒子用时t2＝eq \f(5πm,6Bq)
【答案】 BC
【解析】 粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝eq \f(mv0,Bq)，周期T＝eq \f(2πm,Bq)，粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离为直径，即x＝eq \f(2mv0,Bq)，A错误；粒子在磁场中运动时，距ab的最远距离y＝r＋eq \f(\r(3),2)r＝(1＋eq \f(\r(3),2))eq \f(mv0,Bq)，B正确；当粒子沿着最右的方向射入时，偏转角最小为60°，时间最短为eq \f(1,6)周期，即t1＝eq \f(πm,3Bq)，C正确；粒子沿着最左的方向射入时，偏转角最大为300°，最长时间为eq \f(5,6)周期，即t2＝eq \f(5πm,3Bq)，选项D错误．
【例4】如图所示，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的eq \f(1,4)圆形区域MQN内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，G是QM边的中点．一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以相同的速度v＝eq \f(qBL,m)沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场，下列说法正确的是( )
A．没有粒子到达P点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,3qB)
C．从G、M之间射入的粒子皆可到达PN边
D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【答案】 B
【解析】 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)解得R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(m\f(qBL,m),qB)＝L，若粒子在磁场中恰好经过弧QN的中点K，如图：
则根据几何关系可知粒子的出射速度与水平方向成45°角，之后匀速直线运动正好到达P点，选项A错误；
经分析知从M点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，如图：
由几何关系可知粒子的偏转角为60°，则在磁场中运动的时间t＝eq \f(60°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,3qB)，选项B正确；
画出粒子从G点射入的轨迹如图：
由图知粒子从磁场中射出的点在K的下方，粒子不会打在PN边上，所以从G、M之间射入的粒子不能全部到达PN边，选项C错误；
由以上分析可知粒子将从磁场边界上不同的点射出磁场，选项D错误．
【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
【答案】 (1)eq \f(\r(3)v,3BR) eq \f(\r(3)πR,3v) (2)eq \f(\r(3),3)R
【解析】 (1)粒子的轨迹半径：
r＝eq \f(R,tan 30°)①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝meq \f(v2,r)②
由①②两式得粒子的比荷：eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v,3BR)③
粒子的运动周期T＝eq \f(2πr,v)④
粒子在磁场中的运动时间t＝eq \f(1,6)T⑤
由①④⑤式得t＝eq \f(\r(3)πR,3v).⑥
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．
由图可知sin θ＝eq \f(R,r)⑦
平移距离d＝Rsin θ⑧
由①⑦⑧式得d＝eq \f(\r(3),3)R.
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例1】(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【答案】 BD
【解析】 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,B1q)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误．
【例2】(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
【答案】 ABD
【解析】 质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcs 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝meq \f(v2,R)，联立解得v＝eq \f(BqR,m)＝eq \f(BkL,n)(n＝1,2，…)，所以A、B、D正确，C错误．
【例3】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度的大小B0；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】 (1)eq \f(2πm,qT0) (2)eq \f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)
【解析】 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)
做匀速圆周运动的周期T0＝eq \f(2πR,v0)
解得磁感应强度大小B0＝eq \f(2πm,qT0)。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向如图所示，正离子在两板之间只运动一个周期T0，有R＝eq \f(d,4)；当正离子在两板之间运动n(n＝1，2，3，…)个周期，即nT0(n＝1，2，3，…)时，有R＝eq \f(d,4n)(n＝1，2，3，…)。
由qv0B0＝meq \f(veq \\al(2,0),R)得正离子的速度的可能值为
v0＝eq \f(qB0R,m)＝eq \f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)。
类型
分析
图例
带电粒子电性
不确定
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
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