甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版）

这是一份甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A、原式不能合并，错误；
B．原式合并得到结果，即可做出判断；
C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断
【详解】A. 原式不能合并，错误；
B. 原式=，错误；
C. 原式=，正确；
D. 原式=，错误，
故选C
【点睛】此题考查二次根式的加减法，二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. ，2，D. ，2，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可．
【详解】A. 32+42=52故能构成直角三角形，不符合题意；
B. 52+122=132 故能构成直角三角形，不符合题意；
C. （）2+（2）2=7≠（）2故不能构成直角三角形，符合题意；
D 故能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 已知点都在直线上，则为的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
根据一次函数的性质，得y随x的增大而减小解答即可．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小
∵，且点，，都在直线上
∴
故选A．
4. 如图，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A. 2和3B. 3和2C. 4和1D. 1和4
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角平分线及平行线的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
5. 正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A. 四条边都相等B. 四个角都是直角C. 对角线互相垂直平分D. 每条对角线平分一组对角
【答案】B
【解析】
【详解】A、正方形和菱形均具有，故不符合题意；
B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故符合题意；
C、正方形和菱形均具有此性质，故不符合题意；
D、正方形和菱形均具有此性质，故不符合题意；
故选B．
6. 如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明．
证明，推出，，则，，再证，代入求出即可．
【详解】解：如图，
正方形，的面积分别为5和11，
，，
由正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
正方形的面积为，
故选C．
7. 甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是
A. 甲、乙两人的速度相同B. 甲先到达终点
C. 乙用的时间短D. 乙比甲跑的路程多
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．
解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，
故选B．
8. 甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小.
上述结论正确的是（ ）
A. （1）（2）（3）B. （2）（3）C. （1）（3）D. （1）（2）
【答案】D
【解析】
【分析】平均水平的判断主要分析平均数；根据中位数不同可以判断优秀人数的多少；波动大小比较方差的大小．
【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误．
综上可知（1）（2）正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据中位线定理和菱形的性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，， ，
∵E为的中点，
∴，
即：，故A、B正确，不符合题意；
∵，
∴为直角三角形，
∵点E是的中点，
∴，故C正确，不符合题意；
不一定正确，故D错误，符合题意．
故选：D．
10. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的折叠问题，由折叠前后对应边相等可得，设，则，用勾股定理解即可．
【详解】解：正方形边长为，为边的中点，
，，，
由折叠知，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________．
【答案】x≥0且x≠2．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意得：x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥0且x≠2．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
12. 数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是___________．
【答案】0.8．
【解析】
【详解】试题解析：数据“1，2，1，3，3”平均数= =2，
S2= [（1-2）2+（2-1）2+…+（3-2）2]==0.8．
考点：方差．
13. 已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，把已知点的坐标代入解析式正确解方程是解题的关键．
把过点代入解方程即可求解．
【详解】解：把代入，
得：，
解得： ，
即．
故答案为．
14. 若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为_____．
【答案】矩形
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．
连接、交于O，根据三角形的中位线定理推出，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案．
【详解】解：连接、交于O，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
∴平行四边形是矩形，
故答案矩形．

15. 若对实数a，b，c，d规定运算，则＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据规定运算，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴===，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为______．
【答案】x＞1
【解析】
分析】根据图象直接解答即可．
【详解】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．
17. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形．
【答案】AE＝FC或∠ABE＝∠CDF
【解析】
【详解】试题分析：∵四边形EBFD要为平行四边形，∴∠BAE=∠DCF，AB=CD，又AE=FC
∴△AEB≌△CFD，∴AE=FC，∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为AE=FC或∠ABE=∠CDF．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
18. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___．

