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    48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷
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    48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷

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    这是一份48-2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷,共41页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)实数﹣的相反数是( )
    A.2025B.﹣2025C.﹣D.
    2.(3分)下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
    A.平行四边形B.等腰三角形
    C.圆D.菱形
    3.(3分)某几何体是由完全相同的小正方体组合而成,如图是这个几何体的三视图,那么构成这个几何体的小正方体的个数是( )
    A.5个B.6个C.7个D.8个
    4.(3分)若式子有意义,则m的取值范围是( )
    A.m≤B.m≥﹣C.m≥D.m≤﹣
    5.(3分)下列计算中,结果正确的是( )
    A.(﹣3)﹣2=B.(a+b)2=a2+b2
    C.=±3D.(﹣x2y)3=x6y3
    6.(3分)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5.则原来的方程是( )
    A.x2+6x+5=0B.x2﹣7x+10=0
    C.x2﹣5x+2=0D.x2﹣6x﹣10=0
    7.(3分)某品牌女运动鞋专卖店,老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表:
    如果每双鞋的利润相同,你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的( )
    A.平均数B.中位数C.众数D.方差
    8.(3分)一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,则江水的流速为( )
    A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h
    9.(3分)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
    A.(9,4)B.(4,9)C.(1,)D.(1,)
    10.(3分)下列叙述正确的是( )
    A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
    B.平分弦的直径垂直于弦
    C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
    D.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等
    11.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
    A.B.6C.D.12
    12.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,则下列结论中:
    ①>0;
    ②am2+bm≤a﹣b(m为任意实数);
    ③3a+c<1;
    ④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤﹣3.
    其中正确的结论有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    二、填空题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
    13.(3分)我国疆域辽阔,其中领水面积约为370000km2,把370000这个数用科学记数法表示为 .
    14.(3分)分解因式:2mx2﹣8my2= .
    15.(3分)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A= °.
    16.(3分)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度为 m(结果保留根号).
    17.(3分)化简:÷(x﹣)= .
    18.(3分)用一个圆心角为126°,半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
    19.(3分)如图,已知点A(﹣7,0),B(x,10),C(﹣17,y),在平行四边形ABCO中,它的对角线OB与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点D,且OD:OB=1:4,则k= .
    20.(3分)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,则∠MPN= .
    21.(3分)如图,已知A1(1,﹣),A2(3,﹣),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,),A6(9,),A7(10,0),A8(11,﹣)…,依此规律,则点A2024的坐标为 .
    22.(3分)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,则点E到矩形对角线所在直线的距离是 cm.
    三、解答题(本题共6个小题,共54分)
    23.(7分)已知:△ABC.
    (1)尺规作图:画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
    (2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5cm2,则△ABC的面积是 cm2.
    24.(7分)为了落实国家“双减”政策,某中学在课后服务时间里,开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况,该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查,每人必须选择一项社团活动(且只能选择一项).根据调查结果,绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息,解答下列问题:
    (1)参加本次问卷调查的学生共有 人;
    (2)在扇形统计图中,A组所占的百分比是 ,并补全条形统计图.
    (3)端午节前夕,学校计划进行课后服务成果展示,准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示,请用树状图法或列表法,求选中的2个社团恰好是B和C的概率.
    25.(9分)为了响应国家提倡的“节能环保”号召,某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车.若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆,需投入资金30.5万元;若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆,需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.
    (1)求A、B两种电动车的单价分别是多少元?
    (2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A、B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元?
    (3)该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为y1;B种电动车支付费用是10min之内,起步价6元,对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题.
    ①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其它因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8km,那么小刘选择 种电动车更省钱(填写A或B).
    ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时,x的值 .
    26.(10分)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的⊙O与AD相切于点E,与AC相交于点F.(1)求证:AB与⊙O相切;
    (2)若正方形ABCD的边长为+1,求⊙O的半径;
    (3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN⊥OC交于点N.当CM:FM=1:4时,求CN的长.
    27.(10分)综合与实践
    问题情境
    在一次综合与实践课上,老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.
    下面是创新小组的探究过程.
    操作发现
    (1)如图1,取AB的中点O,将两张纸片放置在同一平面内,使点O与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时,设AH=x(1<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系式,并写出解答过程.
    问题解决
    (2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值,并说明理由.
    拓展延伸
    (3)如图3,当点F在AB边上运动(不包括端点A、B),且始终保持∠AFE=60°.请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 (结果保留根号).
    28.(11分)综合与探究
    如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线相交于A,B两点,其中点A(3,4),B(0,1).
    (1)求该抛物线的函数解析式;
    (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C.连接AC,在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB.若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:依题意补全图形,并解答)
    (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点E为原抛物线对称轴上的一点,F是平面直角坐标系内的一点,当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F的坐标.
    2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、单项选择题(本题共12个小题,每小题3分,共36分)
    1.(3分)实数﹣的相反数是( )
    A.2025B.﹣2025C.﹣D.
