中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册1.1 集合及其表示优质课教学设计

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1.1 集合及其表示
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
3 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课以学生学过的教学内容为载体，通过学生熟悉的情境和问题引入集合的概念及有关概念；体会集合及相关概念的抽象过程，学习
用数学语言表示集合，并判断元素与集合之间的关系.
教学目标
通过从具体问题中抽象出元素与集合等相关概念，能举例说明什么是集合，什么是集合的元素，能判断给定对象是否组成集合，知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合，知道常用数集的表示符号, 逐步提升数学抽象等核心素养；能判断给定元素与集合之间的关系，并能用“”或“”表示，逐步提升逻辑推理等核
心素养.
教学
重点
元素与集合之间的关系；集合的描述法.
教学
难点
空集的理解；用描述法表示集合．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
义务教育阶段，我们已经学习过一些集合，如正整数的集合、实数的集合、所有正方形的集合．为了更有效地使用集合语言，我
们需要进一步学习集合的有关知识.
介绍讲解
倾听领会
引出新知
情境导入
1.1.1 集合的概念
中国古代四大发明是：造纸术、印刷术、指南针和火药.四大发明可以组成一个集合.
图书馆里，为便于查找，会按照某种方式将同一类的书刊摆放在一起. 比如，可以所有数学书籍放在一起组成数学书籍专区， 专区内所有数学书就可以组成一个集合.
数学中也常常会根据需要将一些需要研
究的对象放在一起．比如，平面上到原点 O
引导学生联系原有知识思考
回忆
思考
分析
以原有知识和生活经验创设情境，引发学生思考.
的距离等于 1 的所有点也可以组成一个集合. 可见，人们常会将一些研究对象组成一
个整体，并且用集合这个词表示这个整体. 那么，具有什么特征的整体可以组成一
个集合呢？
启发
引导
一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素.
集合常用大写英文字母表示．如，集合A，集合 B，集合 C，…．；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…．
在上面例子中，造纸术、印刷术、指南针和火药都是四大发明组成的集合的元素；数学专区中的每本书都是这个集合的元素；已
知的圆上所有的点都是这个圆的元素.
讲解
理解
归纳概念
突出强调
说明
记忆
符号规范
表述
探索新知
举例
思考
例 1 判断下列对象能否组成集合？
提问
思考
回顾初中
(1)小于 6 的所有自然数；
知识帮助
(2)方程 x2+3x−4=0 的所有实数解；
理解集合
(3)所有的平行四边形；
引导
分析
概念逐步
(4)某班级中所有高个子同学．
提升数学
解(1)因为小于 6 的自然数包括 0，1，2，
抽象素养
例题辨析
3，4，5 这五个数，它们是确定的对象，所以
它们可以组成集合；
讲解
解决
(2)因为方程 x2+3x−4=0 的实数解是−4 和
1，它们是确定的对象，所以可以组成集合；
强调
交流
(3)因为平行四边形的特征是确定的，因
此满足此特征的对象是确定的，所以可以组
成集合；
(4)因为高个子没有具体标准，对象不是
确定的，所以不能组成集合．
新知探索
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A, 记作 a∈A, 读作“a 属于 A”.如果 a 不是集合A 的元素,就说 a 不属于 A，记作 aA,读作“a 不属于 A”.
温馨提示
组成集合的对象必须是确定的；同一个集合的元素必须是互补相同的．
讲解说明
理解记忆
加深认识元素与集合关系
例 2 方程 x2=4 的所有实数解组成的集合为
提问
思考
加深对符
A，则
引导
解决
号的认识
-2 A，5 A（用符号“∈ ”或“”填
讲解
交流
例题辨析
空）．
解因为(-2)²=4,所以-2 是方程 x2=4 的解,故
-2∈A．
因为 5²≠4,所以 5 不是方程 x2=4 的解，故
5A．
含有有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称为空集，记作 ，空集
也是有限集.
含有无限个元素的集合称为无限集. 由数组成的集合称为数集.
例如，例 1(1)和(2)，小于 6 的所有自然数组成的集合和方程 x2+3x−4=0 的所有实数解组成的集合都是有限集.
又例如，例 1(3)所有的平行四边形组成的集合，不等式 x−3<0 的所有解组成的集合都是无限集.
