2022-2023学年重庆市江津区京师实验学校等四校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市江津区京师实验学校等四校联考九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一 、选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列函数中，属于二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 方程的两根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相同的实数根 D. 不能确定

4. 如图，是等边三角形，为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了(    )

A.
B.
C.
D.

5. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法中正确的是(    )

A. 全等的两个图形成中心对称
B. 能够完全重合的两个图形成中心对称
C. 绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D. 绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称

7. 二次函数的最小值是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若方程的两个根是和，那么二次函数的图象的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

9. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第个图案中共有圆点的个数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，则在“；；；”中正确的判断是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 使得关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的一元二次方程有实数根的所有整数的值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 对于一元二次方程，下列说法：
    若，则；
    若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
    若是方程的一个根，则一定有成立；
    若是一元二次方程的根，则．
    其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二 、填空题（本题共4小题，共16分）

13. 抛物线的顶点坐标是______．
14. 已知是的根，则代数式的值为______．
15. 如图，已知钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______．
     
16. 新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部名工人，分为、两组，组负责将小麦加工成面粉，组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将千克小麦生产成千克面粉或将千克面粉加工成千克面条．生产天后，面粉质量与面条质量之比为：，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为：，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利______元．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 计算：
    ；
     
19. 如图，四边形是矩形，连接、交于点，平分交于点．
    用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接，；保留作图痕迹，不写作法，不写结论
    猜想四边形是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
    解：四边形是矩形，
    ，．
    ____________．
    平分，平分，
    ，．
    ______．
    在和中，
    ，
    ______．
    ______．
    又，
    四边形是______．

20. 阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，．
    例如：方程的两根分别是和，则，请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
    已知方程的两根分别是和，则______，______．
    已知方程的两根分别是和，求的值．
21. 如图，已知二次函数过点，
    求此二次函数的解析式；
    在抛物线上存在一点，使的面积为，请求出点的坐标．

22. 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多元，进货个“冰墩墩”和个“雪容融”的金额相同．
    今年月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
    今年月第一周，供应商以元每个售出“冰墩墩”个，以元每个售出“雪容融”个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利元，求．
23. 对于各位数字均不相同的三位自然数，交换百位数字和个位数字后得到，记，若能被整除，则称为“五好数”例如：是“五好数”，因为，能被整除，所以是“五好数”；不是“五好数”，因为，不能被整除，所以不是“五好数”．
    判断、是否是“五好数”？并说明理由；
    是“五好数”，若且满足能被整除，求出所有符合题意的值．
24. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是．
    求抛物线解析式；
    点是中抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，点是中抛物线上的一动点且位于直线上方．
    试求的最大面积以及此时点的坐标；
    在的条件下求的最小值．
    抛物线上是否存在点，平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
     
25. 如图在中，，；
    如图，若，求的长；
    如图，在中，，，连接、，将绕点旋转，
    当点、、三点共线时，求证：；
    若交于点，且，，请直接写出的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、是二次函数，故本选项正确；
D、与是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形是中心对称图形，正确，
B、该图形不是中心对称图形，错误；
C、该图形不是中心对称图形，错误；
D、该图形是轴对称图形，错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程中，，
此方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出的值，再判断出其符号即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
经旋转后到达的位置，
等于旋转角，即旋转角等于．
故选：．
由经旋转后到达的位置，而，根据旋转的性质得到等于旋转角，即旋转角等于．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是，
故选：．
根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：全等的两个图形不一定成中心对称，如：底边在同一条直线上且腰长大于底边长的两个全等等腰三角形不成中心对称，那么A错误，故A不符合题意．
B.能够完全重合的图形是全等图形，不一定成中心对称，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据中心对称图形的定义，绕某点旋转度后能够重合的两个图形成中心对称，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据中心对称图形的定义，绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称，那么D正确，故D符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义绕某点旋转度后能够重合的两个图形成中心对称解决此题．
本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由二次函数的最小值为可知，
解得，
故选：．
直接用二次函数的最值公式代入计算可得．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程的两个根是和，
二次函数的图象与轴的交点分别为，．
此两点关于对称轴对称，
对称轴是直线．
故选：．
先根据题意得出抛物线与轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图中圆点排列，当时，圆点个数；当时，圆点个数；当时，圆点个数；当时，圆点个数，
当时，圆点个数．
故选：．
观察图形可知，第个图形共有圆点个；第个图形共有圆点个；第个图形共有圆点个；第个图形共有圆点个；；则第个图形共有圆点个；由此代入求得答案即可．
此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
抛物线与轴有个交点，
，
正确，
故选：．
有抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交点个数求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式组，得，
关于的不等式组有且只有个整数解，
，
解得，
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
为整数，
，，，，，
所有整数的值之和，
故选：．
解不等式组得到，由关于的一元二次方程有实数根，得到，于是得到结论．
本题主要考查了根的判别式，解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、不等式组的解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么一定正确．
方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，进而推断出正确．
由是方程的一个根，得当，则；当，则不一定等于，那么不一定正确．
，由，得由是一元二次方程的根，则成立，那么正确．
综上：正确的有，共个．
故选：．
根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
二次函数的一般形式中的顶点式是：，且，，是常数，它的对称轴是直线，顶点坐标是．
本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质得出，然后利用进行计算即可得出答案．
此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．也考查了平行线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：设有名工人分在组，则有名工人分在组，
生产天后，
面粉质量为：，
面条质量为：，
生产天后，面粉质量与面条质量之比为：，
，
，
、为正整数，且，
为的倍数，
，
，
生产天后，
面粉质量为：

