2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．向上，（2，4）B．向上，（﹣2，4）
C．向下，（2，4）D．向下，（﹣2，4）
3．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．110°C．70°D．109°
4．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
5．（2分）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（5，0）C．（0，﹣3）D．（1，0）
6．（2分）如图，已知⊙O的半径OC经过弦AB的中点D，分别连接OB，AC，则2∠A+∠B的度数为（ ）
A．80°B．45°C．90°D．70°
7．（2分）数学课上，邱老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：BC的中点D．
同学们分享了如下四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④
8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x；
②用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．
其中变量y与x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①B．②C．③D．①③
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ ．
10．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+4经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．（2分）扇形圆心角为120°，半径长为6cm，（计算结果保留π）则弧长为 cm，扇形的面积为 cm2．
12．（2分）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径122cm，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为6.1cm，最大的圆半径为61cm，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为15cm的位置，则该运动员本次射击得分为 分．
13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，若AB＝4，∠A＝15°，则弦CD的长为 ．
14．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为 ．
15．（2分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，有下面四个结论：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为 ．
三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每
17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
18．（5分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程有两个根为x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．
19．（5分）如图，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，连接OA，交⊙O于点C．若AC＝2，AB＝2，求圆的半径．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
（1）根据上表画出函数图象，并填空：
①该函数的顶点坐标为 ；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为 ；
③当y＞0时，x的取值范围是 ；
（2）求该二次函数的解析式．
21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x元，每小时共售出两种吉祥物y个，经研究发现y与x之间有如下关系：y＝﹣x+60．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w元．（1）求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．
（2）这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？
22．（5分）阅读对话，解答问题．
（1）分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出（m，n）的所有取值：
（2）求在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P．
23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圆．
下面是小张的作法：
①如图，作BC的垂直平分线l1；
②作AC的垂直平分线l2，与l1交于点O；
③以O为圆心，OA长度为半径作圆．
则⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．
（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了△ABC的内心．下面是小李的作法：
直线l2与交于点D，连接DB，交AO于点I，则点I是△ABC的内心．
请你补全下面证明．
∵l2⊥AC，l2经过点O，
∴（① ）（填推理的依据），
∴∠ABD＝② （③ ）（填推理的依据），
∵l2⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵DB与AO交于点I，
∴点I是△ABC的内心．
24．（6分）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 ，并求出满足的函数解析式．
（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，请回答下列问题：
①小明同学第一次投篮的出手点高度为 m；
②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m，竖直高度3m处．当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知两次投篮只有一次投中，则 投中（填写“第一次”或“第二次”）．
25．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分别连接AC，AP．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）作AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD．若AB＝OB，，请补全图形，并求OP的长．
26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．
（1）若抛物线经过点（2，c），求t的值；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y2，求t的取值范围．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E为线段BC上的一动点，连接ED，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF交直线CD于点G．
（1）当E与C重合时，如图1，求证：AG＝FG；
（2）当E与C不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（3）若AC＝2，直接写出CG长的最大值．
28．（7分）设T是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P都有唯一的对应点P′，从而使任何图形G都能经过变换T得到另一图形G′．在此基础上：
