2023-2024学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
3．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1
4．（2分）已知抛物线y＝x2+2x经过点（﹣3，y1），（2，y2），则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≥y2
5．（2分）如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，若AC＝1，BD＝2，OB＝4．则OA的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中b＞0，c＜0，则该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）如图，点E是△ABC的边AB上一点，要使得△ACE与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ACE＝∠BB．∠AEC＝∠ACBC．D．
8．（2分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＜mx+n的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3或x＞1D．0＜x＜3
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是 ．
10．（2分）写出一个开口向下，与y轴交于点（0，1）的抛物线的函数表达式： ．
11．（2分）古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此．如图，若AB＝2，则AP的长为 ．
12．（2分）若抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值是 ．
13．（2分）如图，△ABC中，DE∥BC，．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为 ．
14．（2分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝6m，则树高AB是 m．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
给出下面五个结论：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴是直线x＝﹣；
③二次函数的最小值为﹣2；
④当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
⑤c＝4．
上述结论中，所有正确的结论有 （填写序号）．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点P是AD上的动点（不与点A，D重合），过点P作EF⊥AD与AB，AC分别交于点E，F，AD＝3，BC＝2．设AP＝x，若△AEF的面积为y是x的函数，则这个函数表达式是 ．
三、解答题（共68分；17-20题，每小题5分；21题6分；22题5分；23-25题，每小题5分；26题5分；27-28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
18．（5分）在平面直角坐标系中，点A（2，8），B（m，2）在二次函数y＝ax2（a≠0）的图象上．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣4．
（1）写出该函数图象的顶点坐标；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？
20．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象经过（0，5）
（1）求此二次函数的表达式；
（2）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过A（1，0），B（2，5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）画出该函数图象；
（3）结合图象，写出当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
22．（5分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F．写出一对相似三角形并证明．
23．（6分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过18米，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为32米．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）如果矩形ABCD的面积为96平方米，求AB边的长．
24．（6分）如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）若，且CD＝10，求BC的长．
25．（6分）旅游盛夏季，在延庆世园公园妫呐湖畔，上演了名为《世园之心》的音乐喷泉光影秀．如图，是其中一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口B距地面3米，喷出的水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点C到喷水枪AB所在直线的距离是1米，水流的落地点D到水枪底部A的距离是3米．那么水流最高点C与地面的距离是多少米？
26．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请你求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组数值所对应的点，请你画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
27．（7分）小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝20°，∠DCB＝80°，CD＝2，AD：DB＝1：2，求AC的长．
小明发现，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，通过构造△AEC，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：∠CAE的度数为 ；AC的长为 ；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC与BD交于点E，且AD⊥BD，∠BDC＝45°，∠DBC＝67.5°，EC：AE＝1：2，DE＝2，求AB的长．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣mx+的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）若抛物线与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点A，当△OAC是等腰直角三角形时，求n的值；
（3）点B的坐标为（4，0），若该抛物线与线段OB有且只有一个交点，求n的取值范围．
2023-2024学年北京市延庆区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2．（2分）将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．
【解答】解：抛物线y＝2x2平移得到抛物线y＝2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
3．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（2分）已知抛物线y＝x2+2x经过点（﹣3，y1），（2，y2），则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≥y2
