48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷

这是一份48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷，共41页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数﹣的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．﹣D．
2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．等腰三角形
C．圆D．菱形
3．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
4．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m≥﹣C．m≥D．m≤﹣
5．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．（﹣3）﹣2＝B．（a+b）2＝a2+b2
C．＝±3D．（﹣x2y）3＝x6y3
6．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0D．x2﹣6x﹣10＝0
7．（3分）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（3分）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．5km/hB．6km/hC．7km/hD．8km/h
9．（3分）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．（9，4）B．（4，9）C．（1，）D．（1，）
10．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．B．6C．D．12
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
①＞0；
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）我国疆域辽阔，其中领水面积约为370000km2，把370000这个数用科学记数法表示为 ．
14．（3分）分解因式：2mx2﹣8my2＝ ．
15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝ °．
16．（3分）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
17．（3分）化简：÷（x﹣）＝ ．
18．（3分）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
19．（3分）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ．
20．（3分）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ ．
21．（3分）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．
22．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 cm．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）已知：△ABC．
（1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是 cm2．
24．（7分）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是 ，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
25．（9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 ．
26．（10分）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为+1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
27．（10分）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）．
28．（11分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP＝tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）实数﹣的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．﹣D．
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：D．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．等腰三角形
C．圆D．菱形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有2个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键．
4．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m≥﹣C．m≥D．m≤﹣
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，
解得：m≥，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．（﹣3）﹣2＝B．（a+b）2＝a2+b2
C．＝±3D．（﹣x2y）3＝x6y3
【分析】利用负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根的定义，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：（﹣3）﹣2＝，则A符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则B不符合题意；
＝3，则C不符合题意；
（﹣x2y）3＝﹣x6y3，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0D．x2﹣6x﹣10＝0
【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题．
【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
由题知，
，，
所以b＝﹣7a，c＝10a，
所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0，
则x2﹣7x+10＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．（3分）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
【点评】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
8．（3分）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．5km/hB．6km/hC．7km/hD．8km/h
【分析】设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，
根据题意得：＝，
解得：x＝8，
∴江水的流速为8km/h．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．（9，4）B．（4，9）C．（1，）D．（1，）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2），
∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3×，2×），即（1，），
故选：D．
【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【分析】选项A根据中点四边形的定义以及矩形的判定方法解答即可；选项B根据垂径定理判断即可；选项C根据中心投影的定义判断即可；选项D根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理判断即可．
【解答】解：A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，顺次连接菱形各边中点一定能得到一个矩形，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，说法正确，故本选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，中心投影、矩形的判定，垂径定理以及中点四边形，掌握相关定义与定理是解答本题的关键．
11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．B．6C．D．12
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积＝AE•BC＝BD×AC＝OB•AC，
∴AE＝＝＝，
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
①＞0；
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0．
又抛物线交y轴正半轴，
∴当x＝0时，y＝c＞0．
∴＜0，故①错误．
由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，
∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．
∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．
∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．
由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
又b＝2a，
∴3a+c＜0＜1，故③正确．
由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣2＞﹣3，故④错误．
综上，正确的有②③共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）我国疆域辽阔，其中领水面积约为370000km2，把370000这个数用科学记数法表示为 3.7×105 ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：370000＝3.7×105，
故答案为：3.7×105．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