数学中一些常用数集及其记法：
讲解
理解
认识
集合
说明
记忆
类型
举例
思考
强调
新知
探索
特殊集合
的内
涵和
说明
记忆
表示
方法
练习 1.1.1
1.下列各语句中的对象能否组成集合？ 如果能组成集合,写出它的元素.如果不能组成集合, 请说明理由．
某校汉字录入速度快的学生；
某校汉字录入速度为 90 字符/min 及以上的所有学生；
(3)方程(2x-3)(x+1)=0 的所有实数解；
大于-5 且小于 5 的整数；
大于 3 且小于 1 的所有实数;
非常接近 0 的数. 2．用符号“”或“”填空．
(1) 1 N； 0.5 N； 0 N*；
(2) 2 Z；0 Z；
1Z；
4
(3) 3Q； 2Q；
3
π Q；
(4)  5 R；π R；
3
3 R．
3．判断下列集合是有限集还是无限集． (1)你所在班级的所有同学组成的集合； (2)方程 x+2=0 的所有正整数解组成的集
合；
小于 3 的所有整数组成的集合；
数轴上表示大于 0 且小于 1 的所有点
提问
思考
通过练习
及时掌握
学生的知
识掌握情
况，查漏
补缺
巡视
动手
求解
巩固
练习
指导
交流
组成的集合．
情境导入
1.1.2 集合的表示法
小于 6 的正整数组成一个集合, 大于 3 的实数也组成一个集合.那么, 除了用这种自然语言表示集合, 还可以如何表示集合呢？
质疑
思考
引出新知
1.列举法
把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法．
小于 6 的正整数组成集合如何用列举法表示？
四大发明组成的集合如何用列举法表示？
太阳系八大行星组成的集合如何用列举法表示？
由“study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？
集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合
么？
讲解
理解
结合实例
学习列举
说明
记忆
法的表达
方式和要
举例
思考
点
新知探索
例 3 用列举法表示下列集合.
提问
思考
巩固列举
(1)中国古典长篇小说四大名著组成的集
法表示集
合；
引导
分析
合的基本
(2) 大于-3 且小于10 的所有偶数组成的
方法
例题
辨析
集合．
讲解
解决
解 (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集
合用列举法表示为｛《水浒传》,《三国演义》,
强调
交流
《西游记》,《红楼梦》｝
(2)大于-3 且小于 10 的所有偶数为-
2,0,2,4,6,8 它们组成的集合用列举法表示为
{-2,0,2,4,6,8}.
2.描述法
比 3 大的实数组成的集合能用列举法表
质疑
思考
引出新知
示出来么？
情境
导入
这个集合具有特征性质：元素都是实数
并且元素都比 3 大，所以可以利用元素具有
的特征或者性质来表示这个集合： {x ∈
R|x>3}.
新知探索
利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法．
描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质．
约定：如果集合的元素是实数，那么“∈
R”可略去不写，例如,{x∈R|x>3}可以简写为
{x|x>3}.
讲解
说明
理解
记忆
学习描述法表达方式和要点
例 4 用描述法表示下列集合：
小于 1 的所有整数组成的集合；
所有偶数组成的集合；
在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合.
分析 (1)中元素的取值范围是整数,元素的特征性质是小于 1；(2)中元素的特征性质可以写成 2k (k∈Z)的形式；(3)中元素是平面直角
坐标系中的点，用有序实数对(x,y)表示,特征
提问
思考
领会描述
法的基本
使用方式
例题
辨析
引导
分析
并强调表
达方式的
规范性.
讲解
解决
性质是横、纵坐标(即 x,y)均为正数.
解(1)小于 1 的所有整数组成的集合为{x∈
Z| x<1}．
所有偶数组成的集合为{x| x=2k, x∈ Z},也可以表示为{偶数}；这个集合也可以表示为{偶数}．
第一象限内的所有点组成的集合为
{(x,y) | x>0,y>0}．
例 5用写出不等式 2x+1>9 的解集.
解 由不等式 2x+1>9 , 得 2x>8 , 故 x>4 ． 因此不等式 2x+1>9 的解集可以用描述法表示为{x|x>4} .
例 6分别用列举法和描述法表示方程 x²-
9=0 的解集.
解解方程 x²-9=0,得 x1=-3, x2=3.故方程的解组成的集合用列举法表示为{-3，3}，用描
述法表示为{x|x=-3 或 x=3}.
强调
交流
对比两种方式强调具体问题具体分析
温馨提示
有些集合只能用列举法或描述法表示, 有些集合两种方法都适用,要根据需要具体
问题进行具体分析.
练习 1.1.2
1. 用列举法表示下列集合：
提问
思考
通过练习
(1)大于-5 且小于 9 的所有奇数组成的集合；
及时掌握
巩固练习
(2)方程 x²-2x-3=0 的解集.
2. 用描述法表示下列集合．
巡视
动手
学生的知
识掌握情
(1)大于-1 且小于 3 的所有实数组成的集合；
求解
况，查漏
(2)平方等于 9 的所有实数组成的集合．
补缺
3.用适当的方法表示下列集合
方程组2x  y  5 的解集;
 x  y  1

平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的集合．
指导
交流
归纳总结
引导
提问
回忆
反思
培养学生总结学习过程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探究
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习
延伸学习
作业
与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.