2025高考数学一轮复习-6.2.3组合-6.2.4数组数【课件】

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1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为①　一组    ,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个②　组合    .2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的③　个数    ,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的④　组合数    ,用符号⑤          表示.
2 |组合数公式与性质
　　1.组合数公式: =⑥         =⑦　      =⑧         (n,m∈N*,m≤n). 2.规定: =⑨　1    .　　3.组合数性质: =⑩         ; =      +     .
3 |应用组合知识解决实际问题的四个步骤 
1.判断:判断实际问题是不是组合问题.2.方法:选择用直接法还是间接法解题.3.计算:利用组合数公式并结合两个计数原理计算.4.结论:根据计算结果写出方案个数. 
 1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 . (    ✕　)从三个不同元素中任取两个元素的组合数为 .2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积. (　√　)3. =5×4×3=60. (    ✕　) = =10.4. = =2 020. (　√　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
5.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合. (　√　)6.组合和排列一样,都与“顺序”有关. (    ✕　)排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关. 
1 |组合数的运算与性质
 组合数公式的主要适用范围
 组合数的性质及其应用(1)性质“ = ”的意义及作用: (2)性质“ = + ”的顺用,逆用,变形应用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形是 = - 的使用,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.
  (1)式子 (n∈N*)可表示为(　　)A. 　    B. C.101 　    D.101 (2)求值: + ;(3)证明: =  .
解析    (1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小 的为n,故 =101· =101 .(2)由组合数的概念知 所以4≤n≤5.又因为n∈N*,
所以n=4或n=5.当n=4时, + = + =5;当n=5时, + = + =16.(3)证明:  = · = = .答案　(1)D
  (1)计算 + + +…+ 的值为 (　　)A. 　    B. 　    C. -1　    D. -1(2)解方程3 =5 ;
(3)解不等式 > .解析    (1) + + +…+ = + + +…+ - = + +…+ -1=…= + -1= -1.
(2)由排列数和组合数公式,知原方程可化为3· =5· ,则 = ,
即(x-3)(x-6)=40,解得x=11或x=-2.易知x≥7,则x=11.(3)由 > 得 ,⇒ ⇒ 
又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.答案　(1)C方法总结    与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以 及组合数的性质,涉及具体数字的可以直接用公式计算;涉及字母的多选用阶乘式 计算;计算时应注意利用组合数的性质 = 简化运算.另外要注意 中m、n的范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
 分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区 分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的.1.分组问题的求解策略
2.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的 空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对 应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分 配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块板.
  按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)分成三份,每份2本;(4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
解析    (1)先从6本书中选择1本,有 种方法,再从剩余5本书中选择2本,有 种方法,还剩3本书全选,有 种方法,所以总共有   =60种方法.(2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有    =360种方法.(3)从6本书中选择2本书,有 种方法,再从剩余4本书中选择2本书,有 种方法,
还剩2本书全选,有 种方法,所以共有   =90种方法.但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选 出的是AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB, EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法.
所以不同的方法共有 =15种.(4)在(3)的基础上进行分配,则分配方法共有 × =90种.(5)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有 种,因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15种.(6)在(5)的基础上进行分配即可,即有 × =90种方法.
方法总结    不同元素的分配问题往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型: ①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中不同分组方式的 解法.
  把10个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数 不小于盒子的编号数,则不同的方法共有　　　    种.解析    首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少 放一个球的不同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.答案    15
3 |排列、组合的综合应用问题
　　春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式祈福避祸,而现 代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家 在春节前开展商品促销活动,凡购物金额满50元的顾客,均可以从“福”字、春联 和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件.
1.若有4名顾客都领取一件礼品,一共有多少种领取方式?提示:有4名顾客都领取一件礼品,一共有34=81种领取方式.2.若这4名顾客都领取了一件礼品,他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率 应如何计算?提示:他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同有  =36种领取方式,则他们中有
且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P= = . 
 正确区分“有序”与“无序”区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解 答,有序的问题用排列的知识解答. 辩证看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置, 随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决 问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好.
  如图,一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、 绿4种颜色的花,问有多少种不同的种植方法?(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的 放法?
解析    (1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种 植方法;对C部分种植,进行分类:①若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3 ×1×2×2=48种不同的种植方法;
②若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种 不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.综上,共有48+48=96种不同的种植方法.(2)将7个盆栽分成5组,有2种分法:①分成2、2、1、1、1,有 种分法;②分成3、1、1、1、1,有 种分法,