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中职高教版(2021·十四五)4.3 任意角的三角函数试讲课练习题习题课件ppt
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4.3 任意角的三角函数
三角函数是基本初等函数之一,在研究三角形、圆和其他多边 形等几何图形的性质时有重要作用.它也是研究周期性现象的数学工具,在导航、工程学以及物理学等方面都有广泛的应用.
4.3.1 任意角的三角函数定义
角的概念推广之后,任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢?
正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数.
例1 已知角 α 的终边经过点P(-4,3) , 求角α的正弦、余弦和正切.
例2 求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切.
由三角函数的定义可知,角α的三角函数值只与这个角有关,与点P在角 终边上的位置无关. 因此,点P的坐标的选取应尽量使计算简便.
1.已知角α终边上的点P的坐标如下, 分别求出角α的正弦、余弦和正切. (1)(4,3); (2)(2,0) ; (3)(0,1) ; (4)(−12,5) ; (5)(1,−2).
3.已知角α为第二象限角,其终边上一点P的横坐标为−8, |OP|=10.求角α的正弦、余弦和正切值.
4.已知角α的终边在射线 y=−3x(x≥0)上,求角的正弦、余弦和正切.
4.3.2 单位圆与三角函数
半径为1的圆称为单位圆. 在平面直角坐标系中,以原点O为圆心, 1为半径的圆就是单位圆.
单位圆广泛应用于三角函数,对正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及三角函数图像 的绘制都有极其重要的作用.
在单位圆上,角的终边与单位圆的交点P的坐标可以用角的三角函数表示吗?
角的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(cs , sin) .
根据点P的横坐标x和纵坐标 y 的符号,可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα,csα与tanα的符号.
例3 求90°角的正弦、余弦和正切.
解 90°角的终边与单位圆的交点坐标为(0,1),所以 sin90°=1, cs90°=0, tan90°不存在.
0°角、 90°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值表.
(3)因为4252°=292°+11×360°,所以4252°角是第四象限角,因此tan4252°<0;
例6 已知cs>0,且tan <0,试确定角是第几象限角.
又因为tan<0,所以角可能是第二或第四象限角. 故满足cs>0且tan<0的角是第四象限角.
解 因为cs >0, 所以角 可能是第一或第四象限角,也可能终边在 x 轴的正半轴上.
4. 已知sinθ<0且tanθ<0,试确定角θ是第几象限角.
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