    【分析】符号不同,并且绝对值相等的两个数互为相反数,据此即可求得答案.
    【解答】解:﹣的相反数是,
    故选:D.
    【点评】本题考查相反数,熟练掌握其定义是解题的关键.
    2.(3分)下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
    A.平行四边形B.等腰三角形
    C.圆D.菱形
    【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.
    【解答】解:A.平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    B.等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,故此选项符合题意;
    C.圆既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    D.菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    故选:B.
    【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
    3.(3分)某几何体是由完全相同的小正方体组合而成,如图是这个几何体的三视图,那么构成这个几何体的小正方体的个数是( )
    A.5个B.6个C.7个D.8个
    【分析】根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2层3列,故可得出该几何体的小正方体的个数.
    【解答】解:综合三视图,我们可得出,这个几何体的底层应该有3个小正方体,第二层应该有2个小正方体,
    因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+2=5.
    故选:A.
    【点评】本题考查了由三视图判断几何体,掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”是关键.
    4.(3分)若式子有意义,则m的取值范围是( )
    A.m≤B.m≥﹣C.m≥D.m≤﹣
    【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.
    【解答】解:由题意得:2m﹣3≥0,
    解得:m≥,
    故选:C.
    【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
    5.(3分)下列计算中,结果正确的是( )
    A.(﹣3)﹣2=B.(a+b)2=a2+b2
    C.=±3D.(﹣x2y)3=x6y3
    【分析】利用负整数指数幂,完全平方公式,算术平方根的定义,幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
    【解答】解:(﹣3)﹣2=,则A符合题意;
    (a+b)2=a2+2ab+b2,则B不符合题意;
    =3,则C不符合题意;
    (﹣x2y)3=﹣x6y3,则D不符合题意;
    故选:A.
    【点评】本题考查负整数指数幂,完全平方公式,算术平方根,幂的乘方与积的乘方,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
    6.(3分)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5.则原来的方程是( )
    A.x2+6x+5=0B.x2﹣7x+10=0
    C.x2﹣5x+2=0D.x2﹣6x﹣10=0
    【分析】设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),再利用根与系数的关系得出关于a,b及a,c之间的关系式即可解决问题.
    【解答】解:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),
    由题知,
    ,,
    所以b=﹣7a,c=10a,
    所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a=0,
    则x2﹣7x+10=0.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解,熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
    7.(3分)某品牌女运动鞋专卖店,老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表:
    如果每双鞋的利润相同,你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的( )
    A.平均数B.中位数C.众数D.方差
    【分析】根据题意,联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码,则考虑该店主最应关注的销售数据是众数.
    【解答】解:因为众数是在一组数据中出现次数最多的数,又根据题意,每双鞋的销售利润相同,鞋店为销售额考虑,应关注卖出最多的鞋子的尺码,这样可以确定进货的数量,所以该店主最应关注的销售数据是众数.
    故选:C.
    【点评】本题主要考查数据的收集和处理.解题关键是熟悉统计数据的意义,并结合实际情况进行分析.根据众数是在一组数据中出现次数最多的数,再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码,则考虑该店主最应关注的销售数据是众数.
    8.(3分)一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,则江水的流速为( )
    A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h
    【分析】设江水的流速为x km/h,则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h,沿江逆流航行的速度为(40﹣x)km/h,利用时间=路程÷速度,结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,即可得出结论.
    【解答】解:设江水的流速为x km/h,则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h,沿江逆流航行的速度为(40﹣x)km/h,
    根据题意得:=,
    解得:x=8,
    ∴江水的流速为8km/h.
    故选:D.
    【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
    9.(3分)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
    A.(9,4)B.(4,9)C.(1,)D.(1,)
    【分析】根据位似变换的性质解答即可.
    【解答】解:∵以原点O为位似中心,将矩形OABC按相似比缩小,点B的坐标为(3,2),
    ∴顶点B在第一象限对应点的坐标为(3×,2×),即(1,),
    故选:D.
    【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
    10.(3分)下列叙述正确的是( )
    A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
    B.平分弦的直径垂直于弦
    C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
    D.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等
    【分析】选项A根据中点四边形的定义以及矩形的判定方法解答即可;选项B根据垂径定理判断即可;选项C根据中心投影的定义判断即可;选项D根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理判断即可.
    【解答】解:A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形,顺次连接菱形各边中点一定能得到一个矩形,原说法错误,故本选项不符合题意;
    B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,原说法错误,故本选项不符合题意;
    C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影,说法正确,故本选项符合题意;
    D.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等,原说法错误,故本选项不符合题意.
    故选:C.
    【点评】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距四者关系,中心投影、矩形的判定,垂径定理以及中点四边形,掌握相关定义与定理是解答本题的关键.
    11.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
    A.B.6C.D.12
    【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC=6,再由菱形的面积求出AE即可.
