2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
2．（2分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（2分）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．B．
C．y＝（x+3）2﹣2D．
5．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（ ）
A．2：1B．1：3C．1：2D．3：1
6．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A，B，则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点在第四象限
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线的开口向上
D．点B在抛物线对称轴的左侧
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
10．（2分）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BF的长为 ．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x经过点（﹣1，y1），（4，y2），则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
13．（2分）如图，在△ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE∥BC，如果，那么＝ ．
14．（2分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ．
15．（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
16．（2分）同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线 ．
三、解答题（本题共12小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD＝2．求证：△BCD∽△ACB．
19．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，求这个函数的表达式．
20．（5分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．（要求：不写作法与证明）
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
22．（5分）如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．
（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有 个，分别是 ；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．
24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；
（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m（结果保留小数点后一位）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3B．1、2、3、4C．1、2、2、4D．3、5、9、13
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4＝2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据黄金分割点的定义，求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴，
∴，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
4．（2分）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．B．
C．y＝（x+3）2﹣2D．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（2分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（ ）
A．2：1B．1：3C．1：2D．3：1
【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，AB＝CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝CD，
∴＝＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
6．（2分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，
∴其相似比为2：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A，B，则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点在第四象限
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线的开口向上
D．点B在抛物线对称轴的左侧
【分析】由于抛物线y＝ax2﹣2ax的常数项为0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线x＝﹣＝1，可知抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax，
∴x＝0时，y＝0，
∴图象经过原点，
又∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．
即A、B、C正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，正确得出图象的对称轴是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝x2+2 ．
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
10．（2分）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BF的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD，计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，BD＝，
则BF＝BD+DF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣3）2﹣4 ．
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4；
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握配方法是关键．
12．（2分）已知抛物线y＝x2﹣2x经过点（﹣1，y1），（4，y2），则y1 ＜ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】求出y1、y2的值即可判断．
【解答】解：x＝﹣1时，y1＝3，
x＝4时，y2＝8，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式，属于中考常考题型．
13．（2分）如图，在△ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE∥BC，如果，那么＝ ．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质结合，即可求出的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据找出的值是解题的关键．
14．（2分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解为 x1＝﹣1，x2＝5 ．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），根据方程﹣x2+bx+c＝0的解即为y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的交点即为所求．
【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是求出抛物线与x轴的交点．
15．（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 4 cm．
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（2分）同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线 m2，m4 ．
【分析】由已知求得顶点坐标为（1，1﹣a），再结合a＜0，即可确定坐标轴的位置．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a），
∵a＜0，
∴抛物线与m5的交点为顶点，
∴m4为y轴，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1与y轴的交点为（0，1），且1﹣a＞1，
∴m2为x轴，
故答案为：m2，m4．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键．
三、解答题（本题共12小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
【分析】（1）化成顶点式，即可得出答案；
（2）把y＝0代入函数解析式求出x，即可求出答案；
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）；
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或﹣3，
即函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点以及函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此时的关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD＝2．求证：△BCD∽△ACB．
【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】证明：∵BC＝4，AC＝8，CD＝2，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；
19．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，求这个函数的表达式．
【分析】设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a，从而得到二次函数的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
20．（5分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．（要求：不写作法与证明）
【分析】（1）根据勾股定理分别求出△ABC与△DEF各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断；
（2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解．
【解答】解：（1）∴△ABC和△DEF相似，理由如下：
由勾股定理可得：AB＝，
AC＝，
BC＝＝5，
DF＝，
DE＝，
FE＝，
∴，
∴△ABC和△DEF相似；
（2）如图所示，△P2P4P5即为所求．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，1），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+1，然后把点（0，0）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据y＝﹣3时x的值，再结合函数图象得出y＜﹣3时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0）
抛物线的图象如图所示：
（3）当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
22．（5分）如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．
（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有 3 个，分别是 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF ；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF均与Rt△BCP相似；
（2）Rt△BCP∽Rt△EPB．利用“两角法”证得结论即可．
【解答】解：（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有 3个，分别是 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
故答案是：3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
（2）答案不唯一，如：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP+∠PBC＝∠C＝90°．
∵∠PBC+∠BPC＝90°，
∴∠ABP＝∠BPC．
又∵∠BPE＝∠C＝90°，
∴Rt△BCP∽Rt△EPB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质．相似三角形的判定方法：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．
【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明△DAF∽△AEB，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝∠DAB＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠B＝90°，
∴△DAF∽△AEB，
∴，
∴＝，
∴DF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）该生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，
解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∵7.5＞6.70，
∴该生在此项考试中是得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；
（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是 抛物线 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 14.5 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 高 （填写“高”或“低”）约 2.8 m（结果保留小数点后一位）．
【分析】（1）用光滑曲线将各个点连接起来即可；
（2）观察图象可得出，曲线可看作抛物线的一部分，结合图象，可得出抛物线的解析式，即可得出甲运动员何时达到最高点；
（3）在（2）的基础上，可得出甲的最高点，再比较即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分，
设该抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，
将（0，54），（10.57.8），（50，33）代入，得，
解得．
∴y＝﹣0.02x2+0.58x+54．
当x＝﹣＝14.5时，y最大，
∴当水平距离为14.5m时，取最高；
故答案为：抛物线；14.5；
（3）甲最高为y＝＝58.205（m），
∴61﹣58.205＝2.795≈2.8（m），
故答案为：高；2.8．
【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A即可直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，即可求点B的坐标；
（3）根据点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A，
∴A的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵；
∴B（2，﹣3）．
（3）当抛物线过点P（4，0）时，，
∵．
∴．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点时，a＝1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴．
∵Δ＝4a2+12a＞0
∴a＞0或a＜﹣3，
当抛物线开口向下时，
a＜﹣3．
综上所述，当或a＜﹣3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是结合图象解答．
27．（7分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ACD＝∠EBC，可证明△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，证明△CAE≌△ADF（AAS），由全等三角形的性质可得出CE＝AF＝，则可得出答案；
（3）过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，证明△BFE∽△MED，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 1 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；
（3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①无上确界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上确界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
综上所述：a的值为2.4．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
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