2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中一分校八年级（上）期中数学试卷 (1)【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中一分校八年级（上）期中数学试卷 (1)【含解析】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）x2•x3的计算结果是（ ）
A．x5B．x6C．x8D．x9
2．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
3．（3分）如图所示，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段DA
4．（3分）如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
6．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
7．（3分）如图，可知∠α的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
8．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．14C．13或14D．8或10
9．（3分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．80°
D．随点B，C的移动而变化
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）计算：x（x+1）＝ ．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ ．
13．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 ．
14．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是： （写出一个即可）．
15．（3分）如果一个等腰三角形的一角为80°，那么它的顶角是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 ．
18．（3分）在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 ．
三、解答题（本题共46分，19题9分，20-21、23-24题各5分，22、25题各6分，26题5分）
19．（9分）计算：
（1）6x2•3xy；
（2）（3x+1）（x﹣2）；
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
20．（5分）已知：如图，AB平分∠CAD，∠C＝∠D．求证：AC＝AD．
21．（5分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
22．（6分）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE；
由②可得： ；
由③可知：OC＝OC；
∴ ≌ （依据： ）．
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
23．（5分）如图，D是AC的中点，ED⊥AC，∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
24．（5分）阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9
∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为 ．
（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．证明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
26．（5分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中一分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）x2•x3的计算结果是（ ）
A．x5B．x6C．x8D．x9
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．
【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
【分析】首先设第三根木棒长为x cm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3．（3分）如图所示，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段DA
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：△ABC的边BC上的高是线段AE，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
【分析】由翻折的特点可知，∠ACB＝∠ADB＝100°，进一步利用三角形的内角和求得∠BAC的度数即可．
【解答】解：∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC
＝180°﹣100°﹣30°
＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查翻折的特点：翻折前后两个图形全等；以及三角形的内角和定理的运用．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
【分析】根据三角形外角性质得出∠A＝∠ACD﹣∠B，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝150°﹣70°＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
7．（3分）如图，可知∠α的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据多边形的外角和列式计算即可．
【解答】解：∵多边形的内角和为360°，
∴∠α＝360°﹣120°﹣120°﹣70°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的外角和，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
8．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．14C．13或14D．8或10
【分析】分4是底边和腰长两种情况讨论求解．
【解答】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、5、5，
能组成三角形，
周长＝4+5+5＝14，
4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、5，
能组成三角形，
周长＝4+4+5＝13．
综上所述，这个等腰三角形的周长为14或13．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
9．（3分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
【分析】阴影部分面积＝大长方形面积﹣空白部分小长方形面积．
【解答】解：剩余部分面积：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．80°
D．随点B，C的移动而变化
【分析】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A＝2∠D．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）计算：x（x+1）＝ x2+x ．
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【解答】解：x（x+1）＝x2+x．
故答案为：x2+x．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 60° ．
【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
13．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为 6 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的边数是：360÷60＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
14．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是： AC＝AD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案为：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）如果一个等腰三角形的一角为80°，那么它的顶角是 80°或20° ．
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出D到AB的距离是解题关键．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 7 ．
【分析】根据勾股定理求得AB＝3，由题意得，AE＝CE，则△ABE的周长等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，BA＝＝＝3，
由折叠过程可得，AE＝CE，
则△ABE的周长等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5+4＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含条件．
18．（3分）在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为 （﹣2，﹣3）、（4，3）、（4，﹣3） ．
【分析】在图形中画出点D的可能位置，结合直角坐标系，可得点D的坐标．
【解答】解：点D的可能位置如图所示：
，
则可得点D的坐标为：（﹣2，﹣3）、（4，3）、（4，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）、（4，3）、（4，﹣3）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是在表格中找到点D的可能位置，难度一般．
三、解答题（本题共46分，19题9分，20-21、23-24题各5分，22、25题各6分，26题5分）
19．（9分）计算：
（1）6x2•3xy；
（2）（3x+1）（x﹣2）；
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
【分析】（1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）6x2⋅3xy＝18x2⋅xy＝18x3y；
（2）（3x+1）（x﹣2）
＝3x（x﹣2）+（x﹣2）
＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2；
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2
＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2
＝2x2﹣3x．
【点评】本题主要考查了整式乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法和除法运算法则，准确计算．
20．（5分）已知：如图，AB平分∠CAD，∠C＝∠D．求证：AC＝AD．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（AAS），
∴AC＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（5分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
【分析】利用平方差公式变形后，整理后可将原式化简为4x﹣4，再代入x＝2即可求出结论．
【解答】解：原式＝x2﹣4+4x﹣x2
＝4x﹣4．
当x＝2时，
原式＝4×2﹣4＝8﹣4＝4．
【点评】本题考查了整式的化简求值，灵活运用平方差公式变形是解题的关键．
22．（6分）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE；
由②可得： CD＝CE ；
由③可知：OC＝OC；
∴ △OCD ≌ △OCE （依据： SSS ）．
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，则可根据“SSS”判断△OCD≌△OCE，于是得到∠COD＝∠COE．
【解答】解：（1）如图，OC为所作；
（2）由①可得：OD＝OE；
由②可得：CD＝CE；
由③可知：OC＝OC；
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为CD＝CE；△OCD，△OCE，SSS．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
23．（5分）如图，D是AC的中点，ED⊥AC，∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
【分析】先证明△ADE≌△CDE（SAS），得到AE＝CE，即△CAE是等腰三角形，进而得到∠ACE＝∠CAE，根据∠ACE＝∠B+∠BAC即可求解．
【解答】解：∵ED⊥AC，
∴∠ADE＝∠CDE＝90°，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠CAE＝∠ACE＝∠B+∠BAC＝50°+21°＝71°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
24．（5分）阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9
∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为 ﹣20 ．
（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）将a2﹣a﹣10＝0变形为a2＝a+10，再将2（a+4）（a﹣5）利用多项式乘以多项式运算展开，然后将a2＝a+10代入降次化简即可．
（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2＝1﹣4x，然后利用提取公因式法对2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1变形，并将x2＝1﹣4x代入化简即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2＝a+10，
∴2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2（a+10﹣a﹣20）
＝2×（﹣10）
＝﹣20，
故答案为：﹣20．
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1
＝2x2×（﹣1）﹣8x+1
＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1
＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1．
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解在简算中的应用及多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解及整式乘法运算的法则并具有整体思想是解题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．证明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
【分析】（1）由HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可得出结论；
（2）由HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC＝AE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB；
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵CF＝BE，
∴AB＝AC+EB＝AF+2EB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．（5分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 （0，3） ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作EG⊥y轴于G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）如图①，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝3，
∴点B（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）AM＝2CD，
如图②，延长AB，CD交于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝2CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图③，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×AO×BO，
∴S△PBC：S△AOB＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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