2024-2025学年安徽省合肥市庐江县九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市庐江县九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在四边形中，，对角线、相交于点O，于点E，于点F，连接、，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．为直角三角形D．四边形是平行四边形
2、（4分）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变
3、（4分）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（ ）
A．x>0B．x<0C．x>-1D．x>2
4、（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x＞C．x≥D．x≥
5、（4分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x＝x2﹣3B．ax2+bx+c＝0
C．D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
7、（4分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A．B．
C．D．
8、（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．每一条对角线平分一组对角
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）直线与轴的交点坐标是________________.
10、（4分）若反比例函数y=（2k-1）的图象在二、四象限，则k=________．
11、（4分）小玲要求△ABC最长边上的高，测得AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，则最长边上的高为_____cm．
12、（4分）如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，，则的周长为________．
13、（4分）如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，于点E，若
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）阅读可以增进人们的知识，也能陶冶人们的情操．我们要多阅读有营养的书．某校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成A，B，C，D，E五组进行整理，并绘制成如图所示的统计图表(图中信息不完整)．
阅读时间分组统计表
请结合以上信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全“阅读人数分组统计图”；
(3)估计全校课外阅读时间在20h以下(不含20h)的学生所占百分比．
15、（8分）某校九年级两个班各捐款1800元．已知（2）班比（1）班人均捐款多4元，（2）班的人数比（1）班的人数少10%．求两个班人均捐款各为多少元？
16、（8分）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.
（1）如图1，当∠AEC = ，AE=4时，求FG的长；
（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG
17、（10分）已知：在平面直角坐标系中有两条直线y=﹣1x+3和y=3x﹣1．
(1)确定这两条直线交点所在的象限，并说明理由；
(1)求两直线与坐标轴正半轴围成的四边形的面积．
18、（10分）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小________（用“”、“”或“”填空）；
（2）已知，，求的值；
（3）计算：
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿着y轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为_____．
20、（4分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠BPN=_____度．
21、（4分）如图，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE．若AE＝2，∠DCE＝30°，则菱形的边长为________．
22、（4分）已知一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，写出一个符合条件的b的值为_____.
23、（4分）不等式的正整数解有______个
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元。
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共80只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的3倍，问如何购买最省钱，说明理由。
25、（10分）提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．
26、（12分）（1）因式分解：；
（2）计算：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【详解】
解：∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴CF＝AE，故A正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF＝AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故B正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D正确；
无法证明为直角三角形，故C错误；
故选：C．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识；得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键．
2、C
【解析】
试题分析：由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形 ，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.
考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.
3、C
【解析】
首先找到当y＞0时，图象所在位置，再根据图象可直接得到答案．
【详解】
当y＞0时，图象在x轴上方，
∵与x交于（-1，0），
∴y＞0时，自变量x的取值范围是x＞-1，
故选：C．
考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中找到对应的直线．
4、D
【解析】
分析：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
详解：根据二次根式的意义，被开方数2x-3≥0，解得x≥．故选D.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是知道二次根式的被开方数是非负数.
5、D
【解析】
先解不等式组可求得不等式组的解集是,再根据在数轴上表示不等式解集的方法进行表示.
【详解】
解不等式组可求得:
不等式组的解集是,
故选D.
本题主要考查不等组的解集数轴表示,解决本题的关键是要熟练掌握正确表示不等式组解集的方法.
6、A
【解析】
根据一元二次方程的定义即可解答.
【详解】
选项A，由x＝x2﹣3得到：x2﹣x﹣3＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
选项B，当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
选项C，该方程不是整式方程，故本选项错误；
选项D，该方程属于二元二次方程，故本选项错误；
故选A．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）方程为整式方程．
7、A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
8、B
【解析】
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，共有的性质就是平行四边形的性质．
【详解】
矩形、菱形、正方形共有的性质是对角线互相平分．故选：B．
本题考查矩形、菱形、正方形的性质，熟记矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据一次函数的性质，与轴的交点即横坐标为0，代入即可得解.
【详解】
根据题意，得
当时，，
即与轴的交点坐标是
故答案为.
此题主要考查一次函数的性质，熟练掌握，即可解题.