若点P的对应点是它本身，则称点P是变换T的不动点；
若图形G经过变换T后得到的图形仍然是它本身，则称图形G是变换T的不动图形．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（0，2），C（2，0）．
（1）变换T1：先关于y轴对称，再将坐标为（a，b）的点变为点（4﹣a，b）．
①若点A在经过变换T1后得到点A′，则AA′＝ ；
②有下列图形：
（A）过点A且平行于x轴的直线；
（B）开口向下，且以B为顶点的抛物线；
（C）以点C为圆心的半径为1的圆．
其中是变换T1的不动图形的是 ；
（2）变换T2：先关于直线y＝kx+1对称，再关于y轴对称．
请判断点B、点C中哪个点经过变换T2后可能得到点A，并求出此时k的值；
（3）变换T3：先绕点O顺时针旋转90°，再绕点C逆时针旋转60°．
①以C为圆心作半径为r的圆，若⊙C上存在点M，它经过变换T3后的对应点恰好在x轴上，直接写出r的取值范围；
②变换T3是否有不动点？若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．
2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．（2分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．向上，（2，4）B．向上，（﹣2，4）
C．向下，（2，4）D．向下，（﹣2，4）
【分析】根据题意可知a＝﹣3，然后依据抛物线的顶点式做出判断即可．
【解答】解：∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为（2，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
3．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．110°C．70°D．109°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝70°，
∴∠B＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
5．（2分）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（5，0）C．（0，﹣3）D．（1，0）
【分析】根据抛物线解析式，可以得到对称轴，然后根据二次函数具有对称性，即可写出点B的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（2分）如图，已知⊙O的半径OC经过弦AB的中点D，分别连接OB，AC，则2∠A+∠B的度数为（ ）
A．80°B．45°C．90°D．70°
【分析】由圆周角定理得到∠O＝2∠A，即可得到结论．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠O+∠B＝90°
∵∠O＝2∠A，
∴2∠A+∠B＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是得到∠O＝2∠A，难度不大．
7．（2分）数学课上，邱老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：BC的中点D．
同学们分享了如下四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④
【分析】①利用垂径定理可以证明．
②证明BC⊥OD，可得结论．
③利用圆周角定理可得结论．
④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】解：①由∵OD⊥BC，
∴＝．
②如图2中，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴＝．
③∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝．
④如图4中，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAC，
∴＝．
故答①②③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x；
②用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．
其中变量y与x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①B．②C．③D．①③
【分析】①根据正方形的面积公式解答即可；
②根据矩形的面积公式解答即可；
③根据每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，列出函数关系式即可求解．
【解答】解：①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x的关系式为y＝32﹣x2（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向下，故①不符合题意；
用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x的关系式为y＝＝﹣x2+25x（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向下，故②不符合题意；
③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．其中变量y与x之间的函数关系为y＝4（1﹣x）2（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向上，故③符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ 5 ．
【分析】把x＝1代入一元二次方程得1+m﹣6＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入一元二次方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，
解得m＝5，
即m的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+4经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1 ＜ y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵1＜2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的增减性是解题关键．
11．（2分）扇形圆心角为120°，半径长为6cm，（计算结果保留π）则弧长为 4π cm，扇形的面积为 12π cm2．
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵扇形圆心角为120°，半径长为6cm，
∴弧长为＝4π（cm），
扇形的面积是＝12π（cm2）．
故答案为：4π，12π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为n度，半径为r的扇形的弧长为，扇形的面积为．
12．（2分）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径122cm，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为6.1cm，最大的圆半径为61cm，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为15cm的位置，则该运动员本次射击得分为 8.0 分．
【分析】求出10个等宽的同心圆环区的宽，即可解决问题．
【解答】解：10个等宽的同心圆环区的宽＝61÷10＝6.1cm，
∵6.1×2＜15＜6.1×3，
∴该运动员本次得分为8.0分．
故答案为：8.0．
【点评】本题考查圆环，关键是求出10个等宽的同心圆环区的宽．
13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，若AB＝4，∠A＝15°，则弦CD的长为 2 ．
【分析】连接OD．判断出∠EOD＝30°，再证明CE＝ED＝OD＝1，可得结论．
