2023-2024学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共37页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
2．（2分）平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
3．（2分）一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根为零的条件是（ ）
A．b2﹣4ac＝0B．b＝0C．c＝0D．c≠0
4．（2分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则AE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
6．（2分）关于x的二次函数y＝a（x﹣h）2+k中，若ahk＜0，则下列示意图中符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）二次函数y＝x2+bx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题.（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
10．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 ．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 ．
12．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝110°，则∠α＝ ．
13．（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
14．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为 ．
15．（2分）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
16．（2分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，中心为O，在矩形外有一点P，OP＝3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 ．
三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、25、26题各6分，第27、28题各7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x+7＝0；
（2）．
18．（5分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
19．（6分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ．
20．（5分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
21．（4分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
22．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）求⊙O的半径长．
（3）求线段EF的长．
23．（5分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
24．（4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
25．（6分）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质： ；
②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
27．（7分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．
（1）已知点A（5，0）．
①在点B1（﹣3，4），B2（1，5），B3（4，﹣3），B4（3，6）中，线段OA的“等距点”是 ；
②若点C在直线y＝2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；
（2）已知点D（1，0），点E（0，﹣1），图形W是以点T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标为（h，k）；直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y＝（x﹣1）2+1是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1，1）．
故选：A．
【点评】本题主要是对二次函数中对称轴，顶点坐标的考查．
2．（2分）平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵P（﹣3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（3，﹣4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
3．（2分）一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根为零的条件是（ ）
A．b2﹣4ac＝0B．b＝0C．c＝0D．c≠0
【分析】将x＝0代入已知方程，求得c＝0．
【解答】解：根据题意知，x＝0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，则c＝0．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
4．（2分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则AE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先根据直角三角形的性质求出BE及DE的长，再连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣BE，在Rt△ODE中利用勾股定理求出r的值，进而可得出AE的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，∠D＝30°，BD＝2，
∴△BDE是直角三角形，
∴BE＝BD＝×2＝1，
∴DE＝＝＝，
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣BE＝r﹣1，
在Rt△ODE中，
OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣1）2+（）2，解得r＝2，
∴AE＝OA+OE＝2+（2﹣1）＝3．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
【分析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
【解答】解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
6．（2分）关于x的二次函数y＝a（x﹣h）2+k中，若ahk＜0，则下列示意图中符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】需要分类讨论求解，当a＞0时，若ahk＜0，当h＞0，k＜0时，当h＜0，k＞0时；当a＜0时，若ahk＜0，当h＞0，k＞0时，当h＜0，k＜0时．
【解答】解：当a＞0时，若ahk＜0，分两种情况讨论：
当h＞0，k＜0时，此时图象开口向上，与y轴交于负半轴，顶点到第四象限；故A选项的图符合要求；
当h＜0，k＞0时，此时图象开口向上，与y轴交于正半轴，顶点到第二象限；没有符合要求的图；
当a＜0时，若ahk＜0，分两种情况讨论：
当h＞0，k＞0时，此时图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点到第一象限；没有符合要求的图；
当h＜0，k＜0时，此时图象开口向下，与y轴交于负半轴，顶点到第三象限；没有符合要求的图；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行讨论求解．
7．（2分）二次函数y＝x2+bx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，点（﹣1，1）在二次函数的图象上，故选项B、C不符合题意；然后从对称轴与b的取值来分析，可知符合题意的选项．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣b+b＝1，
∴点（﹣1，1）在二次函数的图象上，