14．（3分）分解因式：2mx2﹣8my2＝ 2m（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提取公因式再运用公式法进行因式分解即可得出答案．
【解答】解：原式＝2m（x2﹣4y2）
＝2m（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2m（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题主要考查提取公因式与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝ 66 °．
【分析】先根据OC＝OE，∠C＝33°得∠E＝∠C＝33°，再根据三角形外角定理得∠DOE＝66°，然后根据平行线的性质可得∠A的度数．
【解答】解：∵OC＝OE，∠C＝33°，
∴∠E＝∠C＝33°，
∴∠DOE＝∠E+∠C＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DOE＝66°，
故答案为：66．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
16．（3分）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为 （50+50） m（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50m，
∴CD＝AD•tan60°＝50（m），
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD•tan45°＝50（m），
∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，
∴这栋楼的高度为（50+50）m，
故答案为：（50+50）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（3分）化简：÷（x﹣）＝ ．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（3分）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝7π（cm），
故圆锥的底面半径为7π÷2π＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
19．（3分）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ﹣15 ．
【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），
∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，
∴EF＝BC＝OA＝7，
∴OE＝17+7＝24，
∵BE∥DG，
∴△ODG∽△OBE，
∵OD：OB＝1：4，
∴＝，
∴，
∴DG＝，OG＝6，
∴D（﹣，6），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键．
20．（3分）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ 80° ．
【分析】作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME＝MP，∠MPO＝∠OEM；作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN＝FN，∠OPN＝∠OFN；根据PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度．
【解答】解：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；
∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP，
作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，
∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，
∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，
当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，
∠AOB＝∠MOP+∠PON，
∴∠EOF＝2∠AOB，
又∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°，
∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°，
∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°，
∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠MPO+∠OPN＝80°，
∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．
21．（3分）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 （） ．
【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（1，﹣），
点A2的坐标为（3，﹣），
点A3的坐标为（4，0），
点A4的坐标为（6，0），
点A5的坐标为（7，），
点A6的坐标为（9，），
点A7的坐标为（10，0），
点A8的坐标为（11，），
点A9的坐标为（13，），
点A10的坐标为（14，0），
点A11的坐标为（16，0），
点A12的坐标为（17，），
点A13的坐标为（19，），
点A14的坐标为（20，0），
…，
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现，
又因为2024÷7＝289余1，
所以1+289×10＝2891，
则点A2024的坐标为（2891，）．
故答案为：（2891，）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键．
22．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 或或 cm．
【分析】分四种情况讨论：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，证得△DEF∽△DBA，即可求出EF的值；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，证得△AEM∽△ACD，即可求出EM的值；如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，证得△END∽△BAD，即可求出EN的值；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，证得△AHE∽△ADC，即可求出EH的值；从而得出答案．
【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD，
∵AB＝4cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得cm，
∴BD＝cm，
∵∠EFD＝∠BAD＝90°，∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∴，
∴EF＝cm；
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，
∴AE＝6cm，
∵∠AME＝∠ADC＝90°，∠EAM＝∠CAD，
∴△AEM∽△ACD，
∴，
∴
∴EM＝cm；
如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，
∴∠END＝∠BAD＝90°，
∴∠EDN＝∠BDA，
∴△END∽△BAD，
∴，
∴，
∴EN＝cm；
如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，
∴∠AHE＝∠ADC＝90°，
∴∠EAH＝∠CAD，
∴△AHE∽△ADC，
∴，
∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，
∴AE＝10cm，
∴，
∴EH＝cm；
综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是cm或cm或cm，
故答案为：或或．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）已知：△ABC．
（1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是 15 cm2．
【分析】（1）根据三角形的重心是三角形三条中线的交点即可解决问题．
（2）根据三角形重心的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）分别作出AB边和BC边的垂直平分线，与AB和BC边分别交于点N和点M，
连接AM和CN，
如图所示，点G即为所求作的点．
（2）∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2MG，
∵△ABG的面积等于5cm2，
∴△BMG的面积等于2.5cm2，
∴△ABM的面积等于7.5cm2．
又∵AM是△ABC的中线，
∴△ABC的面积等于15cm2．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及作图—复杂图形，熟知三角形重心的定义及性质是解题的关键．
24．（7分）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 60 人；
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是 30% ，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得参加本次问卷调查的学生人数．
（2）求出A组的学生人数，用A组的学生人数除以参加本次问卷调查的学生人数再乘以100%可得A组所占的百分比，最后补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的2个社团恰好是B和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参加本次问卷调查的学生共有12÷20%＝60（人）．
故答案为：60．
（2）A组的人数为60﹣20﹣10﹣12＝18（人），
∴在扇形统计图中，A组所占的百分比是18÷60×100%＝30%．
故答案为：30%．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2个社团恰好是B和C的结果有：（B，C），（C，B），共2种，
