中职数学4.3 任意角的三角函数精品教学设计

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4.3 任意角的三角函数
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
3 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课借助直角三角形中定义的锐角三角函数，在角的概念推广的基础上进行推广，在平面直角坐标系中定义三角函数，并借助单位圆加深对任意角三角函数的定义的理解，学习根据任意角三角函数的定义判断
角的三角函数值的符号．
教学目标
在锐角三角函数定义的基础上理解任意角三角函数的定义，知道角α 的三角函数值与在角 α 终边上点的选取无关，能根据角的终边上除原点外的任意一点的坐标求出这个角的正弦值、余弦值和正切值，逐步提升数学抽象和数学运算等核心素养；学会利用任意角三角函数的定义推断三角函数值在各象限的符号，能通过角为第几象限角，判断给定角的正弦值、余弦值和正切值的符号，也可以由三角函数的符号判断角的终边所在的位置，逐步提升数学运算和逻辑推理等核心素养；能熟记 0 到π 之间的特殊角的正弦值、余弦值和正切值，逐步提升数学运算等核心素养；能根据任意角的三角函数的定义推导出角的终边与单位圆的交点坐标，反之，由角的终边与单位圆的交点坐标，也能得到角的正弦值与
余弦值，逐步提升逻辑推理和数学运算等核心素养．
教学
重点
任意角三角函数的定义及应用．
教学难点
任意角三角函数的定义的理解；角 α 的三角函数值与在角 α 终边上
点的选取无关；各象限的角的三角函数值的符号的推断．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
三角函数是基本初等函数之一，在研究三角形、圆和其他多边形等几何图形的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的数学工具，在导航、工程学以及物理学等方面都有广泛的应
用.
讲解介绍
倾听思考
介绍知识背景
情境导入
4.3.1 任意角的三角函数定义
在义务教育阶段，我们学习了锐角三角函
数.
sin A  角A的对边  BC ，
斜边AB
cs A  角A的邻边  AC ，
斜边AB
tan A  角A的对边  BC .
角A的邻边AC
角的概念推广之后, 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？
引导
提问
启发
指导
回忆
思考
作答
交流
借助原有为新知学习知识做好铺垫， 体会从特殊到一般的思想方法
探索新知
设角 α 为平面直角坐标系 Oxy 中的任意一个角, 在其终边上任取与原点 O 不重合的一点P(x,y) , 则
|OM|＝ |x|,|MP|＝ |y|． 点 P 到原点 O 的距离
OP ＝r＝ x 2  y 2 r＞0  .
由相似三角形的性质可知：比值 y x y
、 、
rrx
(x≠0)，只依赖于角 α 的大小, 与点 P 在角 α 终边上的位置无关.因此，对任意角 α，有如下定义：
y 称为角 α 的正弦，记作 sinα，即sin ＝ y ，
rr
讲解
说明
介绍
观察
思考
理解
将锐角三角形中的三条边与点的坐标对应起来，帮助学生更加直观认识问题
感受发现的乐趣
x 称为角 α 的余弦，记作 csα，即cs＝ x ，
rr
y 称为角 α 的正切，记作 tanα，即tan＝ y
x
(x≠0)．
x引导思考
可以看出，对于每一个确定的角 α，都有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应，即：sinα 与csα 是以角 α 为自变量的函数，分别称为正弦函数与余弦函数，它们的定义域都是 R．
当   +kk  Z 时，点 P 的横坐标 x=0，
2
这时 tanα 没有意义．除此之外，对于每一个确定的角 α，都有唯一确定的正切值与之对应，因此 tanα 也是以角 α 为自变量的函数，称为正切

