2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
5．（2分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
6．（2分）如果点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
7．（2分）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 ．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 ．
13．（2分）如图所示，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠ACB＝ ．
14．（2分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．（精确到1米）
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： ．
16．（2分）某快餐店的价目表如下：
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要 元．
三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
（2）写出该函数顶点坐标 ．
（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．DE，
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△AEB≌△ADC；
（3）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个负数根，求m的取值范围．
22．（5分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠CAO＝∠BCD；
（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．
23．（5分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．
24．（6分）如图，当∠ACB＝90°时，求作直线l上一点P，使∠APB＝45°．小高的做法为：
①作出△ABC的外接圆，圆心为M；
②作出线段AB的垂直平分线l1，l1与的交点为O；
③以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与直线l交点就是使∠APB＝45°的点P．
老师说小高的做法是正确的．
根据小高设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，
∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，
∴∠ACB＝∠ ＝90°，
∵是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB（ ），（填写推理的依据）
∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴对于⊙O，AB＝AB，
∴（ ）．（填写推理依据）
25．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
②判断该运动员第一次发球能否过网 （填“能”或“不能”）．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过（3，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0．
①直接写出x1和x2的数量关系；
②求a的取值范围．
27．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，则称点Q′为点Q关于线段AB的“旋平点”．
（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0），Q（1，2），如果Q′（a，b）为点Q关于线段AB的“旋平点”，画出示意图，写出a的取值范围；
（2）如图2，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，求m的取值范围．
2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称的定义得出结论即可．
【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
2．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角，
∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（2分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：36﹣12k＞0且k≠0，
∴k≠0且k＜3，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．（2分）如果点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据M，N两点到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点M（﹣2，y1），N（2，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，且1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
7．（2分）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致；
都过点（0，c），正确；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致；
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．
【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，4） ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，4）．
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
10．（2分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣2x﹣1 ．
【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 1 ．
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 16 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DE＝CD，
∵AB＝20，
∴OC＝AB＝10，
在Rt△COE中，OE＝6，
∴CE＝＝＝8，
∴CD＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13．（2分）如图所示，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠ACB＝ 130° ．
【分析】本题考查了圆周角定理，作出圆周角同时结合圆内接四边形的性质解题．
【解答】解：作圆周角∠ADB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠D＝∠AOB＝×100°＝50°，
在圆内接四边形ACBD中，
∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查了圆周角定理，作出辅助线是解题的关键．
14．（2分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 米．（精确到1米）
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y＝8，
把y＝8代入y＝﹣x2+10得：
x＝±4，
∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）．
【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： 将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位 ．
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，
故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位
【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16．（2分）某快餐店的价目表如下：
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要 300 元．
【分析】买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可．
【解答】解：A套餐便宜21+9﹣28＝2（元），
B套餐便宜21+12﹣30＝3（元），
C套餐便宜21+9+12﹣38＝4（元），
方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡，
总共花：5×38+1×30+4×21＝304（元），
方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水，
总共花：5×28+5×30+12＝302（元），
方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐，
总共花：1×38+5×30+28×4＝300（元），
即最低需要300元，
故答案为300．
【点评】本题考查分类讨论思想，解本题的关键要弄清楚有多少种方案较省钱，找出值最少的即可．
三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
方程有两个不相等的实数根＝，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
18．（3分）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入x2+2ax+a2＝3得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝3，然后解此一元二次方程即可．
【解答】解：a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a，
∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，
∴1+2a+a2＝3．
∴a2+2a＝2．
∴原式＝2（a2+2a）＝4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
（2）写出该函数顶点坐标 （2，﹣1） ．
（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．
【分析】（1）求出x＝3，x＝4时y的对应值即可；
（2）根据函数图象可直接得出结论；
（3）根据函数图象可直接得出结论．
【解答】解：（1）当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝9﹣12+3＝0；
当x＝4时，y＝42﹣4×4+3＝16﹣16+3＝3．
函数图象如图．
故答案为：0，3；
（2）由函数图象可知，该函数顶点坐标（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）；
（3）由函数图象可知，当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．DE，
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△AEB≌△ADC；
（3）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据SAS证明三角形全等即可；
（3）利用全等三角形的性质解决问题．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS）；
（3）解：∵△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC＝105°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AED＝105°﹣60°＝45°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个负数根，求m的取值范围．
【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝（m﹣4）2，利用非负数的性质得Δ≥0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（m﹣3）＝（m﹣4）2．