∴选中的2个社团恰好是B和C的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
25．（9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择 B 种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值 5或40 ．
【分析】（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车（200﹣m）辆，根据题意得出m的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解；
（3）①根据函数图象，即可求解；
②分别求得y1，y2的函数解析式，根据|y2﹣y1|＝4，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，
由题意得，，
解得：，
答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元．
（2）设购买A种电动车m辆，则购买8种电动车（200﹣m）辆，
m（200﹣m），
解得：m≤，
设所需购买总费用为w元，
则w＝1000m+3500（200﹣m）＝﹣2500m+700000，
∵﹣2500＜0，
∴w随着m的增大而减小，
∵m取正整数，
∴m＝66时，w最少，
∴w最少＝700000﹣2500x66＝535000（元），
答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．
（3）①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，
∴所用时间＝26（分钟），
根据函数图象可得当x＞20时，y2＜y1更省钱，
∴小刘选择B种电动车更省钱，
故答案为：B．
②设y1＝k1x，
将（20，8）代入得，
8＝20k1，
解得：k1＝，
∴y1＝x，
当0＜x≤10时，y2＝6，
当x＞10时，设y2＝k2x+b2，
将（10，6）、（20，8）代入得，
，
解得：，
∴y2＝x+4，
依题意，当0＜x＜10时，y2﹣y1＝4，
即6﹣x＝4，
解得：x＝5，
当x＞10时，|y2﹣y1|＝4，
即|x+4﹣x|＝4，
解得：x＝0（舍去） 或x＝40，
故答案为：5或40．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．
26．（10分）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为+1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
【分析】（1）连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，由正方形性质得∠BAC＝∠DAC＝45°，再由角平分线性质得OC＝OE，即可证明；
（2）设AE＝OE＝OC＝OF＝R，表示出OA和OC，再列出关于R的方程，解方程即可解答；
（3）连接FN，ON，设CM＝k，由已知利用k表示出出相关线段，再根据勾股定理表示出MN＝2k，CN＝k，利用CF长求出k，即可求出CN．
【解答】（1）证明：如图，
连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴OE＝OG，
∵OE 为⊙O的半径，
∴OG为⊙O的半径，
∵OG⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：如图，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∴由（1）可知 AE＝OE，
设AE＝OE＝OC＝OF＝R，
在Rt△AEO中，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴AO2＝R2+R2，
∵R＞0，
∴，
又∵正方形ABCD的边长为+1，
在Rt△ADC中，
∴，
∵OA+OC＝AC，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为 ；
（3）解：如图，
连接FN，ON，
设CM＝k，
∵CM：FM＝1：4，
∴CF＝5k，
∴OC＝ON＝2.5k，
∴OM＝OC﹣CM＝1.5k，
在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN＝2k，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆的综合应用，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．
27．（10分）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 2+或2﹣ （结果保留根号）．
【分析】（1）证明△AFH∽△BGF，可得AH•BG＝AF•BF，求出，可得，故，＝2，从而y与x的函数关系式为；
（2）求出CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，可得＝＝＝，将xy＝2代入得＝，而1＜x＜2，1＜y＜2，知x+y＞2，故GH＝x+y﹣2，可得△CHG 的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；
（3）分两种情况：①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，求出∠AHF＝75°，可得∠NMH＝30°，设NH＝k，则MH＝MF＝2k，从而FN＝MF+MN＝（2+）k，；②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，同理可得GN＝GM+MN＝（2+）k，．
【解答】解：（1）如图：
∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且 AC＝BC＝DF＝DE＝2cm，
∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，
∴∠AFH+∠BFG＝∠BFG+∠FGB＝135°，
∴∠AFH＝∠FGB，
∴△AFH∽△BGF，
∴，
∴AH•BG＝AF•BF，
在 Rt△ACB 中，AC＝BC＝2，
∴，
∵O是AB的中点，点O与点F重合，
∴，
∴，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
（2）△CGH的周长定值为2，理由如下：
∵AC＝BC＝2，AH＝x，BG＝y，
∴CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，
在Rt△HCG 中，
∴＝＝＝，
将（1）中xy＝2代入得：＝，
∵1＜x＜2，y＝，
∴1＜y＜2，
∴x+y＞2，
∴GH＝x+y﹣2，
∴△CHG 的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；
（3）①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，如图：
∵∠AFE＝60°，∠A＝45°，
∴∠AHF＝75°，
∴FM＝MH，
∵∠FNH＝90°，
∴∠NFH＝15°，
∵FM＝MH，
∴∠NFH＝∠MHF＝15°，
∴∠NMH＝30°，
在 Rt△MNH中，设NH＝k，
∴MH＝MF＝2k，
∴MN＝＝k，
∴FN＝MF+MN＝（2+）k，
在Rt△FNH中，
；
②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，
∴∠FGB＝∠AFE﹣∠B＝15°，
∵GM＝MF，
∴∠FGB＝∠GFM＝15°，
∴∠FMB＝30°，
在 Rt△FNM中，设FN＝k，
∴GM＝MF＝2k，
由勾股定理得MN＝＝k，
∴GN＝GM+MN＝（2+）k，
在 Rt△FNG 中，
，
综上所述，tan 或 ，
故答案为：2+或2﹣．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
28．（11分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP＝tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，由题意得tan∠BCP＝tan∠ACB＝×＝×＝，由＝tan∠BCP＝，可得BM＝BC＝×4＝2，即|yM﹣1|＝2，得出M1（0，3），M2（0，﹣1），利用待定系数法可得：直线CM1的解析式为y＝﹣x+3，直线CM2的解析式为y＝x﹣1，分别与抛物线联立求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为y′＝﹣x2+5，联立求得D（1，4），由题意设E（2，t），F（m，n），又B（0，1），根据菱形的性质分三种情况：当BD、EF为对角线时，当BE、DF为对角线时，当BF、DE为对角线时，分别根据对角线互相平分，邻边相等建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B（0，1），
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝﹣x2+4x+1，
解得：x1＝0（舍去），x2＝4，
∴C（4，1），
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A（3，4），
∴Q（3，1），
∵tan∠BCP＝tan∠ACB，
∴tan∠BCP＝×＝×＝，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴＝tan∠BCP＝，
∴BM＝BC＝×4＝2，
∴|yM﹣1|＝2，
∴yM＝3或﹣1，
∴M1（0，3），M2（0，﹣1），
∴直线CM1的解析式为y＝﹣x+3，直线CM2的解析式为y＝x﹣1，
由，解得，（舍去），
由，解得，（舍去），
∴P1（，），P2（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（﹣，﹣）；
（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，
∴y′＝﹣x2+5，
联立得，
解得：，
∴D（1，4），
又B（0，1），
设E（2，t），F（m，n），
当BD、EF为对角线时，
则，
解得：，
∴F（﹣1，3）；
当BE、DF为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；
当BF、DE为对角线时，
则，
解得：或，
∴F（3，4﹣）或F（3，4+）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4﹣）或（3，4+）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，解直角三角形的应用，菱形性质，第（3）问要分类讨论，避免漏解．
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