∴选项B、C不符合题意；
∵二次函数的对称轴为：，
对于选项A：当x＝0时，可知0＜b＜1，故对称轴在y轴的左侧，故选项A不符合题意；
对于选项D：当x＝0时，观察图象可知b＞2，故对称轴在直线x＝﹣1的左侧，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．
【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；
由勾股定理，得：AD＝2；
∴S△ACD＝AD•CD＝；
易证得△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
即S△AOE＝S△ADC＝；
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
二、填空题.（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 0（答案不唯一）． ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 2≤y＜18 ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
将x＝﹣3代入y＝（x﹣1）2+2得y＝16+2＝18，
∴当﹣3＜x＜2时，2≤y＜18，
故答案为：2≤y＜18．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 20° ．
【分析】连接OA，由切线的性质得出∠OAB＝90°，结合∠B＝50°，得出∠AOB＝40°，由圆周角的性质得出∠ADC＝20°，再由平行线的性质得出∠OCD＝∠ADC＝20°．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ADC＝∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
12．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝110°，则∠α＝ 20° ．
【分析】根据矩形的性质得∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，根据旋转的性质得∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，利用对顶角相等得到∠1＝∠2＝110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3＝70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，
∵∠1＝∠2＝110°，
∴∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
∴∠4＝90°﹣70°＝20°，
∴∠α＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．
13．（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 12000（1+x）2＝27000 ．
【分析】利用今年8月份的盈利＝今年6月份的盈利×（1+6月份到8月份盈利的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得12000（1+x）2＝27000，
故答案为：12000（1+x）2＝27000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为 （3，0） ．
【分析】点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，即可求解．
【解答】解：点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，
则：点Q的横坐标为﹣1+4＝3，
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象上点的性质等函数基本属性，本题是一道基本题．
15．（2分）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 4 ．
【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的性质解答．
【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点B为弧AD 的中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝20°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°，
∴∠BOQ＝20°+40°＝60°．
∵OB＝OQ，
∴△BOQ是等边三角形，
∴BQ＝OB＝CD＝4，即PA+PB的最小值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
16．（2分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，中心为O，在矩形外有一点P，OP＝3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 3﹣≤d≤2 ．
【分析】由题意以及矩形的性质得OP过矩形ABCD各边的中点时，d最大，OP过矩形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．
【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，
如图①：∵AB＝4，AD＝2，中心为O，
∴OE＝1，OE⊥AB，
∵OP＝3，
∴d＝PE＝2；
如图②：∵AB＝4，AD＝2，中心为O，
∴AE＝2，OE＝1，OE⊥AB，
∴OA＝＝，
∵OP＝3，
∴d＝PA＝3﹣；
∴d的取值范围为3﹣≤d≤2．
故答案为：3﹣≤d≤2．
【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、25、26题各6分，第27、28题各7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x+7＝0；
（2）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用换元法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+7＝0，
∴x2+6x＝﹣7，
则x2+6x+9＝2，即（x+3）2＝2，
∴，
则x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
（2）设t＝x2+2x，则原方程化为，
整理得t2﹣6＝t，
解得t＝3，t＝﹣2．
经检验，t＝3，t＝﹣2是原方程的解．
当t＝3时，x2+2x＝3解得x1＝﹣3，x2＝1；
当t＝﹣2时，x2+2x＝﹣2此方程无解．
综上，x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（5分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣2）2﹣4（2k﹣3）＝8（2﹣k）．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴8（2﹣k）＞0，解得k＜2．
（2）当k为符合条件的最大整数时，k＝1．
此时方程化为x2﹣2x﹣1＝0，方程的根为x＝＝1±．
即此时方程的根为x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中．
19．（6分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 （3，0）（1，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣1≤t＜8 ．
【分析】运用二次函数与x轴相交时，y＝0，与y轴相交时，x＝0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．
【解答】解：（1）它与x轴交点的坐标为：（1，0）（3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；
故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，﹣1）
（2）列表：
图象如图所示．
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，
∵y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
若x2﹣4x+3﹣t＝0有解，方程有两个根，则：b2﹣4ac＝16﹣4（3﹣t）≥0，解得：﹣1≤t
当x＝﹣1，代入x2﹣4x+3﹣t＝0，t＝8，