，
面条质量为：

，
设又生产了天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为：，
面粉质量为：

，
面条质量为：
，
，
解得：，
最后生产面条质量为：，
故所有面条售出后可获利：元，
故答案为：．
设有名工人分在组，则有名工人分在组，根据题意列出方程求出及的值，设又生产了天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为：，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意在不同条件下分别表示出面粉和面条的质量，从而列出方程是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
解得，；
，
，
，
，
解得，． 

【解析】根据因式分解法解方程即可求解；
根据因式分解法解方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简；
先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式的结构，分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】      ≌    平行四边形 

【解析】解：图形如图所示：

证明：四边形是矩形，
，，
，
平分，平分，
，．
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
故答案为：，，≌，，平行四边形．
利用尺规作出图形即可；
证明≌，推出，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

20.【答案】   

【解析】解：原方程化为一般形式为，
，，，
和是原方程的两个实数根，
，．
故答案为：；．
方程的两根分别是，，
，，
．
将原方程转化为一般形式，利用根与系数的关系即可求出及的值；
利用根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及数学常识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为；
设，
当时，，解得，，则，，
的面积为，
，
解方程得，，此时点坐标为，；
方程没有实数解，
点坐标为，． 

【解析】把、两点坐标代入得、的方程组，然后解方程即可；
设，先解方程得，利用三角形面积公式得到，然后解绝对值方程可确定点坐标．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

22.【答案】解：设今年月第一周每个“冰墩墩”的进价是元，每个“雪容融”的进价是元，
依题意得：，
解得：．
答：今年月第一周每个“冰墩墩”的进价是元，每个“雪容融”的进价是元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：的值为． 

【解析】设今年月第一周每个“冰墩墩”的进价是元，每个“雪容融”的进价是元，根据一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多元且进货个“冰墩墩”和个“雪容融”的金额相同，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总利润每个的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：，
，能被整除，
为“五好数”，
，不能被整除，
不是“五好数”；
，，，
，
是“五好数”，
能被整除，
，
，或，或，或，，
，，
，
能被整除，
或，
当，时，或，解得，此时，
当，时，或，解得或，此时或
当，时，或，解得或，此时或，
当，时，或，解得或，此时或，
综上：所有符合题意的值为，，，，，，． 

【解析】由“五好数”的定义即可判断；
根据是“五好数”和与的取值范围，求出，进而求出，的值，根据，和能被整除，确定为或进而求解．
本题以新定义为背景考查了学生们的阅读能力，关键是能够根据新定义列出关系式进而求解．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得，
；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时；
，
抛物线的对称轴为直线，
过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点，
直线的解析式为，
，
，
，
当、、、四点共线时，有最小值，
，
，
的最小值为；
存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，理由如下：
当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，
，
，
设，，
，
解得舍或，
，
，
，
，
，
，
，
联立可得或舍，
；
当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点，
，，
，
，
，
解得或舍，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值，此时；
过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点，当、、、四点共线时，有最小值，利用等积法，求出，即为所求；
分两种情况讨论：当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则有，设，，则，求出，再由，得到，由，得到，联立求出；当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点，则有，即，求出，再由，得到，由，得到，联立求出．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用垂线段最短求最短距离，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，过点作于．

，，
，
，，，
，
，
．

证明：如图中，过点作于．

，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，，
，
．

如图中，延长交于，在上取一点，使得，连接．

，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】如图中，过点作于利用直角三角形度角的性质求出，再利用勾股定理求出，即可解决问题．
如图中，过点作于证明≌，推出，再证明，即可解决问题．
如图中，延长交于，在上取一点，使得，连接证明，，设，求出，即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．