函数，其定义域为  

 +kk  Z ．

2
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．
例 1 已知角 α 的终边经过点 P(−4,3) , 求角 α提问思考的正弦、余弦和正切．
解 因为 x＝−4，y＝3，所以引导分析
r＝ (−4)2+32 ＝5．
直接利用定义求三角函数值
由三角函数的定义，得
y讲解解决
加强对
y3
例题sinα＝ r ＝ 5，
辨析 x4
P(−4，3)
3
2强调交流
1
定义的理解
x
−1
−2
−3
csα＝ r ＝−5，
y3−4O
tanα＝ x ＝−4．
例 2 求终边在射线 y=2x(x≥0)上的角的正弦、
余弦和正切.
解在射线 y=2x(x≥0)上取点 P(1，2)，则 x=1， 提问思考
示例求特殊角三角函数提升直观想
y=2，
r = 12  22  5 ． 所 以 sin  = y = 2 = 2 5 ，
r55
cs = x = 1 = 5 ，
r55
tan  = y = 2 =2 .
x1
温馨提示
由三角函数的定义可知, 角 α 的三角函数值只与这个角有关, 与点 P 在角 终边上的位置无关．
因此, 点 P 的坐标的选取应尽量使计算简便．
探究与发现
设角 α 为第四象限角，其终边上的一个点
是 P x,  5  ，且cs = 2 x ，试求 sinα 和 tanα
4
的值．
引导
讲解
强调
说明
强调
引发思考
分析
解决
交流
理解
体会
讨论交流
象核心素养
理解三角函数是以实数为自变量的函数
巩固练习
练习 4.3.1
已知角 α 终边上的点 P 的坐标如下, 分别求出角 α 的正弦、余弦和正切.
(1)(4,3)；(2) (2,0) ；(3) (0,1) ；
(4)(−12,5) ；(5) (1,−2).
已知角 α 的终边经过点(a,−1) ，且
tan  =  1 ，求 a 的值．
2
已知角 α 为第二象限角, 其终边上一点 P
的横坐标
为−8,|OP|＝10. 求角 α 的正弦、余弦和正切值．
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
4.已知角 α 的终边在射线 y= −3x(x≥0)上,
求角的正弦、余弦和正切.
引入
4.3.2 单位圆与三角函数
半径为 1 的圆称为单位圆．在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心，1 为半径的圆就是单位圆．单位圆广泛应用于三角函数，对正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及三角函数图像的绘制都有极为重要的作用．
讲解
倾听
为新知学习做铺垫
在单位圆上, 角的终边与单位圆的交点 P
的坐标可以用角的三角函数表示吗？
结合单
提问
思考
位圆与
三角函
情境导入
启发
作答
数引发
学生思
考
引导
交流
角的终边与单位圆相交于点 P(x,y), 则
r=|OP|=1, 由正弦函数和余弦函数的定义, 得
sinα = y  y  y ，csα＝ x  x  x ．
r1r1
由此可知，角的终边与单位圆的交点 P
的坐标可以表示为(sin,cs).
一般地, 角 α 的终边与单位圆的交点为
P(x,y), 那么
讲解
理解
发现规
律体会
数形结
说明
记忆
合思想
方法
新知探索
启发
体会
提
csα=x，sinα=y， tanα= y  x  0.
x
根据点 P 的横坐标 x 和纵坐标 y 的符号，我们可以确定当角 α 的终边在不同的象限时， sinα，csα 与 tanα 的符号．
探究与发现
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 .
60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 .
120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表
示为 .
结合坐
标轴记
示
思考
忆和总
结更加
生动提
总结
升直观
规律
想象核
心素养
引发
交流
思考
讨论
例 3 求 90°角的正弦、余弦和正切.
提问
思考
数形结
解90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为
合加深
(0,1) ，
体会利
所以 sin90°=1，cs90°=0，tan90°不存在.
引导
解决
用单位
例题辨析
讲解
交流
圆求界限角的三角函数
适时总结加深
温馨提示
认识
0°角、180°角、270°角和 360°角的正弦、余弦和
提示
填写
正切值.
总结
表格
例 4判断下列各三角函数值的符号. (1)sin(－325°)；(2)cs 3 ；
5
(3)tan4252°；(4)sin 19 ．
6
解(1)因为－325°＝35°－360°，所以－325°角是第一象限角，故 sin(－325°)＞0；
(2) 因为 3 弧度的角是第二象限角,所以
5
cs 3 ＜0；
5
(3) 因为 4252° ＝ 292° ＋ 11×360° ，所以
4252°角是第四象限角，因此 tan4252°＜0；
(4) 因为 ＝  ＋2π，所以 弧度的角
666
是第三象限角，故 sin  ＜0．
6
例 5已知 cs＞0,且 tan＜0,试确定角是第几象限角．
解因为 cs＞0, 所以角可能是第一或第四象限角, 也可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为 tan＜0，所以角可能是第二或第四象限角．
故满足 cs＞0 且 tan＜0 的角是第四象限角．
探究与发现

利用单位圆求弧度的角的正弦、余弦和
3
正切值．
示例如
提问
思考
何确定
已知角
的三角
引导
分析
函数值
的符号
讲解
解决
强调
交流
逆向思
维问题
提问
思考
培养学
生逻辑
引导
分析
推理能
力
讲解
解决
强调
交流
引发
尝试
思考
解决
巩固
练习 4.3.2
练习
判断下列三角函数值的符号：
(1) sin156°；(2) cs  ；(3) cs
5
（−440°）；
(4) tan    ；(5)sin2；
8 

(6)tan556°．
计算：
(1) 7cs270°+12sin0°+2tan0°−8cs180°；
(2) 5cs180°−3sin90°+2tan0°−6sin270°；
(3) cs  −tan0+  tan²π−sin  +csπ．
232
求下列各角的正弦、余弦和正切值．
(1)  ；(2) −  ．
64
已知 sinθ＜0 且 tanθ＜0,试确定角 θ 是第
几象限角．
提问
思考
通过练
习及时
掌握学
生情况
查漏补
缺
巡视
动手
求解
指导
交流
引导
回忆
培养学
归纳
生总结
总结
提问
反思
学习过
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探
布置作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回
顾;
究
延伸学
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
习