甘肃省武威市凉州区武威第九中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份甘肃省武威市凉州区武威第九中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 下列各式是最简二次根式的是等内容，欢迎下载使用。

1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，二次根式的混合运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，二次根式的混合运算的运算法则计算即可，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：(1)被开方数不能含有分母；(2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
B、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，先根据计算，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，是的角平分线，
∴点到的距离，
故选：C．
4. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )

A. 2－B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，

由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
5. 如图，四边形是菱形，其顶点C在x轴上，顶点A的坐标是，将菱形沿x轴向右平移2个单位长度，则平移后点C的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，两点间距离公式，先根据点A的坐标是，得出，根据菱形的性质得出，即可得出，根据平移性质得出点的坐标为．
【详解】解：∵点A的坐标是，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵将菱形沿x轴向右平移2个单位长度，
∴平移后点C的对应点的坐标为．
故选：C．
6. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的面积为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，连接、交于点O，根据正方形的性质利用勾股定理求出的长，根据菱形的性质求出的长，即可得出的长，最后根据菱形的面积等于对角线长的积的一半即可求解．
【详解】解：连接、交于点O，
∵四边形正方形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴菱形的面积为，
故选：D．
7. 已知点和都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，把点和分别代入，计算出与的值，再进行比较，即可作答．
【详解】解：∵点和都在直线上，
∴把点和分别代入，
则；
∴
故选：C
8. 一组数据2，4，x，6，8的众数为2，则这组数据的中位数为 （ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据众数的概念求出x，再根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】∵数据2，4，x，6，8的众数为2，
∴，
则数据重新排列为2、2、4、6、8，
所以中位数为4，
故选B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
10. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．
【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，，
∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，
∴，，
∴，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选：A．
二．填空题（共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，，解不等式即可．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
12 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
13. 如图，已知在四边形中，，边上一点，若，，，，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】在上取一点，使得，过点作于，利用三角形的外角定理及度直角三角形的性质得，，进而利用勾股定理求得，，，，再证明，利用角平分线的性质及解直角三角形即可得解．
【详解】解：在上取一点，使得，过点作于，

∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线性质，度直角三角形的性质定理，等腰三角形的判定，熟练掌握解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键．
14. 如图，在和中，M，N分别为对角线交点，已知，且与的周长分别为22与21，则四边形的周长为__________．
【答案】23
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，，，根据三角形的周长公式得到的周长，的周长，求得，，于是得到结论．
【详解】解：在和中，
，，，，，，
的周长，的周长，
，，
四边形的周长，
故答案为：23．
15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点，，，则线段的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理及三角形中位线定理等知识，灵活运用菱形对角线的性质是解题的关键．由菱形的性质可求得菱形的边长，由三角形中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，O为菱形对角线的交点，
∴O是的中点，且，，，
∴由勾股定理得：，
∵H为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
16. 如图，函数的图象与x轴交于点2,0，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数的图象与不等式的关系，根据函数图象可得的解集为，向右平移3个单位得，则的图象与x轴交于点，即可求解．
【详解】解： 向右平移3个单位得，
向右平移3个单位得，
∴的图象与x轴交于点，
根据函数图象得的解集为，
∴关于x的不等式的解集为
故答案为：．
17. 甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是__________．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．根据方差越小，成绩越稳定，反之，则最不稳定，即可求解．
【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
18. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．
【答案】－1
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×（－k）＝4＋4k＝0，
解得：k＝－1，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
20. 解方程：＋3x﹣4＝0．
【答案】＝﹣4，＝1
【解析】
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】解：∵＋3x﹣4＝0，
∴（x＋4）（x﹣1）＝0，
则x＋4＝0或x﹣1＝0，
解得＝﹣4，＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21. 已知一次函数，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
（2）根据函数图象回答：
①不等式的解集是__________.
②当x__________时，．
③当时，相应x的取值范围是__________.
【答案】（1）见详解 （2）①②③．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数解析式，可以求得该函数与轴和轴的交点坐标，然后即可画出该函数的图象；
（2）根据函数图象，熟练运用数形结合思想
①可以写出不等式的解集，
②当为何值时，，
③当取何值时，．
【小问1详解】
解： ，
当时，，当时，，
即该函数图象过点，，
函数图象如图所示，
；
【小问2详解】
解：①由图象可得，不等式的解集是．
故答案为：；
②由图象可得，当时，；
故答案为：；
③∵，随的增大而增大
∴，解得；
∴，解得x=2
当时，相应的取值范围是，
故答案为：．
22. 先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义，
∴且
由得到
∴
解得，
∴，
∴
23. 如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离的长度．
【答案】船体移动的距离的长度为
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案．
【详解】解；在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴船体移动的距离的长度为．
24. 如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
．
25. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，与相交于点O，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义推出，则，同理可得，即可得到，易证四边形是平行四边形，再由．即可证明四边形是菱形；
（2）利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用等面积法求出的长，再根据平行四边形面积公式列式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图所示，过点F作于G，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质与判断等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26. 我校九龙园校区开展了“学校是我家，安全靠大家”的知识竞答活动，初三760名全体学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在男生和女生中各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析得到下列信息（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，E：）．
抽取的男生和女生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
男生等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49．
女生等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
（1）根据以上信息可以求出：______，______，______；
（2）你认为是男生还是女生的安全知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为“安全意识特强”，请估计我校九龙园校区初三所有学生中“安全意识特强”的学生有多少人？
【答案】（1）30，48，50
（2）男生知识竞答成绩较好，理由见解析
（3）我校九龙园校区初三所有学生中“安全知识特别强”的人数约为361人
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数和众数，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
（1）用“1”分别减去其他四个等级所占百分比可得的值；分别根据中位数和众数的定义可得、的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中49分及以上所占百分比即可．
【小问1详解】
由题意得，，故；
把女生20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数；
男生20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数．
故答案为：30，48，50；
【小问2详解】
男生的学生知识竞答成绩较好，理由如下：
因为男生和女生的平均数相同，但男生的中位数比女生中位数和众数都比女生高，所以男生的学生知识竞答成绩较好；
【小问3详解】
，
（人，
答：我校九龙园校区初三所有学生中“安全意识特强”的学生大约有361人．
27. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：
（1）求出判别式的符号，判断即可；
（2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴或，
∴，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴或，
解得或（舍去），
∴a的值为4．
28. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）作于P，于Q，证明，即可；
（2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果；
（3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：∵正方形，
∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
【小问3详解】
解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
29. 如图，直线与直线交于点，与y轴交于点P，直线经过点，且与y轴交于点Q，直线分别交y轴、直线、于A，B，C三点．

（1）求m的值及直线的函数表达式；
（2）当点A在线段上（不与点P，Q重合）时，若，求a的值；
（3）设点关于直线的对称点为K，若点K在直线，直线与x轴所围成的三角形内部（包括边界），求a的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）当时，点，再将分别代入直线、的解析式，可求出点B、C的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点在点下方时；情况二：当点在点上方时，分别求解即可；
（3）设对称点，当点落在直线上时，，进而求出a的值；当点落在轴上时，，进而求出a的值，因此即可得出直线与轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围．
【小问1详解】
将点代入，
得，
解得．
点，
将点，点代入，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
由题意可得，，
直线分别交轴、直线于点，点，点C，
当时，点，
由，解得，
则点，
由，解得，
则点，
当时，
情况一：当点在点下方时，如图1，此时点为中点．
，
解得，且，符合题意；

情况二：如图2，当点在点上方时，
，
，
解得，且，符合题意．
综上所述，当或时，；
【小问3详解】
设点关于直线的对称点，
当点落在直线上时，，
此时，
当点落在轴上时，，
此时，
点在直线，
直线与轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围为．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像交点问题、待定系数法求函数解析式等问题，明确两直线平行则k值相等是解题的关键．
平均数
中位数
众数
男生
47.5
48.5
女生
47.5
49