当x＝，代入x2﹣4x+3﹣t＝0，t＝，
∵x＞﹣1，∴t＜8，
∴t的取值范围是：﹣1≤t＜8，
故填：﹣1≤t＜8
【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，以及用描点法画二次函数图象和结合图象判定一元二次方程的解的情况．
20．（5分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
【分析】（1）连接OD，证明DF⊥OD，可得结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H．利用勾股定理求出AB，得出DO＝2，∠BOC＝2∠A＝60°，利用AB∥FD得出∠F＝60°，再利用三角函数求出DF即可．
【解答】（1）证明连接OD．
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∵AB∥DF；
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OD＝2，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∵DF∥AB，
∴∠COB＝∠F＝60°，
∴tanF＝＝，
∴DF＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
21．（4分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点A1；
（2）依据线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，即可得出旋转后的线段A1B1；
（2）依据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接AB1，BB1，
则S＝×8×2＝8．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）求⊙O的半径长．
（3）求线段EF的长．
【分析】（1）利用切线的性质得出∠OCD＝∠OCB，再根据直角三角形两锐角互余，对顶角、等量代换可得答案；
（2）利用勾股定理求出BE，再根据勾股定理列方程可求出半径；
（3）根据勾股定理求出OC，OE，再根据相似三角形的性质求出EF．
【解答】解：（1）∵CB，CD是⊙O的切线，
∴CB＝CD，∠ODC＝∠OBC＝90°，
又∵OB＝OD，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠OCD＝∠OCB，
又∵EF⊥OG，
∴∠EFO＝90°，
∴∠OEF+∠EOF＝90°，
∵∠BOC+∠BCO＝90°，∠EOF＝∠BOC，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）在Rt△BCE中，BE＝＝＝8，
在Rt△OED中，设OD＝x，
则OB＝x，OE＝8﹣x，DE＝EC﹣CD＝10﹣6＝4，
由勾股定理得，DE2+OD2＝OE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴OD＝3，
即⊙O的半径为3；
（3）由勾股定理得，
OE＝＝＝5，
OC＝＝＝3，
∵∠FEO＝∠DCO，∠EFO＝∠CDO＝90°，
∴△EOF∽△COD，
∴＝，
即：＝，
∴EF＝2．
【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理、相似三角形等知识，知识的综合应用是本题的显著特点．
23．（5分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得0＜x≤，根据题意得出函数解析式，由二次函数性质求最值．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞13不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为13m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
24．（4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
25．（6分）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质： 抛物线关于点（2，1）成中心对称 ；
②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
【解答】解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：，
解得，
∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；
（2）如图所示：
①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：
由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，0），（1，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．
（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．
（2）∵m＝0，y1＝y3，
∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，
∴y＝x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），
∴y2＝1为函数最小值，
∴y1＞y2．
（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，
y2＝m2﹣2am+1，
y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，
∵y1＞y2＞y3，
∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，
解得m﹣1＜a＜1，
∵m＞1，
∴0＜a＜1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
27．（7分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 AC＝DE ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．
（1）已知点A（5，0）．
①在点B1（﹣3，4），B2（1，5），B3（4，﹣3），B4（3，6）中，线段OA的“等距点”是 B1，B2 ；
②若点C在直线y＝2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；
（2）已知点D（1，0），点E（0，﹣1），图形W是以点T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据“等距点”的定义一一判断即可；
②设C（m，2m+5），由点C是线段OA的“等距点”，可得OC＝5，由此构建方程求出m即可．
（2）如图，根据定义以为半径，D，E为圆心，作⊙D，⊙E，分别交x轴的负半轴，y轴正半轴于点M，N，则MN＝ED，设⊙D与x轴的正半轴交于点P，推出MN，上的点到DE的距离为，推出图形W上存在线段DE的“等距点”，则⊙T与线段MN，有交点，求出几种特殊位置t的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∵B1（﹣3，4），B2（1，5），B3（4，﹣3），B4（3，6），
∴OB1＝＝5，点B2到OA的距离为5，
∴B1，B2是线段OA的“等距点”，
故答案为：B1，B2；
②设C（m，2m+5），
∵点C是线段OA的“等距点”，OC＝5，
∴m2+（2m+5）2＝52，
解得m＝﹣4或0，
∴C（﹣4，﹣3）或（0，5）；
（2）∵D（1，0），E（0，﹣1），
∴DE＝，
如图，根据定义以为半径，D，E为圆心，作⊙D，⊙E，分别交x轴的负半轴，y轴正半轴于点M，N，则MN＝ED，设⊙D与x轴的正半轴交于点P，
∴MN，上的点到DE的距离为，
∴图形W上存在线段DE的“等距点”，则⊙T与线段MN，有交点，
根据题意可知，MN＝ED＝，OM＝OD＝1，DP＝DE＝．
当半圆⊙T与MN只有一个交点时，在负半轴上时，t＝﹣1﹣1＝﹣2，
当T在x轴的正半轴上时，t＝MT﹣1＝﹣1，
当⊙T与⊙D内切时，t＝OP﹣1＝+1﹣1＝．
当⊙T与⊙D外切时，t＝1++1＝2+，
综上所述，满足条件的t的值为：﹣2≤t≤﹣1，≤t≤2+．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，两圆的位置关系，“等距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
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