【解答】解：连接OD．
∵OA＝OD＝AB＝2，，
∴∠A＝∠ODA＝15°，
∴∠EOD＝∠A+∠ODA＝30°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝OD＝1，
∴CD＝2CE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
14．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为 0 ．
【分析】先求出该函数的对称轴，然后根据当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，即可得到x＝4时，y＝0，从而可以求得c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝2，
∵当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，
∴当x＝4时，y＝0，
即0＝42﹣4×4+c，
解得c＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（2分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，有下面四个结论：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，故②错误；
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，故③错误；
由图象可知，1＞c，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根，
故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为 3+2 ．
【分析】作△ABC的外接圆⊙P，当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，然后利用勾股定理求得OC，进一步即可求得线段CT长度的最大值为3+2．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙P，
当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，如图，
∵点A（﹣3，0），B（3，0），
∴OA＝OB，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴点P在y轴上，
∵T（0，2）在y轴上，
∴点C在y轴上时，线段CT长度的最大，
∴CT垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵∠ACB＝60°，
∴此时△ACB是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OC＝＝3，
∵OT＝2，
∴CT＝3+2，
故线段CT长度的最大值为3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，圆周角定理，勾股定理，明确C、P、T在同一直线上时，线段CT长度的最大是解题的关键．
三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每
17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（5分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程有两个根为x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．
【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根；
（2）由x2﹣（k+4）x+2k+4＝0两个根为x1，x2，可得x1+x2＝k+4，故k+4＝7，即可解得k的值为3．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）
＝k2+8k+16﹣8k﹣16
＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根；
（2）∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝0两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，
∵x1+x2＝7，
∴k+4＝7，
解得k＝3；
∴k的值为3．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件和根与系数的关系．
19．（5分）如图，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，连接OA，交⊙O于点C．若AC＝2，AB＝2，求圆的半径．
【分析】根据切线的性质可得三角形AOB是直角三角形，再根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
设半径为r，即OB＝r，OA＝2+r，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB2+AB2＝OA2，
即r2+（2）2＝（r+2）2，
解得r＝2，
答：圆的半径为2．
【点评】本题考查切线的性质，掌握切线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
（1）根据上表画出函数图象，并填空：
①该函数的顶点坐标为 （1，1） ；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为 （0，0），（2，0） ；
③当y＞0时，x的取值范围是 0＜x＜2 ；
（2）求该二次函数的解析式．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以画出相应的函数图象；
①根据图象中的数据，可以直接写出顶点坐标；
②根据图象中的数据，可以直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；
③根据图象中的数据，可以写出当y＞0时，x的取值范围；
（2）先设该函数的顶点式，再根据经过点（0，0），即可求得a的值，从而可以写出该函数解析式．
【解答】解：（1）图象如右图所示，
①该函数的顶点坐标为（1，1）；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；
③当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2；
故答案为：①（1，1）；②（0，0），（2，0）；③0＜x＜2；
（2）设该函数解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
∵点（0，0）在该函数图象上，
∴0＝a（0﹣1）2+1，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x元，每小时共售出两种吉祥物y个，经研究发现y与x之间有如下关系：y＝﹣x+60．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w元．（1）求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．
（2）这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？
【分析】（1）根据“两种吉祥物每小时的利润＝两种吉祥物的单个利润×每小时销售数量”列函数解析式即可；并根据单个利润非负，每小时销售量非负列不等式组即可求出x的范围；
（2）根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意，得w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+60），
即w＝﹣x2+100x﹣2400，
自变量x需满足，
解得40≤x≤60，
答：w＝﹣x2+100x﹣2400，40≤x≤60；
（2）w＝﹣x2+100x﹣2400＝﹣（x﹣50）2+100，
∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝50，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴在40≤x≤60时，当x＝50时，w有最大值，最大值为100元，
答：这两种吉祥物的销售单价定为50元，可以使每小时的利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系时解题的关键．
22．（5分）阅读对话，解答问题．
（1）分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出（m，n）的所有取值：
（2）求在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P．
【分析】（1）根据题意列表即可．
（2）由题意可得Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0，由表格可得出所有等可能的结果数以及能使m2﹣8n≥0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0．
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能使m2﹣8n≥0的结果有：（3，1），（4，1），（4，2），共3种，
∴在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P＝＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及根的判别式是解答本题的关键．
23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圆．
下面是小张的作法：
①如图，作BC的垂直平分线l1；
②作AC的垂直平分线l2，与l1交于点O；
③以O为圆心，OA长度为半径作圆．
则⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．
（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了△ABC的内心．下面是小李的作法：
直线l2与交于点D，连接DB，交AO于点I，则点I是△ABC的内心．
请你补全下面证明．
∵l2⊥AC，l2经过点O，
∴（① 垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧 ）（填推理的依据），
∴∠ABD＝② ∠DBC （③ 等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据），
∵l2⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵DB与AO交于点I，
∴点I是△ABC的内心．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据内心是角平分线的交点即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵l2⊥AC，l2经过点O，
∴（①垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧）（填推理的依据），
∴∠ABD＝②∠DBC（③等弧所对的圆周角定理）（填推理的依据），
∵l2⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵DB与AO交于点I，
∴点I是△ABC的内心．
故答案为：垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧，∠DBC，等弧所对的圆周角定理．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外心，内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（6分）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 （2.5，4） ，并求出满足的函数解析式．
（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，请回答下列问题：
①小明同学第一次投篮的出手点高度为 2.1 m；
②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m，竖直高度3m处．当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知两次投篮只有一次投中，则 第一次 投中（填写“第一次”或“第二次”）．
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可确定篮球飞行轨迹的最高点坐标；利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）①当x＝0时，求出函数值，即可求出第一次投篮的出手点高度；
②分别求出y＝3时，x的值，在与4.2比较，相差0.1以内的即可以进入篮筐．
【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝＝2.5，
∴可由表格知篮球飞行轨迹的最高点坐标为（2.5，4），
故答案为：（2.5，4），
函数关系可设为：y＝a（x﹣2.5）2+4，
将点（0，2）代入，得2＝a（0﹣2.5）2+4，
解得a＝，
∴满足的函数解析式为：y＝（x﹣2.5）2+4；
（2）①当x＝0时，y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5＝﹣（0﹣2.4）2+4.5＝2.1，
故答案为：2.1；
②第一次投篮：当y＝3时，3＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，
解得x1＝2.4+0.6，x2＝2.4﹣0.6（舍去），
|2.4+0.6﹣4.2|＜0.1，
故篮球可以进入篮筐；
第二次投篮：当y＝3时，3＝﹣（x﹣2.4）2+4，
解得x1≈3.95，x2≈0.85（舍去），
|3.95﹣4.2|＝0.25＞0.2，
故篮球不能进入篮筐，
故答案为：第一次．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质时解题的关键．
25．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分别连接AC，AP．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）作AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD．若AB＝OB，，请补全图形，并求OP的长．
【分析】（1）根据“经过直径的外端，且垂直于直径的直线是圆的切线”进行证明；
（2）根据等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OB，PO⊥AB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：补全图形如图所示：
连接BD，∵AB＝OB＝OA，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝2，
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴CB＝2，
∴OB＝，
∴OP＝＝2．
【点评】本题考查了基本作图，掌握等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质及切线的判定定理是解题的关键．
26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．
（1）若抛物线经过点（2，c），求t的值；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y2，求t的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称性即可求得t的值；
（2）利用抛物线的对称性即可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）由y＝ax2+bx+c可知，抛物线与y轴的交点为（0，c），