【分析】根据抛物线的解析式可知开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣3，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），且﹣1＜1＜2，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
5．（2分）如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，若AC＝1，BD＝2，OB＝4．则OA的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【分析】由AC⊥CD，BD⊥CD，得∠C＝∠D＝90°，而∠AOC＝∠BOD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AOC∽△BOD，得＝，再由AC＝1，BD＝2，OB＝4，求得OA＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，
∵AC＝1，BD＝2，OB＝4，
∴OA＝＝＝2，
故选：B．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOC∽△BOD是解题的关键．
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中b＞0，c＜0，则该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系进行判断后排除不符合条件的选项即可解决问题．
【解答】解：∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴A、C排除；
∵B中抛物线开口向上，
∴a＞0，
当a＞0，b＞0时，对称轴在y轴左侧，
∴B排除；
∵D中抛物线开口向下，
∴a＜0，
当a＜0，b＞0时，对称轴在y轴右侧，
∴D符合题意，该函数的图象可能是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数a、b、c的关系，熟练掌握它们之间的关系是解决问题的关键．
7．（2分）如图，点E是△ABC的边AB上一点，要使得△ACE与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ACE＝∠BB．∠AEC＝∠ACBC．D．
【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．
【解答】解：A、添加∠ACE＝∠B，结合∠A＝∠A，可以判定△ACE∽△ABC，不符合题意；
B、添加∠AEC＝∠ACB，结合∠A＝∠A，可以判定△ACE∽△ABC，不符合题意；
C、添加，结合∠A＝∠A，可以判定△ACE∽△ABC，不符合题意；
D、添加，结合∠A＝∠A，不可以判定△ACE∽△ABC，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
8．（2分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＜mx+n的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3或x＞1D．0＜x＜3
【分析】从图象可以看出，x＜﹣3或x＞0时，抛物线的函数值小于一次函数的值，即可求解．
【解答】解：从图象可以看出，x＜﹣3或x＞0时，抛物线的函数值小于一次函数的值，
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是 ﹣2 ．
【分析】当x＝﹣1时，﹣（x+1）2＝0，此时有最大值．
【解答】解：当x＝﹣1时，有最大值，为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次函数的最值，合理运用配方法是关键．
10．（2分）写出一个开口向下，与y轴交于点（0，1）的抛物线的函数表达式： y＝﹣x2+1 ．
【分析】开口向下可确定二次项系数小于0，与y轴交于点（0，1）可确定常数项为1．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该函数的图象开口向下，
∴a＜0，可以取a＝﹣1，
∵当x＝0，y＝1，
∴c＝1，
∴满足条件的一个函数为y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，关键是要牢记系数和图象开口，顶点，对称轴，坐标轴交点之间的关系．
11．（2分）古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此．如图，若AB＝2，则AP的长为 ﹣1 ．
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
【解答】解：∵点P是线段AB上一点（AP＞BP），满足，
∴点P是AB的黄金分割点，
∴，即，
∴AP＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了黄金分割，关键是掌握黄金分割的定义，解题时需要注意线段AB的黄金分割点有两个．
12．（2分）若抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值是 ．
【分析】抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，则Δ＝0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，即9﹣4a＝0．
解得：a＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴交点，根据题意得到Δ＝0是解题的关键．
13．（2分）如图，△ABC中，DE∥BC，．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边相交所截得的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC，则＝＝，所以S△ABC＝4S△ADE＝12，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4×3＝12，
故答案为：12．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
14．（2分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝6m，则树高AB是 4.5 m．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝3m，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+3＝4.5（m），
即树高4.5m．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF和△DCB相似是解题的关键．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
给出下面五个结论：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴是直线x＝﹣；
③二次函数的最小值为﹣2；
④当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
⑤c＝4．
上述结论中，所有正确的结论有 ②⑤ （填写序号）．
【分析】根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+4）（x+1），结合点（0，4），利用待定系数法即可求出二次函数表达式，然后由函数的性质进行判断即可．
【解答】解：由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+4）（x+1），
∵二次函数经过点（0，4），
