2023-2024学年重庆市江津中学九年级（上）第一次定时作业数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市江津中学九年级（上）第一次定时作业数学试卷（含解析），共60页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．2x+3＝0B．x+y＝5C．x2﹣1＝0D．3﹣1＝2
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°到△ADE，若∠DAE＝50°（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
5．观察下列图形的规律，依照此规律，第20个图形中“•”的个数为（ ）
A．402B．412C．422D．432
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣1）2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2+5
C．y＝（x﹣4）2+5D．y＝（x﹣4）2+1
7．某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，销售量逐月增加，一季度共销售23.75万件，则可列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝23.75
B．5+5（1+x）2＝23.75
C．5（1+2x）2＝23.75
D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝23.75
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，MN，AN，BM＝2，则线段NC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
10．对于实数a，b，如果定义新运算a*b＝，则下列结论正确的有（ ）
①3*4＝25；
②a*（2a﹣1）＝；
③若x1、x2是一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣m+1＝0的两个根，且x1*x2＝5，则m的值为3或﹣1．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是 ．
12．若A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）两点在抛物线y＝x2+6x+c的图象上，则y1 y2（用“＜”、“＞”、“＝”符号连接）．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0有一个根为1，则k＝ ．
14．若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝ ．
15．设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是 ．
17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣8＝0没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ．
18．对于一个四位自然数，若满足a+d＝b+c，则称这个四位数为“和平数”（m）＝a+b+c+d．例如：m＝1234，∵1+4＝2+3，F（1234）＝1+2+3+4＝10；m＝2346，∴2346不是“和平数”．则F（2378）＝ ；已知M，N均为“和平数”，其中M＝1000x+10y+136，其中（1≤x≤9，0≤y≤6，0≤n≤9，x、y、b都是整数），如果M+，则N＝ ．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书
19．计算：
（1）（x+1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣3x+2＝0．
20．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G．连接DE（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形AEDF是正方形．（请补全下面证明过程）
证明：∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝ ．
∴∠1＝∠ADE，∠2＝ ．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝ ．
∴∠ADE＝∠ADF（等量代换）．
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌ （ASA）．
∴AE＝AF＝DE＝DF．
∴四边形AEDF是 ．
又∵∠BAC＝90°（已知），
∴四边形AEDF是正方形．
21．已知二次函数（m为常数，m＞0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数的图象与直线y＝﹣5有几个交点并说明理由．
22．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2、C2的坐标；
（3）若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 ．
23．秋季来临，气温有所下降，某商店购入一批保温杯准备售卖，售价22元．商店老板计划首月售卖160个，经市场预测，月销售量就减少10个．
（1）若老板希望首月获利960元，则保温杯的售价应定为多少元？
（2）设该商店销售保温杯首月获利y元，当每个保温杯的售价定为多少时，所获月利润最大？最大利润为多少元？
24．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，动点P从点C出发沿C→A→B运动．当点P到达点B时，运动的时间为x秒，△BPC的面积为y．
（1）求出y与x之间的函数关系式，注明自变量x的取值范围．
（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出该给函数的图象，并写出该函数的性质（写出一条即可）．
（3）当△BPC的面积等于4的时候，时间x＝ ．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，点P是抛物线上位于第三象限内的一点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AP、PC、CB，求四边形APCB面积的最大值及此时P点的坐标．