10、1
【解析】
根据反比例函数的定义，次数为-1次，再根据图象在二、四象限，2k-1＜1，求解即可．
【详解】
解：根据题意，3k2-2k-1=-1，2k-1＜1，
解得k=1或k=且k＜，
∴k=1．
故答案为1．
本题利用反比例函数的定义和反比例函数图象的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
11、4.1
【解析】
先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．
【详解】
解：∵，
∴该三角形是直角三角形．
根据面积法求解：
S△ABC＝AB•AC＝BC•AD（AD为斜边BC上的高），
即AD＝ =（cm）．
故答案为4.1．
本题主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是利用两种求三角形面积的方法列等式求解.
12、；
【解析】
在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用边之间的关系，得出各边长，从而得出△ABC的周长．
【详解】
∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1
∴在Rt△DEB中，DB=2，EB=
∵AD是∠CAB的角平分线
∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2，
同理，在Rt△ADE中，AD=2，AE=
∴△ABC的周长=AE+EB+BD+DC+CA=3+3
故答案为：3+3．
本题考查含30°角的直角三角形、角平分线的性质，解题关键是得出△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形．
13、3
【解析】
先根据矩形的性质得到AO=OD，再根据特殊角的三角函数值得到∠OAE=30°，进而求得OE的长，然后即可得解.
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD，
在Rt△AOE中，
∵，
∴sin∠OAE=，
∴∠OAE=30°，
则OE=AE·tan∠OAE=×=1，
OA===2，
故DE=OE+OD=OE+OA=3.
故答案为3.
本题主要考查解直角三角形，特殊角的三角函数，矩形的性质，熟练掌握其知识点是解此题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)20，200，40；(2)补全图形见解析；(3) 24%.
【解析】
分析：（1）根据D类的人数是140，所占的比例是28%，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得c的值，同理求得A、B两类的总人数，则a的值即可求得：进而求得b的值；
（2）根据（1）的结果即可作出；
（3）根据百分比的定义即可求解．
详解：(1)由图表可知，调查的总人数为 140÷28%＝500(人)，
∴b＝500×40%＝200，
c＝500×8%＝40，
则a＝500－(100＋200＋140＋40)＝20，
(2)补全图形如图所示．
(3)由(1)可知×100%＝24% ．
答：估计全校课外阅读时间在20h以下(不含20h)的学生所占百分比为24%．
点睛：本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
15、1班人均捐款36元，2班人均捐款40元．
【解析】
解：设1班有x人，则2班有0.9x人，
由题意，得－＝4，解之得x＝50(人)．
经检验x＝50是原分式方程的根．
∴2班有45人，∴1班人均捐款为＝36(元)，2班人均捐款为＝40(元)．
答：1、2两个班人均捐款各36元和40元．
16、（1）FG＝2；（2）见解析.
【解析】
（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.
（2）根据已知条件可证得AE=DH且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG.
【详解】
（1）当∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°，
即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°，
在三角形ABE中，
AE＝4，
所以，BE＝2，AB＝2，
所以，AD＝AB＝2，
又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°，
所以，∠F＝∠DAG＝30°，
又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°，
所以 FG＝DG
在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2
（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,
在Rt△ADH和Rt△BAE中
∴Rt△ADH≌Rt△BAE，
∴∠ADH=∠BAE,
∵∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠ADH+∠DAE=90°，
∴∠AND=90°.
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG,
∵∠ADH=∠BAE,
∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.
即∠MAH=∠AMH.
∴AH=MH.
∵AE∥DF,
∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F
∴∠GDF=∠ADM,
∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F,
即∠DMG=∠DGM.
∴DM=DG.
∵DH=DM+HM,
∴AE=AH+DG.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质等腰三角形的判定，线段的各差关系。正确理解和运用相关知识是解题关键.
17、 (1)两直线交点坐标为(1，1)，在第一象限；(1).