【答案】5
【解析】
【分析】设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设DE=x，则AE=8-x．
根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=x．
直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=（8-x）2+16，
解得x=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中．
三、解答题（共66分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
（3）用适当的方法解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二根式即可；
（2）先逐项化简，再合并同类二根式即可；
（3）用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
∵
∴
∴或
∴
20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
八年级教师竞赛成绩扇形统计图
七、八年级教师竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，_________；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【答案】（1）8；9；（2）102；（3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义分别求解即可；
（2）先求出被调查的20人中成绩到达8分以上的人数，求出占比，再用120乘该比例即可；
（3）根据平均数，中位数，众数等对应的实际意义进行判断即可．
【详解】（1）题干中七年级的成绩已经从小到达排列，
∴七年级的中位数为；
扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数，
∴八年级的众数为；
故答案为：8；9；
（2）由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人，
∴（人），
∴该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人；
（3）八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数．（不唯一，符合题意即可）
【点睛】本题考查数据分析，理解中位数，众数等的定义与求法，熟练运用中位数和众数做决策是解题关键．
21. 如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，于点于点F．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．由平行四边形的性质可证明，则可求得，由，从而可求得，可证得结论．
【详解】．证明：四边形是平行四边形，
，且，
．
又，
．
在与中，
，
，
；
，
，
四边形是平行四边形．
22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形；
（2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质．
23. 如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是正方形，见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质，平行线的性质得出三角形全等的条件，进而得出，进而求解即可；
（2）根据有一个角是直角的菱形为正方形求解即可．
【小问1详解】
证明：垂直平分，
，，
，
∵
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
若四边形是菱形，则，
，
∴
，
由（1）知四边形是菱形，
四边形是正方形．
即当时，四边形是正方形．
24. 如图1，小明家，学校，到达图书馆在同一条直线上，小明骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计），小明离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小明家与学校的距离为______m，小明骑自行车的速度为______m/min；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式；
（3）小明离家5000m时，他出发了多长时间？
【答案】（1）4000；200
（2）
（3）5分钟或25分钟
【解析】
【分析】（1）由图象即可直接得出小明家与学校的距离为4000m，根据速度=路程÷时间结合图象计算即可求出小明骑自行车的速度；
（2）根据题意可求出返回时的函数图象经过点，．再利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法即可求出小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式．再分类讨论当小明去图书馆时和小明回家时可列出方程，解出x即可．
【小问1详解】
由图象可知小明家与学校的距离为4000m，
小明骑自行车的速度为．
故答案为：4000，200；
【小问2详解】
小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min，
∴总时间：20＋30＝50min，
设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把，代入得：，解得，
∴；
【小问3详解】
设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，
把，代入得：，解得，
∴y＝200x＋4000
当y＝5000时，
5000＝200x＋4000
∴x＝5
5000＝−200x＋10000
∴x＝25
∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．读懂题意和图象，正确的求出每段的函数解析式是解题关键．
25. 已知：如图一次函数与的图象相交于点A．

（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）9 （3）
【解析】
【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
【小问2详解】
解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
【小问3详解】
解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
26. 甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款______元；购买5kg苹果需付款______元；
（2）写出付款金额关于购买苹果的重量x的函数关系式：
（3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【答案】（1）15，23；
（2）
（3）甲超市比乙超市划算
【解析】
【分析】（1）直接根据题意求出苹果的总价即可，按题意分别求前部分的价格以及超过部分的价格，即可得到苹果的总价；
（2）分别利用待定系数法求解解析式即可；
（3）分别计算出在两超市购买苹果的总价，比较即可得出结论．
【小问1详解】
由题意：（元）；
（元）；
故答案为：15，23；
【小问2详解】
当时，，
当时，
当时，设，将，代入解析式
解得，，
∴，
【小问3详解】
当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确求出一次函数的解析式，理解实际意义是解题关键．
27. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
【答案】（1）PC=PE，PC⊥PE，理由见解析；（2）PA=CE，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC=PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF=∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF=90°即可．
（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF=60°，又因为PC=PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE=PC=AP．
【详解】（1）PC=PE，PC⊥PE
证明∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠FDE=90°，
∴∠CPF=90°，
∴PC⊥PE．
（2）PA=CE．理由如下：
证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADC=∠ABC=120°
∴∠EDF=180°-∠ADC=60°
∴∠CPF=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE=PE
∴AP=CE．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意正方形和菱形是轴对称图形．班级
参赛人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
9
众数
8
优秀率
45%
55%