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标
26．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，连接AD．
（1）如图1，BD＝4，DC＝2，连接DP，若∠DPB＝90°
（2）如图2，将线段DC绕点D逆时针旋转60°到DE，连接BE，连接AO，证明：AO＝
（3）点Q为平面内一点，若∠AQB＝90°，∠BQC＝150°的值．
2023-2024学年重庆市江津中学九年级第一学期第一次定时作业数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．2x+3＝0B．x+y＝5C．x2﹣1＝0D．3﹣1＝2
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
解：A．2x+3＝2是一元一次方程；
B．x+y＝5是二元一次方程；
C．x2﹣5＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．3﹣3＝2不是方程．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D的图形不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，
∴抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标是：（2，5），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，根据“顶点式得出顶点坐标”是解题的关键．
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°到△ADE，若∠DAE＝50°（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD．
解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE＝90°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠CAD＝180°﹣∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解答本题的关键．
5．观察下列图形的规律，依照此规律，第20个图形中“•”的个数为（ ）
A．402B．412C．422D．432
【分析】依次求出前面几个图形中“•”的个数，根据计算结果发现规律即可解决问题．
解：根据所给图形得，
第1个图形中“•”的个数为：4＝72﹣0；
第5个图形中“•”的个数为：8＝33﹣1；
第3个图形中“•”的个数为：14＝62﹣2；
第5个图形中“•”的个数为：22＝52﹣8；
…
所以第n个图形中“•”的个数为：（n+1）2﹣（n﹣6）．
当n＝20时，
（20+1）2﹣（20﹣7）＝422．
故选：C．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形得出第n个图形中“•”的个数是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣1）2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2+5
C．y＝（x﹣4）2+5D．y＝（x﹣4）2+1
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度2+3﹣2，即y＝（x+8）2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
7．某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，销售量逐月增加，一季度共销售23.75万件，则可列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝23.75
B．5+5（1+x）2＝23.75
C．5（1+2x）2＝23.75
D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝23.75
【分析】由1月份的销售量及2、3两个月份销售量的月增长率，可得出2、3两个月份的销售量，结合一季度共销售23.75万件，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵1月份销售量为5万件，8、3两个月份销售量的月增长率为x，
∴2月份销售量为6（1+x）万件，3月份销售量为8（1+x）2万件．
根据题意得：2+5（1+x）+4（1+x）2＝23.75．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，x＝﹣，得b＜0，a＞2，矛盾；
B、由抛物线可知，x＝﹣，得b＞0，a＞2，一致；
C、由抛物线可知，x＝﹣，得b＜0，a＜7，矛盾；
D、由抛物线可知，x＝﹣，得b＝0，a＜4，矛盾；．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，熟知一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
9．已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，MN，AN，BM＝2，则线段NC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】延长CB，使BE＝DN，连接EN交AM于点F，易证△ABE≌△ADN（SAS），得到∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，进而可得△AEN为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三线合一性质得AF⊥EN，EF＝NF＝，设DN＝BE＝x，则EM＝x+2，EC＝5+x，AN＝＝AE，EN＝AE＝，EF＝，再证△EFM∽△ECN，利用相似三角形的性质列出方程求解即可．
解：如图，延长CB，连接EN交AM于点F，
∵四边形ABCD是边长为5的正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，
∴∠ABE＝90°，