【解析】
(1)联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求出交点坐标，进而即可得出交点所在的象限；
(1)令直线y=﹣1x+3与x、y轴分别交于点A、B，直线y=3x﹣1与x、y轴分别交于点C、D，两直线交点为E，由直线AB、CD的解析式即可求出点A、B、C的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出两直线与坐标轴正半轴围成的四边形的面积．
【详解】
(1)联立两直线解析式得：，
解得：，
∴两直线交点坐标为(1，1)，在第一象限．
(1)令直线y=﹣1x+3与x、y轴分别交于点A、B，直线y=3x﹣1与x、y轴分别交于点C、D，两直线交点为E，如图所示．
令y=﹣1x+3中x=0，则y=3，
∴B(0，3)；
令y=﹣1x+3中y=0，则x=，
∴A(，0)．
令y=3x﹣1中y=0，则x=，
∴C(，0)．
∵E(1，1)，
∴S四边形OCEB=S△AOB﹣S△ACE=OA•OB﹣AC•yE=××3﹣×(﹣)×1=．
此题考查两条直线相交或平行问题，联立直线解析式成方程组求出交点
18、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；
（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；
（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
【详解】
（1）∵＝
；
比较与
∵＞，2＞，
∴+2＞+，
∴〉．
（2）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝1
答：x2+y2的值为1．
（3）
＝＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝
考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y＝﹣x+1
【解析】
根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案．
【详解】
解：把直线y＝﹣x﹣1沿着y轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为y＝﹣x﹣1+2，即y＝﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x+1．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
20、1
【解析】
根据折叠的性质知：可知：BN=BP，再根据∠BNP=90°即可求得∠BPN的值.
【详解】
根据折叠的性质知：BP=BC，
∴BN=BC=BP，
∵∠BNP=90°，
∴∠BPN=1°，
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、翻折变换（折叠问题）等知识，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
21、
【解析】
由四边形ABCD为菱形性质得DC∥AB，则同旁内角互补，得∠CDE+∠DEB=180°，
结合DE⊥AB，则DE⊥DC，已知∠DCE=30°，设DE=x, 用勾股定理把DC、AD、和DE用含x的代数式表示，在Rt△AED中，利用勾股列关系式求得x=， 则.
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∵∠DCE=30°，
设DE=x, 则EC=2x，
，
∴AD=DC=，
在Rt△AED中，有AD2=DE2+AE2 ，
解得x=，
，
故答案为：.
本题考查菱形的基本性质，能够灵活运用勾股定理是本题关键.
22、2
【解析】
图象经过一、三象限，还过第二象限，所以直线与y轴的交点在正半轴上，则b＞2．
【详解】
解：∵图象经过第一、二、三象限，
∴直线与y轴的交点在正半轴上，则b＞2．
∴符合条件的b的值大于2即可．
∴b=2，
故答案为2．
考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于2或是小于2．
23、3
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再确定其正整数解即可．
【详解】
去括号，得：3x+3≥5x-3，
移项，得：3x-5x≥-3-3，
合并同类项，得：-2x≥-6，
系数化为1，得：x≤3，
∴该不等式的正整数解为：1，2，3，共有3个，
故答案为：3
本题考查了解一元一次不等式以及求一元一次不等式的正整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）1只A型节能灯的售价为5元，1只B型节能灯的售价为7元；（2）购买60只A型节能灯，20只B型节能灯最省钱,理由见解析
【解析】
（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设A型节能灯买了a只，则B型节能灯买了（80-a）只，共花费w元，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可.
【详解】
解（1）设1只A型节能灯的售价为x元，1只B型节能灯的售价为y元
由题意得：
解得：
答：1只A型节能灯的售价为5元，1只B型节能灯的售价为7元
（2）设购买A型节能灯a个，则购买B型节能灯（80-a）个，总费用为w元
由题意得：a≤3（80-a）
解得a≤60
又∵w=5a+7（80-a）=-2a+560
∴w随a的增大而减小
∴当a取最大值60时，w有最小值
w=-2×60+560=440
即购买60只A型节能灯，20只B型节能灯最省钱
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组或不等式组是解此题的关键.
25、（1）见解析；（2）EF＝GH，理由见解析
【解析】
（1）由正方形的性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可证得∠HAO=∠ADO，继而证得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠HAO＝∠ADO．
在△ABE和△DAH中
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE＝DH；
（2）解：EF＝GH．
理由：如图所示：
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH．
此题考查四边形综合题，解题关键在于证明△ABE≌△DAH，再根据平移的性质求得AM＝EF，DN＝GH.
26、（1）y（x-2）2；（2） ．
【解析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式矩形因式分解；
（2）根据分式的减法运算法则计算．
【详解】
解：（1）x2y-4xy+4y
=y（x2-4x+4）
=y（x-2）2；
（2）
=
=
=
= ．
故答案为：（1）y（x-2）2；（2） ．
本题考查因式分解、分式的加减运算，掌握提公因式法、完全平方公式因式分解、分式的加减法法则是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
组别
阅读时间x(h)
人数
A
0≤x＜10
a
B
10≤x＜20
100
C
20≤x＜30
b
D
30≤x＜40
140
E
x≥40
c