∴4a＝4，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4＝（x+）2﹣，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为﹣，对称轴为直线x＝﹣，
当x＜﹣时，y随x的增大而减小，
c＝4，
∴正确的结论有②⑤．
故答案为：②⑤．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点P是AD上的动点（不与点A，D重合），过点P作EF⊥AD与AB，AC分别交于点E，F，AD＝3，BC＝2．设AP＝x，若△AEF的面积为y是x的函数，则这个函数表达式是 y＝x2 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，进而得到EF∥BC，根据相似三角形的性质用含有x的代数式表示EF，再根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝x，
∴S△AEF＝y＝EF•AP＝×x×x＝x2．
故答案为：y＝x2．
【点评】本题考查函数关系式，掌握相似三角形的判断和性质以及三角形面积公式是正确解答的前提．
三、解答题（共68分；17-20题，每小题5分；21题6分；22题5分；23-25题，每小题5分；26题5分；27-28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB
∴，
即，
∴AD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（5分）在平面直角坐标系中，点A（2，8），B（m，2）在二次函数y＝ax2（a≠0）的图象上．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【分析】（1）把点A（2，8）代入y＝ax2得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，再把点B（m，2）代入解析式即可求出答案；
（2）根据解析式即可求出对称轴和顶点坐标；
（3）根据解析式，对称轴和顶点坐标画出图象即可．
【解答】解：（1）把点A（2，8）代入y＝ax2得，4a＝8，
∴a＝2
∴y＝2x2，
把（m，2）代入y＝2x2，得2＝2m2，
∴m＝±1；
（2）∵二次函数y＝2x2，
∴函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）函数的图象为：
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法和图象的画法是解决问题的关键．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣4．
（1）写出该函数图象的顶点坐标；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）根据二次函数的性质，利用顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）先解方程x2﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）；然后计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（3）根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣4）；
（2）当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4＝﹣4，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4）；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
20．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象经过（0，5）
（1）求此二次函数的表达式；
（2）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2﹣mx+m+1中求出m的值，从而得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式配成顶点式．
【解答】解：（1）把（0，5）代入y＝x2﹣mx+m+1得m+1＝5，
解得m＝4，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x+5；
（2）y＝x2﹣4x+5＝y＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过A（1，0），B（2，5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）画出该函数图象；
（3）结合图象，写出当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入y＝ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）由于当x＝﹣2，y＝﹣3；x＝2，y＝5，由于x＝﹣1时，y有最小值﹣4，从而可确定当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（2，5）分别代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
如图，
（3）当x＝﹣2时，y＝﹣3；x＝2时，y＝5，
而x＝﹣1时，y有最小值﹣4，
所以当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22．（5分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F．写出一对相似三角形并证明．
【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得出
【解答】解：△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，△BCF∽△DEC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC．
∴△BCF∽△DEC．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定，相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
23．（6分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过18米，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为32米．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）如果矩形ABCD的面积为96平方米，求AB边的长．
【分析】（1）由题意得，BC＝32﹣2x（米），则y＝AC•BC，即可求解；
（2）由题意得：69＝﹣2x2+32x，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，BC＝32﹣2x（米），
则0＜32﹣2x≤18，
解得：7≤x＜16，
则y＝AC•BC＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x（7≤x＜16）；
（2）由题意得：96＝﹣2x2+32x，
解得：x＝4（舍去）或12（米），
即AB长为12米．
【点评】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
24．（6分）如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）若，且CD＝10，求BC的长．
【分析】（1）根据两个角相等可证明△AEF∽△DFC；
（2）根据相似三角形的性质列比例式可得AF的长，设BE＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，从而可得答案..