在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，
∴∠DAN+∠BAN＝∠BAE+∠BAN＝90°，即∠EAN＝90°，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∵∠MAN＝45°，
∴AF⊥EN，EF＝NF＝，
设DN＝BE＝x，
∴EM＝BE+BM＝x+2，EC＝BE+BC＝4+x＝AE，
∴EN＝AE＝，
∵∠EFM＝∠ECN＝90°，∠FEM＝∠CEN，
∴△EFM∽△ECN，
∴，即，
解得：x＝，
∴DN＝，
∴NC＝CD﹣DN＝5﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．
10．对于实数a，b，如果定义新运算a*b＝，则下列结论正确的有（ ）
①3*4＝25；
②a*（2a﹣1）＝；
③若x1、x2是一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣m+1＝0的两个根，且x1*x2＝5，则m的值为3或﹣1．
A．0B．1C．2D．3
【分析】按照题中定义的a*b的运算，进行运算即可解决问题．
解：由题知，
因为3＜4，
所以4*4＝2×5×4﹣3+5＝25．
故①正确．
当a≥2a﹣1，即a≤3时，
a*（2a﹣1）＝a+3a﹣1﹣2a（8a﹣1）＝﹣4a6+5a﹣1．
当a＜8a﹣1，即a＞1时，
a*（5a﹣1）＝2a（7a﹣1）﹣a+2a﹣3＝4a2﹣a﹣2．
所以a*（2a﹣1）＝．
故②正确．
因为x8、x2是一元二次方程x2+（5﹣m）x﹣m+1＝0的两个根，
所以x2x2＝﹣m+1，x2+x2＝m﹣2，
又x2*x2＝5，
当x8≥x2时，
x1+x7﹣2x1x4＝5，
即m﹣2﹣2（﹣m+1）＝5，
解得m＝4．
当x1＜x2时，
6x1x2﹣x7+x2＝5，
又，
则2（﹣m+5）+＝5，
|m|﹣4m＝3，
当m≥0时，
m﹣8m＝3，
解得m＝﹣3（舍去）．
当m＜4时，
﹣m﹣2m＝3，
解得m＝﹣6．
所以m的值为3或﹣1．
故③正确．
所以正确的结论有三个．
故选：D．
【点评】本题考查根与系数的关系及实数的运算，理解题中所给的新定义及熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是 （1，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案．
解：点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（8，
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律．
12．若A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）两点在抛物线y＝x2+6x+c的图象上，则y1 ＜ y2（用“＜”、“＞”、“＝”符号连接）．
【分析】先得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，根据二次函数的性质判断即可．
解：∵y＝x2+6x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣，
∴x＞﹣6时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）两点在抛物线y＝x2+2x+c的图象上，且﹣3＜﹣2＜﹣7，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0有一个根为1，则k＝ 1 ．
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0中得：12﹣（k+3）+3k＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0中得：52﹣（k+3）+7k＝0，
解得：k＝1，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝ 3 ．
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），可得|a+3|＝2且a+1≠0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
|a﹣1|＝2且a+7≠0，
解得a＝3．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义解题的关键．
15．设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ﹣2024 ．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b和ab即可解决问题．
解：因为a，b是方程x2+2x﹣2023＝3的两个实数根，
所以a+b＝﹣2，ab＝﹣2023．
则（a+1）（b+2）
＝ab+a+b+1
＝﹣2023+（﹣2）+7
＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是 x≥2或x≤﹣1 ．
【分析】观察函数图象即可求解．
解：观察函数图象知，当ax2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是x≥2或x≤﹣5，
故答案为：x≥2或x≤﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，也考查了二次函数与不等式的关系，函数思想的运用是本题求解的关键．
17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣8＝0没有实数根，则符合条件的整数a的和为 30 ．
【分析】根据不等式组有且仅有3个整数解及关于x的方程没有实数根，可求出a的取值范围，再根据a为整数即可解决问题．
解：解不等式5x+2＞a得，
，
解不等式x+14≥3x+6得，
x≤4．
又不等式组有且仅有8个整数解，
所以，
解得7≤a＜12．
又关于x的一元二次方程x7﹣（2a﹣1）x+a2﹣8＝0没有实数根，
所以[﹣（2a﹣1）]2﹣2（a2﹣8）＜5，
解得．
综上所述：．
又a为整数，
则a＝6或10或11．
且9+10+11＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式及根据方程组有且仅有3个整数解得出的取值范围是解题的关键．
