甘肃省武威市凉州区武威第七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份甘肃省武威市凉州区武威第七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了 将根号外的因式移到根号内，得等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间120分钟 ）
一.单项选择题（共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 甲，乙，丙，丁四位跨栏运动员在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲，乙，丙，丁成绩的方差分别是0.03，0.08，0.05，0.1，则当天这四位运动员“110米跨栏”训练成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查方差，根据方差的定义，方差越小数据越稳定．掌握方差的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴甲的成绩的方差最小，
∴当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是甲．
故选：A．
3. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
即是直角三角形，不符合题意；
B、∵
∴，
∴，
∴直角三角形，不符合题意；
C、设，则，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，即不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、中位线，熟练掌握菱形的性质和中位线的性质是解题的关键，利用菱形的性质：对角线相互垂直，中位线的性质：平行且等于底边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，点O为的中点，
∴．
故选：C．
5. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用两条直线的交点确定不等式的解集，图象法求不等式的解集即可．
【详解】解：由图可知，的解集为：；
故选B．
6. 某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A. 从学校前往基地的平均速度为
B. 学生劳动了3.5小时
C. 从实践基地返回学校的平均速度为
D. 从学校出发小时后，距离学校100千米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从学校前往基地花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；在出发1.5小时后到达实践基地，在出发6小时后离开实践基地，据此可判断B；根据选项A的速度乘以时间，据此可判断D．
【详解】A． 从学校前往基地的平均速度为，原说法错误，不符合题意；
B． 学生劳动了小时，原说法错误，不符合题意；
C． 从实践基地返回学校的平均速度为，原说法正确，符合题意；
D． 从学校出发小时后，距离学校，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
7. 将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故选：B．
8. 已知一次函数，小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
则下列说法正确的是（ ）
A. 函数值随着的增大而增大B. 函数图象不经过第四象限
C. 方程的解为D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数的性质，一次函数的图象，解一元一次方程，三角形的面积公式，即可选出正确选项．
【详解】解：由表格可得一次函数经过点，，
将两点代入中，可得：
，
解得：，
故一次函数解析式为，
A. 由于，即函数值随着的增大而减小，故选项不符合题意；
B. 由于，，故函数图象经过第四象限，故选项不符合题意；
C. 将代入，解得，故选项符合题意；
D. 由表格可得，一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，，因而图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数的图象，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是，点M就是一个整点．已知一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果内部（不包括边上）的整点只有1个，那么b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出直线和，根据图象即可得到答案.
【详解】解：当时，，
当时，，解得，
∵一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，其中，
如图，画出直线和，
由图象可知当时，内部（不包括边上）的整点只有1个，
故选：B.
10. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键．设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可．
【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴时，四边形是平行四边形，
当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确；
当四边形是菱形时，，
则，解得：，符合题意，
即：当时，四边形是菱形，故②正确；
当四边形是矩形时，，则，解得，
即：当时，四边形是矩形，故③正确；
当四边形是正方形时，，
则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确，
综上，正确的有①②③，
故选：A．
二.填空题（共18分）
11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由时，，得随的增大而增大，则，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，
∴当时，，
∴随的增大而增大，
∴，
∴取，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为118分，那么小明物理得分是_____________________分．
【答案】100
【解析】
【分析】此题考查了加权平均数．先计算小明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以即可．
【详解】解：
．
故答案为：100．
13. 在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段，求作：平行四边形．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧；
（3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．

老师说：“小明的作法正确．”
请回答：四边形是平行四边形的依据是___________________________．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
【详解】解：由作图方法可知，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
15. 如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，连接，根据正方形的性质得出，，，根据三角形的面积得出，将值代入计算即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
16. 观察下列各式：
，
，……．请运用以上方法化简________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
三.解答题（共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先去绝对值，求立方根，再计算二次根式乘法，最后算加减法．
【详解】解：原式
．
18. 已知，，求代数式的值；
【答案】24
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法和加法，完全平方公式，代数式求值等知识，解题的关键是求出，．
首先求出，，然后利用完全平方公式变形代数求解即可．
【详解】解：因为
所以，
所以．
19. 如图，在四边形中，，, 过点作于点，连接．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平行线的性质可得，，再根据，即可得，从而得出四边形是矩形，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
20. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．
（1）求线段对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．
【小问1详解】
解：设线段的函数表达式为
将，代入，
即解得，
线段的函数表达式为；
【小问2详解】
根据题意，得，
．
【点睛】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21. 由于阿克苏独特的地理环境和气候条件，当地的核桃和红枣品质都十分优良，而网络直播带货的发展，也为各种农产品的销售带来了巨大的市场．一商人为了推销家乡的樱桃和红枣，在网上直播带货，他每天在家乡收购这两种干果共600千克，且当天全部售出．干果成本和销售单价如表所示：
设该商人每天进货核桃x千克，每天获得的利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写自变量x的取值范围）
（2）若该商人每天投入的总成本不超过11200元，应怎样安排核桃和红枣的进货量，可使该商人一天所获得的利润最大？并求出最大利润和此时两种干果的进货量．
【答案】（1）
（2）核桃每天进货400千克，红枣每天进货200千克，可使该天所获得的利润最大，最大利润元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据题意正确的列等式和不等式是解题的关键．
（1）由题意可得：，然后整理即可解答；
（2）由题意得，，得到x的范围，然后根据一次函数的性质求利润的最大值以及两种干果的进货量即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵该商人每天投入总成本不超过11200元，
∴，
解得：，
∵，，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
则，
∴核桃每天进货400千克，红枣每天进货200千克，可使该天所获得的利润最大，最大利润元．
22. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】（1）12尺 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
【小问1详解】
解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度为12尺；
【小问2详解】
证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明刘徽解法是正确的．
23. 四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接．
（1）如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：．
（2）在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足：
①点M、N分别在、上；
②．（不写画法，保留画图痕迹）
（3）证明（2）中
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．
（1）证明即可；
（2）利用（1）的结论进行作图即可；
（3）由（1）的方法可证，则，同理可证，则，则四边形为平行四边形，即可得到到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的线段；
【小问3详解】
由（1）的方法可证，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
24. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
【答案】（1）15，，96
（2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
（3）69（人）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可；
（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．
【小问3详解】
解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或；
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】本题综合考查一次函数应用．
（1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标；
（3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
【小问1详解】
解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
【小问2详解】
解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
…
…
…
…
干果
干果成本（元/千克）
销售单价（元/千克）
核桃
18
33
红枣
20
36
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c