资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩17页未读，
继续阅读
四川省遂宁中学高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析）
展开
这是一份四川省遂宁中学高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析），文件包含四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷Word版含解析docx、四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A ①②B. ③④C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；
故选：D.
2. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
故选：B.
3. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数的值变小D. 解释变量与预报变量相关性变弱
【答案】B
【解析】
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.
A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法，
其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法，
故共有条路线.
故选：B
5. 已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，得出函数单调递减，原不等式等价于，进而可得结果.
【详解】构造函数，则.
∵，∴函数在上单调递减，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造新的函数，将原不等式等价转化为.
6. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
7. 在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数y=fx，y=gx的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数y=fx，y=gx图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令h′x>0，解得；令h′x<0，解得；
则hx在内单调递增，在1,+∞单调递减，可得，
且当x趋近于时，hx趋近于；当x趋近于时，hx趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 下列说法其中正确的是（ ）
A. 对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3；
C. 已知随机变量，若，则的值为；
D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正态分布、回归分析等，对选项逐个分析判断即可.
【详解】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，
对于B，由两边取对数得，设，则，因为，所以，得，所以B正确，
对于C，因为随机变量，，所以由正态分布的性质可知，，所以，所以C正确，
对于D，通过回归直线及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，
故选：BC
10. 对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则A与B互为对立事件
B. 若，则
C. 若，是B的对立事件，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D.
【详解】对于A：如有红黄蓝三张牌，事件为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则，事件为“乙抽取一张牌是黄牌”，则，，但事件和事件不是对立事件，故A错误；
对于B：若，则，所以，故B正确；
对于C：若，是B的对立事件，则A与是互斥事件，
所以，故C正确；
对于D，若，
则，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有（ ）
A. 若函数有两个零点，则a的取值范围是
B. 当时，若，则
C. 当时，若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A分离参数，利用导数研究函数性质作出简图，结合零点个数可得范围；选项B先假设成立，构造对称函数，结合单调性得出矛盾；选项C通过构造对称函数，结合单调性可证成立；选项D通过等价转化结合取值情况可证成立.
详解】对于A，令可得，令，，
时，，为增函数；时，，为减函数；
，，且趋近于时，趋近于0，其简图如下：
由图可知，若函数有两个零点，则，解得，A正确.
对于B，当时，，，
时，f′x>0，为增函数；时，f′x<0，为减函数；
不妨设，假设成立，则，
因为，所以，所以，
因为，所以，
设，，
，
因为，所以，Fx为增函数；
因为，所以，即，矛盾，B不正确.
对于C，时，，令得，由A可知，的简图如下：
不妨设，欲证成立，则需证，
因为，所以，且在1,+∞为减函数，所以需证，
因为，所以，所以只需证，
设，；
，
易知是增函数，因为，所以，
因为，所以，即，为增函数；
所以，即成立，C正确.
对于D，因为，所以，
所以，等价于，两边取自然对数可得，
由选项C可知，，所以，，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三点：一是分离参数，作出简图，利用零点个数转化为两个函数图象公共点的个数求解；二是利用构造对称函数，求解极值点偏移问题；三是利用等价转化把转化为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
【答案】1215
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】，，
，．
展开式第项：
，．
故答案为：1215.
13. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设出几个基本事件，按照条件概率和全概率公式直接计算即可.
【详解】设事件表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，表示“花还活着”，
由题意得，，，，，
则．
故答案为：.
14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据条件变形得到在上恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解.
【详解】易知，由，得到，
也即有在上恒成立，
令，则在区间0,+∞上恒成立，
所以在区间0,+∞上单调递增，故在上恒成立，
也即在上恒成立，
令，则，当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，故，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构思想，将条件变形成在上恒成立，通过构造函数，利用的单调性得到在上恒成立，再构造函数，转化成求的最大值，即可求解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【小问1详解】
依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
16. 已知的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）和.
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；
（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.
【详解】（1）由题意，的展开式是，
化简得
则，，
因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）
则，则的展开式是
二项式系数是，当时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得，的展开式是
根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，
则计算，
，
，
，
则当或时，系数最大，则系数最大项是和
【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.
17. 已知函数有两个极值点为，.
（1）当时，求的值；
（2）若（为自然对数的底数），求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导代入，即可求出函数单调性可得，代入计算可求出；
（2）利用韦达定理可得，代入化简可得，构造函数，求出其单调性即可求得其最大值.
【小问1详解】
易知函数定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或x∈2,+∞时，f′x>0；当时，f′x<0；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
【小问2详解】
易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【小问1详解】
零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以数学期望为.
【小问3详解】
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.
19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）试判断是否为区间上2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）证明：，.
【答案】（1）不是区间上的2阶无穷递降函数；
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【小问1详解】
设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
【小问2详解】
设，则，
设，
则，
所以，得.
【小问3详解】
令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A ①②B. ③④C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；
故选：D.
2. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
故选：B.
3. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数的值变小D. 解释变量与预报变量相关性变弱
【答案】B
【解析】
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.
A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法，
其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法，
故共有条路线.
故选：B
5. 已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，得出函数单调递减，原不等式等价于，进而可得结果.
【详解】构造函数，则.
∵，∴函数在上单调递减，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造新的函数，将原不等式等价转化为.
6. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
7. 在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数y=fx，y=gx的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数y=fx，y=gx图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令h′x>0，解得；令h′x<0，解得；
则hx在内单调递增，在1,+∞单调递减，可得，
且当x趋近于时，hx趋近于；当x趋近于时，hx趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 下列说法其中正确的是（ ）
A. 对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3；
C. 已知随机变量，若，则的值为；
D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正态分布、回归分析等，对选项逐个分析判断即可.
【详解】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，
对于B，由两边取对数得，设，则，因为，所以，得，所以B正确，
对于C，因为随机变量，，所以由正态分布的性质可知，，所以，所以C正确，
对于D，通过回归直线及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，
故选：BC
10. 对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则A与B互为对立事件
B. 若，则
C. 若，是B的对立事件，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D.
【详解】对于A：如有红黄蓝三张牌，事件为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则，事件为“乙抽取一张牌是黄牌”，则，，但事件和事件不是对立事件，故A错误；
对于B：若，则，所以，故B正确；
对于C：若，是B的对立事件，则A与是互斥事件，
所以，故C正确；
对于D，若，
则，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有（ ）
A. 若函数有两个零点，则a的取值范围是
B. 当时，若，则
C. 当时，若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A分离参数，利用导数研究函数性质作出简图，结合零点个数可得范围；选项B先假设成立，构造对称函数，结合单调性得出矛盾；选项C通过构造对称函数，结合单调性可证成立；选项D通过等价转化结合取值情况可证成立.
详解】对于A，令可得，令，，
时，，为增函数；时，，为减函数；
，，且趋近于时，趋近于0，其简图如下：
由图可知，若函数有两个零点，则，解得，A正确.
对于B，当时，，，
时，f′x>0，为增函数；时，f′x<0，为减函数；
不妨设，假设成立，则，
因为，所以，所以，
因为，所以，
设，，
，
因为，所以，Fx为增函数；
因为，所以，即，矛盾，B不正确.
对于C，时，，令得，由A可知，的简图如下：
不妨设，欲证成立，则需证，
因为，所以，且在1,+∞为减函数，所以需证，
因为，所以，所以只需证，
设，；
，
易知是增函数，因为，所以，
因为，所以，即，为增函数；
所以，即成立，C正确.
对于D，因为，所以，
所以，等价于，两边取自然对数可得，
由选项C可知，，所以，，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三点：一是分离参数，作出简图，利用零点个数转化为两个函数图象公共点的个数求解；二是利用构造对称函数，求解极值点偏移问题；三是利用等价转化把转化为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
【答案】1215
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.
【详解】，，
，．
展开式第项：
，．
故答案为：1215.
13. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设出几个基本事件，按照条件概率和全概率公式直接计算即可.
【详解】设事件表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，表示“花还活着”，
由题意得，，，，，
则．
故答案为：.
14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据条件变形得到在上恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解.
【详解】易知，由，得到，
也即有在上恒成立，
令，则在区间0,+∞上恒成立，
所以在区间0,+∞上单调递增，故在上恒成立，
也即在上恒成立，
令，则，当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，故，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构思想，将条件变形成在上恒成立，通过构造函数，利用的单调性得到在上恒成立，再构造函数，转化成求的最大值，即可求解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【小问1详解】
依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
16. 已知的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）和.
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；
（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.
【详解】（1）由题意，的展开式是，
化简得
则，，
因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）
则，则的展开式是
二项式系数是，当时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得，的展开式是
根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，
则计算，
，
，
，
则当或时，系数最大，则系数最大项是和
【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.
17. 已知函数有两个极值点为，.
（1）当时，求的值；
（2）若（为自然对数的底数），求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导代入，即可求出函数单调性可得，代入计算可求出；
（2）利用韦达定理可得，代入化简可得，构造函数，求出其单调性即可求得其最大值.
【小问1详解】
易知函数定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或x∈2,+∞时，f′x>0；当时，f′x<0；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
【小问2详解】
易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【小问1详解】
零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以数学期望为.
【小问3详解】
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.
19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）试判断是否为区间上2阶无穷递降函数；
（2）计算：；
（3）证明：，.
【答案】（1）不是区间上的2阶无穷递降函数；
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【小问1详解】
设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
【小问2详解】
设，则，
设，
则，
所以，得.
【小问3详解】
令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
相关试卷
四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版）： 这是一份四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题（原卷版+解析版）： 这是一份四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题原卷版docx、四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题： 这是一份四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
![[数学]四川省遂宁中学校高新校区2023～2024学年高二下学期7月月考数学试卷(有解析)](http://jx-previews-01.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/3/3/16092619/0-1724413025655/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_202)