18．对于一个四位自然数，若满足a+d＝b+c，则称这个四位数为“和平数”（m）＝a+b+c+d．例如：m＝1234，∵1+4＝2+3，F（1234）＝1+2+3+4＝10；m＝2346，∴2346不是“和平数”．则F（2378）＝ 20 ；已知M，N均为“和平数”，其中M＝1000x+10y+136，其中（1≤x≤9，0≤y≤6，0≤n≤9，x、y、b都是整数），如果M+，则N＝ 4354 ．
【分析】根据新定义分析讨论即可解决，关键是得到y＝x+2，n＝2x﹣2以及确定x的取值范围．
解：根据新定义F（2378）＝2+3+8+8＝20，
故答案为：20；
由M＝1000x+10y+136
＝1000x+100+（y+3）×10+7是和平数，
∴x+6＝y+3+8，
即y＝x+2，
∵1≤x≤4，0≤y≤6，
∴5≤x+2≤6，
∴﹣5≤x≤4，
∴1≤x≤7，
又∵N＝4000+100x+10y+n，
∴4+n＝x+y，
∴4+n＝3x+2，
∴n＝2x﹣2，
∴F（N）＝4+x+y+n＝4+x+x+6+2x﹣2＝3x+4，
∴M+＝1000x+10y+136+
＝1000x+10x+20+x+5+136
＝1011x+157
＝11×（91x+14）+10x+3是11的倍数，
∴10x+3必为11的倍数，
∵3≤x≤4，
∴13≤10x+3≤43，
∴10x+7＝22或10x+3＝33两种情况：
当10x+3＝22时，x＝8.9（舍），
当10x+3＝33时，x＝8，
则y＝x+2＝5，n＝6x﹣2＝4，
故答案为：4354．
【点评】本题考查了对新定义的理解，本题的关键点是列出方程，利用x、y、n的取值范围，讨论其具体的值．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书
19．计算：
（1）（x+1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）把方程化为两个因式积的形式，求出x的值即可．
解：（1）（x+1）2﹣4＝0，
（x+1）3＝9，
∴x+1＝5或x+1＝﹣3，
∴x5＝2，x2＝﹣3；
（2）x2﹣3x+6＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝7或x﹣2＝0，
∴x6＝1，x2＝7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G．连接DE（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形AEDF是正方形．（请补全下面证明过程）
证明：∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝ DF ．
∴∠1＝∠ADE，∠2＝ ∠ADF ．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝ ∠2 ．
∴∠ADE＝∠ADF（等量代换）．
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌ △ADF （ASA）．
∴AE＝AF＝DE＝DF．
∴四边形AEDF是 菱形 ．
又∵∠BAC＝90°（已知），
∴四边形AEDF是正方形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图，再连接DE，DF即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定可得答案．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠1＝∠ADE，∠2＝∠ADF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠6＝∠2，
∴∠ADE＝∠ADF（等量代换）．
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（ASA）．
∴AE＝AF＝DE＝DF．
∴四边形AEDF是菱形．
又∵∠BAC＝90°（已知），
∴四边形AEDF是正方形．
故答案为：DF；∠ADF；△ADF．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21．已知二次函数（m为常数，m＞0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数的图象与直线y＝﹣5有几个交点并说明理由．
【分析】（1）将（2，3）代入解析式求解即可；
（2）y＝﹣5时，得方程x2+2x+2＝0，由判别式Δ的符号可判断交点个数．
解：（1）将（2，3）代入2+2，
解得m1＝0，m8＝2，
又∵m＞0，
∴m＝2；
（2）有1个交点，
理由：∵m＝2，
∴y＝x2+4x﹣3，
y＝﹣5时，x2+3x﹣3＝﹣5，
即x2+6x+2＝0，
∵Δ＝b6﹣4ac＝27﹣4××2＝0，
∴二次函数的图象与直线y＝﹣5有7个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2、C2的坐标；
（3）若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则PA+PC的最小值即为PA'+PC＝A'C，在由勾股定理可得答案．
解：（1）如图，△A1B1C8即为所求.
（2）如图，AB2C2即为所求．
点B5（1，4），C6（﹣1，5）．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，连接AP，
则PA+PC的最小值为PA'+PC＝A'C＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
23．秋季来临，气温有所下降，某商店购入一批保温杯准备售卖，售价22元．商店老板计划首月售卖160个，经市场预测，月销售量就减少10个．
（1）若老板希望首月获利960元，则保温杯的售价应定为多少元？
（2）设该商店销售保温杯首月获利y元，当每个保温杯的售价定为多少时，所获月利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）由题意得：906＝[160﹣10（x﹣22）]（x﹣18），即可求解；
（2）由题意得：y＝[160﹣10（x﹣22）]（x﹣18）＝﹣10（x﹣38）（x﹣18），即可求解．
解：（1）由题意得：906＝[160﹣10（x﹣22）]（x﹣18），
整理得：（x﹣28）2＝4，
解得：x＝30（元）或26（元），
即保温杯的售价应定为30元或26元；
（2）由题意得：y＝[160﹣10（x﹣22）]（x﹣18）＝﹣10（x﹣38）（x﹣18），