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0，
可得（x﹣1）（x﹣m+3）＝0，
解得x1＝1，x2＝m﹣3，
若方程有一个根为负数，则m﹣3＜0，
故m＜3．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．
22．（5分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠CAO＝∠BCD；
（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证．
（2）根据垂径定理求出CE＝4，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣3，根据勾股定理及圆的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴＝，
∴∠CAO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，
∵AB⊥CD，CD＝8，
∴CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2，
∴R2＝（R﹣3）2+42，
解得R＝，
∴⊙O的直径为．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（5分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令y1＝0，得到x2+2x﹣3＝0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）观察图象可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：
∴抛物线的解析式为y1＝x2+2x﹣3；
（2）令y1＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解这个方程，得x1＝﹣3，x2＝1，
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）；
（3）观察图象可知，当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法比较两个函数值的大小，属于中考常考题型．
24．（6分）如图，当∠ACB＝90°时，求作直线l上一点P，使∠APB＝45°．小高的做法为：
①作出△ABC的外接圆，圆心为M；
②作出线段AB的垂直平分线l1，l1与的交点为O；
③以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与直线l交点就是使∠APB＝45°的点P．
老师说小高的做法是正确的．
根据小高设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，
∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，
∴∠ACB＝∠ AOB ＝90°，
∵是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ），（填写推理的依据）
∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴对于⊙O，AB＝AB，
∴（ 同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半 ）．（填写推理依据）
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）连接OA，OB，
∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，，
∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴对于⊙O，AB＝AB，
∴（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半）．（填写推理依据）
故答案为：∠AOB，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
②判断该运动员第一次发球能否过网 能 （填“能”或“不能”）．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把（0，2.48）代入解析式求出a即可•；
②当x＝9时求出y的值与2.24比较即可；
（2）令y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88中的y＝0，解方程求出x的值与18比较即可．
【解答】解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.8），
设 y＝a（x﹣4）2+2.8（a＜0），
把（0，2.48）代入得 16a+2.8＝2.48，
解得：a＝﹣0.02，
∴所求函数关系为 y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.8；
②能．
当x＝9时，y＝﹣0.02（9﹣4）2+2.8＝2.3＞2.24，
∴该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
（2）判断：没有出界．
第二次发球：y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88，
令 y＝0，则﹣0.02（x﹣4）2+2.88＝0，
，解得 x1＝﹣8 （舍），x2＝16，
∵x2＝16＜18，
∴该运动员此次发球没有出界．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过（3，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0．
①直接写出x1和x2的数量关系；
②求a的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；
（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；
（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x2﹣5）≤0，判断出x1≤﹣3或0≤x1≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x1，再分两种情况解不等式（组），即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），
∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
抛物线和x轴的一个交点为：（3，0），则另外一个交点为：（﹣1，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴c＝﹣3a；
（3）①∵点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），
∴点M，N关于对称轴x＝1对称，
∴＝1，
即x1+x2＝2；
②由①知，x2＝2﹣x1，
∵x1（x2﹣5）≤0，
∴x1（2﹣x1﹣5）≤0，
∴﹣x1（x1+3）≤0，
∴x1（x1+3）≥0，
∴x1≤﹣3或x1≥0，
∵x1＜x2，
∴x1＜1，
∴x1≤﹣3或0≤x1＜1，
∴x1、x2是方程ax2﹣2ax+c＝3的根，即ax2﹣2ax﹣3a﹣3＝0的两个根，
∴Δ＝16a2+12a＝4a（4a+3）＞0，
∴a＞0或a＜﹣，
∴x＝＝，
当a＞0时，解不等式≤﹣3得，0≤a≤；
即0＜a≤；
当a＜﹣时，解不等式组0≤＜1得，a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜﹣，
即0＜a≤或﹣1≤a＜﹣．
【点评】此题主要考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线的对称轴公式，抛物线的性质，确定出点M，N关于对称轴对称是解本题的关键．
27．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可知AB＝AC＝AD，再等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE＝AM，∠BAE＝∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC＝AD，AM⊥CD可知CM＝DM．再根据三角形内角和定理可得出结论．
【解答】解：（1）∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB＝AC＝AD．
∴△ABD中，∠ADB＝（180°﹣60°﹣80°）＝20°，
△ACD中，∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BDC＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30°．
（2）如图2，过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMC＝90°．
在△AEB与△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM．
∴∠EAM＝∠EAC+∠CAM＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM＝AM＝AE．
∵AC＝AD，AM⊥CD，
∴CM＝DM．
又∵∠DEC＝90°，
∴EM＝CM＝DM．
∴AM＝CM＝DM．
∴∠ACM＝∠CAM，∠ADM＝∠DAM，
∴△ACD中，α＝∠CAD＝×180°＝90°．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质的运用，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，则称点Q′为点Q关于线段AB的“旋平点”．
（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0），Q（1，2），如果Q′（a，b）为点Q关于线段AB的“旋平点”，画出示意图，写出a的取值范围；
（2）如图2，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，求m的取值范围．
【分析】（1）由题知，当点P在（0，0）时a最小值，当点P在（2，0）时，a有最大值，按题中定义解题即可．
（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，由AB长求出弦心距长，在求出OP长，分两种情况求出点Q′坐标即可．
【解答】解：（1）如图，当MN一端与A重合时，中点P与O重合，
连接OP，将OQ绕点O顺时针旋转180°得到点Q′，
由中心对称得点Q′坐标（﹣1，﹣2），
当MN一端与B重合时，中点P在（2，0）上，
连接PQ，将PQ绕点P顺时针旋转180°得到点Q′，
由中心对称得点Q′坐标（3，﹣2），
∴﹣1≤a≤3，
（2）∵点Q在x轴上，
∴当点P也在x轴上时，点Q′的横坐标有最值，
如图，作弦心距OM，
∴BM＝AM＝×4＝2，
∵⊙O半径3，
∴OM＝＝，
∵PM＝1，
∴OP＝＝，
当点P在x轴负半轴时，PQ＝+1，
∴QQ′＝2PQ＝2+2，
∵1﹣（2+2）＝﹣2﹣1，
∴Q′（﹣2﹣1，0）；
当点P在x轴正半轴时，
PQ＝﹣1，
∴QQ′＝2PQ＝2﹣2，
∵1+（2﹣2）＝2﹣1，
∴Q′（2﹣1，0），
∴﹣2﹣1≤m≤2﹣1．
【点评】本题考查了圆的性质的综合应用，对新定义的理解及对称性质的应用是解题关键．
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汉堡（个）
21元
薯条（份）
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汽水（杯）
12元
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28元
1个汉堡+1杯汽水（B套餐）
30元
1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）
38元
x
…
0
1
2
3
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…
y
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0
﹣1


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水平距离x/m
0
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4
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竖直高度y/m
2.48
2.72
2.8
2.72
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菜品
价格
汉堡（个）
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