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
由折叠得：∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠AFE+∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC；
（2）解：∵△AEF∽△DFC，
∴＝＝，
∵，且CD＝10，
∴＝，
∴AF＝4，
由折叠得：BE＝EF，
设BE＝x，则AE＝10﹣x，EF＝BE＝x，
由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，
∴42+（10﹣x）2＝x2，
∴x＝5.8，
∴AE＝10﹣5.8＝4.2，
∴＝，
∴DF＝10.5，
∴BC＝AF+DF＝4+10.5＝14.5．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（6分）旅游盛夏季，在延庆世园公园妫呐湖畔，上演了名为《世园之心》的音乐喷泉光影秀．如图，是其中一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口B距地面3米，喷出的水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点C到喷水枪AB所在直线的距离是1米，水流的落地点D到水枪底部A的距离是3米．那么水流最高点C与地面的距离是多少米？
【分析】依据题意，以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，进而求出顶点纵坐标即可得解．
【解答】解：以A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点B的坐标是 （0，3），点D的坐标是 （3，0），水流轨迹抛物线的对称轴是 x＝1，从而可设抛物线为y＝a（x﹣1）2+h，
∴4a+h＝0，且a+h＝3．
∴a＝﹣1，h＝4．
∴顶点C（1，4）．
∴水流最高点C与地面的距离是4米．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，正确得出函数解析式是解题关键．
26．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝+x的图象与性质进行了探究．
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请你求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组数值所对应的点，请你画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 函数图象与y轴交于点（0，﹣1） ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝4时的函数值为m，把x＝4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可．
【解答】解：（1）x﹣1≠0，
∴自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）把x＝4代入，
∴y＝，
∴m＝．
（3）该函数的图象如图所示；
（4）函数图象与y轴交于点（0，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
27．（7分）小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝20°，∠DCB＝80°，CD＝2，AD：DB＝1：2，求AC的长．
小明发现，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，通过构造△AEC，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：∠CAE的度数为 80° ；AC的长为 3 ；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC与BD交于点E，且AD⊥BD，∠BDC＝45°，∠DBC＝67.5°，EC：AE＝1：2，DE＝2，求AB的长．
【分析】（1）由AE∥BC，得∠E＝∠ACD＝80°，△AED∽△BCD，所以∠CAE＝180°﹣∠ACD﹣∠E＝80°，＝＝，则ED＝CD＝，∠E＝∠CAE，所以AC＝EC＝ED+CD＝3，于是得到问题的答案；
（2）作AF∥CD交DB的延长线于点F，则∠F＝∠BDC＝45°，而∠ADF＝90°，所以∠ADF＝∠F＝45°，由CD∥AF，证明△CDE∽△AFE，则＝＝＝，所以FE＝2DE＝4，则AD＝FD＝DE+FE＝6，由勾股定理得AF＝＝6，所以CD＝AF＝3，再证明∠DCB＝∠DBC＝67.5°，则BD＝CD＝3，所以AB＝＝3．
【解答】解：（1）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠ACD＝80°，△AED∽△BCD，
∵∠ACD＝20°，CD＝2，AD：DB＝1：2，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACD﹣∠E＝180°﹣20°﹣80°＝80°，＝＝，
∴ED＝CD＝×2＝，∠E＝∠CAE，
∴AC＝EC＝ED+CD＝+2＝3，
故答案为：80°，3．
（2）如图3，作AF∥CD交DB的延长线于点F，则∠F＝∠BDC＝45°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠F＝45°，
∵CD∥AF，EC：AE＝1：2，DE＝2，
∴△CDE∽△AFE，
∴＝＝＝，
∴FE＝2DE＝2×2＝4，
∴AD＝FD＝DE+FE＝2+4＝6，
∴AF＝＝＝6，
∴CD＝AF＝×6＝3，
∵∠BDC＝45°，∠DBC＝67.5°，
∴∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴BD＝CD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴AB的长是3．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣mx+的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）若抛物线与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点A，当△OAC是等腰直角三角形时，求n的值；
（3）点B的坐标为（4，0），若该抛物线与线段OB有且只有一个交点，求n的取值范围．
【分析】（1）由抛物线对称轴的公式即可求解；
（2）先求得点C的坐标，再根据△OAC是等腰直角三角形得出点A的坐标，代入求得n即可；
（3）分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得．
【解答】解：（1）二次函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，、
解得：m＝2；
（2）抛物线对称轴与x轴交于点A，则OA＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣mx+＝（n﹣1），
当△OAC是等腰直角三角形时，OA＝OC＝1，
即±1＝（n﹣1），
解得：n＝3或﹣1；
（3）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+（n﹣1），
①当抛物线的顶点在x轴上时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（n﹣1）＝0，
解得：n＝3；
②当抛物线的顶点在x轴下方时，
如图，
由图可知当x＝0时，y＜0；当x＝4时，y≥0，
即（n﹣1）＜0且16﹣8+（n﹣1）≥0，
解得：﹣15≤n＜1，
综上：﹣15≤n＜1或n＝3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段O有且只有一个公共点得出x＝0时y＜0；x＝4时，y≥0的结论．
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