四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 关于，的方程表示的曲线可能是等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷(选择题)
一、单选题
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用共轭复数及复数的除法运算求解即得.
【详解】复数，所以.
故选：A
2. 在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件B. 是必然事件
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件可知，事件不一定是互斥事件，然后逐项求解即可.
【详解】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，
故，从而AB错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
3. 等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（ ）
A. 2B. 2或C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，代入即得解
详解】由题意，
故选：B
4. 若点在圆的内部，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】因为点在圆内，则，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离.
故选：C
5. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
6. 已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，两式相减可证明数列从第二项起成等差数列，再由等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为，所以，
两式相减得，
即，因为，
所以，
所以数列中，从第二项起成等差数列，
所以，
所以．由得，
所以，得，所以，
故选：A．
7. 已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知圆的圆心到直线的距离小于或等于2，进而可得.
【详解】由题意可知，由得，圆心为，半径为
因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2，
所以得，
即得，可得，
故选：D
8. 如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可求出，由知点为线段的中点，从而得到长，根据在抛物线上可表示出的坐标，也就得到的坐标，代入渐近线方程可建立的关系求得.
【详解】根据题意，如图：
因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，
又到的距离，即，
又，所以点为线段的中点，则，
设点，由抛物线定义知，解得；
由可得，
则由等面积可知：，解得，则，则，
又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，
故
故选：B.
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率,本题关键是求出的坐标代入渐近线方程建立方程求解.
二、多选题
9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在轴上的双曲线B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在轴上的双曲线D. 长轴长为的椭圆
【答案】BC
【解析】
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
10. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件M发生的概率为B. 事件M与事件N互斥
C. 事件M与事件N相互独立D. 事件发生的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.
【详解】由题设知：，A正确；
由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；
因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；
，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.
故选：AC.
11. 下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（ ）
A. 若数列是递增数列,则公比
B. 若公比,则数列一定是递增数列或递减数列
C. 若,则数列是递减数列
D. 若,则数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列的定义和通项公式结合与的关系一一判断即可.
【详解】对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误;
对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误;
对于C,因为,即,整理得且,所以,则,所以数列是递减数列,故C正确;
对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误.
故选:ABD.
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点到轴的距离为
B. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C. 是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
则抛物线，所以焦点，准线为，
对于A选项，设、，则，
解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故A错误；

对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，
若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，
此时，直线与抛物线只有一个交点，
若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，
考虑直线与抛物线相切，联立，可得，
则，解得，
即直线与抛物线只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B错；
对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，
因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
第II卷(非选择题)
三、填空题
13. 抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为____.
【答案】2
【解析】
【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标.
【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，
作，垂足为，在直角梯形中，，
由抛物线的定义可知：，因此有，
所以点的横坐标为.
故答案为：2.
14. 已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，，，.

如图，设双曲线左焦点为，
因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
所以，.
由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.
又，所以，
所以，有最小值，
即有最小值.
故答案为：.
15. 已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为______.
【答案】15
【解析】
【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案.
【详解】由题意得，
设等差数列的公差分别为，
，，故，
故，又，
故，即，
，又，
，即，
联立，化简得，
解得
又是整数，即是整数，
设，故，即，
解得，
令，解得，且，
当时，满足要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
当时，不合要求，
综上，的值为15.
故答案为：15
16. 已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先通过直线和过定点以及垂直关系求出点轨迹，然后根据阿波罗尼斯圆的特点找到使恒成立的点，最后根据两点之间线段最短求最小值即可.
【详解】直线：即，过定点
直线：即，过定点
又，故，
则点在以线段为直径的圆上，
即点的轨迹为，即，
假设存在点，使恒成立，设
则，整理得，
与的轨迹对照得，解得，
即存在点，使，即，
所以，
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用和表示即可求解；
（2）由（1）给出的表达式，再用和表示即可求解.
【小问1详解】
证明 当时，由得
，
所以，
又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
【小问2详解】
由（1）可得，所以.
当时，；
当时，，不符合
故
18. 已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.
（1）求M的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】18
19. 不存在，详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到双曲线的方程；
（2）根据弦的中点坐标得到斜率，然后联立直线和双曲线方程来判断直线与双曲线是否相交.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
依题意可得，
解得，，故M方程为.
【小问2详解】

设，，
则
两式相减得.
依题意可得
所以.
所以直线:，即，
联立得，，
所以直线l与M不相交，故不存在直线l.
19. 在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：
（1）该同学得4分的概率；
（2）该同学得分不超过3分的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析该同学得4分的情况，利用独立事件的概率公式即可得解；
（2）利用独立事件的概率公式，依次求出该同学得0分、2分，3分的概率，从而得解.
【小问1详解】
设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，
在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立，
依题意，
则该同学得4分的概率为 .
【小问2详解】
该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分，3分，
该同学得0分的概率为；
得2分的概率为；
得3分的概率为；
则该同学得分不超过3分的概率为.
20. 已知圆的圆心为坐标原点，斜率为1且过点的直线与圆相切，圆：.
（1）若圆与圆相交于，两点，求线段的长度；
（2）若直线：与圆交于，两点，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，使得.
【解析】
【分析】（1）斜率为1且过点的直线方程为，由其与圆相切结合点到直线的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程. 圆的方程减去圆的方程，可得所在的直线方程为，根据垂径定理可求；
（2）设的中点为，可得三点共线，根据斜率公式求出，由垂直关系可得，从而可求的值，再验证直线与圆有两个交点即可.
【小问1详解】
斜率为1且过点的直线方程为，即.
则到直线的距离为，即为圆的半径，
所以圆的方程为.
由圆的方程减去圆的方程，可得，即.
因为圆与圆相交于，两点，则所在的直线方程为.
到的距离为，
所以.
【小问2详解】
假设存在实数，使得.
设的中点为，因为，所以.
又，所以三点共线.
圆：的圆心为,半径为3，
故，所以，即.
因为直线：，所以，解得,
此时直线：.
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆有两个交点，
所以存在实数，使得.
21. 如图，菱形的边长为为的中点.将沿折起，使到达，连接，得到四棱锥.

（1）证明：；
（2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解线面角，结合三角函数的性质即可求解最值.
【小问1详解】
由题意证明如下，
在菱形中，为的中点，，
是等边三角形，，
在翻折过程中，恒有，
又平面，
平面，平面，
；
【小问2详解】
由题意及（1）得，
为二面角的平面角，记其为，则，
以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
，
设平面的法向量，则，得
令，得，
则，
令，得
，
当且仅当时，等号成立
设直线与平面所成角为，
则
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
22. 已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B.
（1）若点的坐标为，证明：直线；
（2）求O到直线的距离的范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可.
（2）设出点的坐标，求出椭圆在点处的切线方程，再设出点的坐标，求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出距离的范围即得.
【小问1详解】
依题意，切线的斜率存在，设切线方程为，
由消去得，则，
设的方程两根为，则，即直线的斜率有，
所以.
【小问2详解】
设椭圆上点，当椭圆在点处的切线斜率存在时，设其方程为，
由消去得，
则，化简得，
而，于是，即，
解得，直线的方程为，整理得，
当直线的斜率不存在时，点或，对应的切线方程分别为或，满足上式，
因此椭圆上任意点处的切线的方程为，
则椭圆上点处的切线的方程为，
设点，显然，由于直线，都过点，即，
显然点的坐标都满足方程，于是直线的方程为，
则原点O到直线的距离，而，
则当时，，当时，，
所以点O到直线的距离的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．