∵抛物线经过点（2，c），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t＝＝1，
∴t的值为1；
（2）∵抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1＝y2，
∴t＝，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，
∴＜t＜，即0＜t＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E为线段BC上的一动点，连接ED，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF交直线CD于点G．
（1）当E与C重合时，如图1，求证：AG＝FG；
（2）当E与C不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（3）若AC＝2，直接写出CG长的最大值．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADG≌△FCG，可得AG＝FG；
（2）由“SAS”可证△DEJ≌△FEB，可得∠EBF＝∠EJB＝45°，由平行线分线段成比例可求解；
（3）由（2）可知，点F过点B且垂直于AB的直线上运动，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝CD＝DB，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，
∴CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，
∴AD＝CF，
由∠AGD＝∠CGF，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴AG＝FG；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
连接BF，过点E作EJ⊥BC，交AB于J，
∵EJ⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EJB＝∠ABC＝45°，
∴EJ＝EB，
∵∠JEB＝∠DEF＝90°，
∴∠JED＝∠BEF，
又∵DE＝EF，
∴△DEJ≌△FEB（SAS），
∴∠EBF＝∠EJB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴CD∥BF，
∴，
∵AD＝DB，
∴AG＝GF；
（3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB，
∴AB＝2，
∴AD＝CD＝DB＝，
由（2）可知，点F过点B且垂直于AB的直线上运动，
∴当点E与点B重合时，DG＝EF＝，此时CG有最大值为，
∴CG的最大值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）设T是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P都有唯一的对应点P′，从而使任何图形G都能经过变换T得到另一图形G′．在此基础上：
若点P的对应点是它本身，则称点P是变换T的不动点；
若图形G经过变换T后得到的图形仍然是它本身，则称图形G是变换T的不动图形．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（0，2），C（2，0）．
（1）变换T1：先关于y轴对称，再将坐标为（a，b）的点变为点（4﹣a，b）．
①若点A在经过变换T1后得到点A′，则AA′＝ 6 ；
②有下列图形：
（A）过点A且平行于x轴的直线；
（B）开口向下，且以B为顶点的抛物线；
（C）以点C为圆心的半径为1的圆．
其中是变换T1的不动图形的是 A ；
（2）变换T2：先关于直线y＝kx+1对称，再关于y轴对称．
请判断点B、点C中哪个点经过变换T2后可能得到点A，并求出此时k的值；
（3）变换T3：先绕点O顺时针旋转90°，再绕点C逆时针旋转60°．
①以C为圆心作半径为r的圆，若⊙C上存在点M，它经过变换T3后的对应点恰好在x轴上，直接写出r的取值范围；
②变换T3是否有不动点？若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．
【分析】（1）①根据变换T1规则得出A′的坐标，然后根据两点距离公式求出AA′即可；
②变换T1的几何意义是先关于y轴对称，再关于x＝2对称，据此判断三个图形变换后不变的图形即可；
（2）将A点关于y轴对称得到D，然后判断D与B，C是否可能关于直线对称即可；
（3）M第一次变换的点为N，第二次变换后点为P，
①因为P在x轴上，可知△CPN是正三角形，再根据∠MON为直角，可知△OMN为等腰直角三角形，利用全等三角形得出N的坐标，再根据正三角形性质得出M的轨迹方程，从而求出半径的取值范围；
②因为P和M重合，所以OM＝ON，CM＝CN，所以可以得出x轴是M，N的对称轴，据此求解即可．
【解答】解：（1）①A关于y轴对称为（﹣1，1），
再进行坐标变换得到A′（5，1），
∴AA′＝5﹣（﹣1）＝6，
故答案为：6；
②变换T1的几何意义是先关于y轴对称，再关于x＝2对称，
∴不动图形需要有x＝0和x＝2两条对称轴，
∵A是平行于x轴的直线，
∴一定有x＝0和x＝2这两条对称轴，故符合题意；
∵B是抛物线，只有一条平行于y轴的对称轴，
∴不符合题意，
∵C是圆，只有一条平行于y轴的对称轴，
∴不符合题意，
故答案为：A；
（2）A关于y轴的对称点为D（﹣1，1），
∵B（0，2），C（2，0），
由图可知，C和D的对称轴与y轴交点在y轴负半轴，B和D的对称轴与x轴的交点在y轴正半轴，
∴B点可能经过变换T2得到点A，
B和D的中点为（﹣，），代入直线方程：
＝﹣k+1，
解得：k＝﹣1；
（3）设M第一次变换的点为N，第二次变换后点为P，M点坐标为（x，y），
①∵∠NCP＝60°，CP＝CN，
∴△NCP为等边三角形，
∵∠MON＝90°，OM＝ON，
∴△MON为等腰直角三角形，
过M作ME⊥x轴于E，过N作NF⊥x轴于F，如图：
∵∠MOC+∠NOC＝90°，∠MOC+∠OMC＝90°，
∴∠OMN＝∠NOC，
又∵OM＝OC，
∴△MOC＝△ONF，
∴OC＝FN，MC＝OF，
∴N（y，﹣x），
∵△CNP为正三角形，
∴FN＝CF，
即x＝（y﹣2），
∴M在直线y＝x+2上，如图：
直线与y轴交于点B，与x轴交于点D，过C作CG⊥BD于G，连接BC，
∴OB＝OC＝2，OD＝2，
∴BC＝2，BD＝4，
设GB＝a，
由勾股定理得：（2+2）2﹣（4+a）2＝（2）2﹣a2，
解得：a＝，
∴CG＝+1，
∴r≥+1；
②有不动点，
∵P和M重合，
∴OM＝ON，CM＝CN，
∴OC（x轴）垂直平分MN，
∴MN关于x轴对称，
如图：
设M（x，y），则N（x，﹣y），
由①知，N（y，﹣x），
∴x＝y，
又∵△MNC为正三角形，
∴2﹣x＝|﹣x|
∴x＝±﹣1，
∴M（﹣﹣1，﹣﹣1）或（，）．
【点评】本题主要考查了几何变化与平面直角坐标系的综合，合理运用坐标与图形的性质是本题解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/12 10:34:22；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
n
m
1
2
3
4
水平距离x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
竖直高度y/m
2
2.72
3.28
3.68
3.92
4
3.92
3.68
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
n
m
1
2
3
4
n
m
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
水平距离x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
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竖直高度y/m
2
2.72
3.28
3.68
3.92
4
3.92
3.68
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