则函数的对称轴为：x＝（38+18）＝28（元），
当x＝28元时，y＝﹣10（x﹣38）（x﹣18）＝1000（元），
即每个保温杯的售价定为28元时，所获月利润最大．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
24．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，动点P从点C出发沿C→A→B运动．当点P到达点B时，运动的时间为x秒，△BPC的面积为y．
（1）求出y与x之间的函数关系式，注明自变量x的取值范围．
（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出该给函数的图象，并写出该函数的性质（写出一条即可）．
（3）当△BPC的面积等于4的时候，时间x＝ 或5 ．
【分析】（1）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
（2）描点，画出图象即可；
（3）分两种情况讨论，将y＝4代入可求解．
解：（1）当点P在AC上时，即0≤x≤4时×3x＝x，
当点P在AB上时，即4＜x≤2时×6×（7﹣x）＝14﹣2x；
综上所述：y＝；
（2）如图所示：
图象的性质：y有最大值为6；
（3）当点P在AC上时，x＝4，
∴x＝，
当点P在AB上时，4＝14﹣2x，
∴x＝4，
综上所述：x的值为或3，
故答案为或4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，点P是抛物线上位于第三象限内的一点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AP、PC、CB，求四边形APCB面积的最大值及此时P点的坐标．
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标
【分析】（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）由四边形APCB面积＝S△ACP+S△ABC＝PH×AO+AB•CO，即可求解；
（3）当AC＝AD时，列出等式即可求解；当AC＝CD或CD＝AD时，同理可解．
解：（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1）＝x3+2x﹣3；
（2）连接AC，过点P作y轴的平行线交AC于点H，
由点A、C的坐标得，
设点H（x，﹣x﹣8），x2+2x﹣8），
则PH＝（﹣x﹣3）﹣（x2+8x﹣3）＝﹣x2﹣4x，
则四边形APCB面积＝S△ACP+S△ABC＝PH×AO+（﹣x2﹣3x）×7+5×3＝﹣）5+≤，
故四边形APCB面积的最大值为：，此时点P（﹣，﹣）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，m），
由点A、C、D的坐标得2＝5+9＝18，AD2＝6+m2，CD2＝7+（m+3）2，
当AC＝AD时，即18＝4+m2，
解得：m＝，
即点D的坐标为：（﹣1，±）；
当AC＝CD或CD＝AD时，
同理可得：7+（m+3）2＝18或6+m2＝1+（m+8）2，
解得：m＝﹣3或﹣8，
故点D的坐标为：（﹣1，﹣3，﹣4）；
综上，点M的坐标为：（﹣1，±，﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，连接AD．
（1）如图1，BD＝4，DC＝2，连接DP，若∠DPB＝90°
（2）如图2，将线段DC绕点D逆时针旋转60°到DE，连接BE，连接AO，证明：AO＝
（3）点Q为平面内一点，若∠AQB＝90°，∠BQC＝150°的值．
【分析】（1）由旋转可知△ABP≌△ADC，则∠ABP＝∠C＝30°，在△BDP中，利用三角形三边关系即可解答；
（2）延长AO到点F，使OF＝AO，连接EF，DF，EF与BC交于点M；可得△AOB≌△FOE（SAS），则AB＝EF，∠ABO＝∠FEO，则∠EMD＝30°，∠DEM＝30°，进而可得△DEF≌△DCA（SAS），则∠ADC＝∠EDF，所以∠ADF＝∠CDE＝60°，则△ADF是等边三角形，则AF＝AD，进而可得结论；
（3）如图2，将△AQC绕着点A顺时针方向旋转与∠BAC相同的度数得到△AQ′B，易证△QBQ′＝30°，过点Q′作Q′D⊥BQ于点D，过点A作AE⊥Q′D于点E，设Q′D＝a，Q′E＝b，由此分别表达BD，DQ，AQ，AE，AQ′的长度，求出a和b的关系，用b分别表达AQ和BQ，进而可得结论．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
由旋转可知△ABP≌△ADC，
∴BP＝DC＝2，∠ABP＝∠C＝30°，
在△BDP中，∠DPB＝90°，
∴DP＝2；
（2）证明：如图1，延长AO到点F，连接EF，EF与BC交于点MAF，
∵点O是BE的中点，
∴BO＝OE，
∵∠AOB＝∠FOE，
∴△AOB≌△FOE（SAS），
∴AB＝EF＝AC，∠ABO＝∠FEO，
∵∠ABO+∠EBD＝30°，
∴∠EMD＝∠EBD+∠FEO＝∠EBD+∠ABO＝30°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠DEM＝30°＝∠C，
由旋转可知，CD＝DE，
∵AB＝EF＝AC，
∴△DEF≌△DCA（SAS），
∴∠ADC＝∠EDF，AD＝DF，
∴∠ADF＝∠CDE＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD，即AD＝；
（3）解：如图3，将△AQC绕着点A顺时针方向旋转与∠BAC相同的度数得到△AQ′B，
∴△AQC≌△AQ′B，
∴∠ACQ＝∠ABQ′，∠AQC＝∠AQ′B，
∵∠BQC＝150°，∠AQB＝90°，
∴∠QBC+∠BCQ＝30°，∠AQC＝∠AQ′B＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠ABQ+∠ACQ＝∠ABQ+∠ABQ′＝30°，即△QBQ′＝30°，
过点Q′作Q′D⊥BQ于点D，过点A作AE⊥Q′D于点E，
∴∠BQ′D＝60°＝∠AQ′E，
设Q′D＝a，Q′E＝b，
∴BD＝a，AE＝，AQ′＝2b，
∴2b＝a﹣b，
∴a＝3b．
∴AQ＝5b，BQ＝b＝5b，
∴＝＝4．
【点评】本题属于手拉手模型，主要全等三角形的性质与判定、等边三角形的证明和性质及“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的应用；通过旋转构造全等是解题的关键．