    【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,
    ∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,
    ∴∠BOC=90°,
    在Rt△OBC中,由勾股定理得:OC===3,
    ∴AC=2OC=6,
    ∵菱形ABCD的面积=AE•BC=BD×AC=OB•AC,
    ∴AE===,
    故选:A.
    【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.
    12.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,则下列结论中:
    ①>0;
    ②am2+bm≤a﹣b(m为任意实数);
    ③3a+c<1;
    ④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤﹣3.
    其中正确的结论有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【分析】依据题意,由抛物线图象与性质,即可逐个判断得解.
    【解答】解:由题意,∵抛物线开口向下,
    ∴a<0.
    又抛物线的对称轴是直线x=﹣=﹣1,
    ∴b=2a<0.
    又抛物线交y轴正半轴,
    ∴当x=0时,y=c>0.
    ∴<0,故①错误.
    由题意,当x=﹣1时,y取最大值为y=a﹣b+c,
    ∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c.
    ∴对于任意实数m,当x=m时,y=am2+bm+c≤a﹣b+c.
    ∴am2+bm≤a﹣b,故②正确.
    由图象可得,当x=1时,y=a+b+c<0,
    又b=2a,
    ∴3a+c<0<1,故③正确.
    由题意∵抛物线为y=ax2+bx+c,
    ∴x1+x2=﹣=﹣=﹣2>﹣3,故④错误.
    综上,正确的有②③共2个.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
    二、填空题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
    13.(3分)我国疆域辽阔,其中领水面积约为370000km2,把370000这个数用科学记数法表示为 3.7×105 .
    【分析】将一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可求得答案.
    【解答】解:370000=3.7×105,
    故答案为:3.7×105.
    【点评】本题考查科学记数法表示较大的数,熟练掌握其定义是解题的关键.
    14.(3分)分解因式:2mx2﹣8my2= 2m(x+2y)(x﹣2y) .
    【分析】先提取公因式再运用公式法进行因式分解即可得出答案.
    【解答】解:原式=2m(x2﹣4y2)
    =2m(x+2y)(x﹣2y).
    故答案为:2m(x+2y)(x﹣2y).
    【点评】本题主要考查提取公因式与公式法的综合应用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
    15.(3分)如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A= 66 °.
    【分析】先根据OC=OE,∠C=33°得∠E=∠C=33°,再根据三角形外角定理得∠DOE=66°,然后根据平行线的性质可得∠A的度数.
    【解答】解:∵OC=OE,∠C=33°,
    ∴∠E=∠C=33°,
    ∴∠DOE=∠E+∠C=66°,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠A=∠DOE=66°,
    故答案为:66.
    【点评】此题主要考查了三角形的外角性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,准确识图,熟练掌握三角形的外角性质,等腰三角形的性质,平行线的性质是解决问题的关键.
    16.(3分)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度为 (50+50) m(结果保留根号).
    【分析】根据题意可得:AD⊥BC,然后分别在Rt△ACD和Rt△ABD中,利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长,从而利用线段和差关系进行计算,即可解答.
    【解答】解:由题意得:AD⊥BC,
    在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AD=50m,
    ∴CD=AD•tan60°=50(m),
    在Rt△ABD中,∠BAD=45°,
    ∴BD=AD•tan45°=50(m),
    ∴BC=BD+CD=(50+50)m,
    ∴这栋楼的高度为(50+50)m,
    故答案为:(50+50).
    【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
    17.(3分)化简:÷(x﹣)= .
    【分析】先算括号内的减法,把除法变成乘法,再根据分式的乘法法则进行计算即可.
    【解答】解:原式=÷
    =•
    =,
    故答案为:.
    【点评】本题考查了分式的混合运算,能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.
    18.(3分)用一个圆心角为126°,半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
    【分析】易得扇形的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径.
    【解答】解:扇形的弧长==7π(cm),
    故圆锥的底面半径为7π÷2π=(cm).
    故答案为:.
    【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
    19.(3分)如图,已知点A(﹣7,0),B(x,10),C(﹣17,y),在平行四边形ABCO中,它的对角线OB与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点D,且OD:OB=1:4,则k= ﹣15 .
    【分析】作BE⊥x轴,DG⊥x轴,根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值.
    【解答】解:如图,作BE⊥x轴,DG⊥x轴,垂足分别为E、G,
    ∵点A(﹣7,0),B(x,10),C(﹣17,y),
    ∴BE=10,OF=17,OA=7,
    ∴EF=BC=OA=7,
    ∴OE=17+7=24,
    ∵BE∥DG,
    ∴△ODG∽△OBE,
    ∵OD:OB=1:4,
    ∴=,
    ∴,
    ∴DG=,OG=6,
    ∴D(﹣,6),
    ∵点D在反比例函数图象上,
    ∴k=﹣=﹣15.
    故答案为:﹣15.
    【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质,熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键.
    20.(3分)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,则∠MPN= 80° .
    【分析】作P点关于OB的对称点E,连接EP,EO,EM,得ME=MP,∠MPO=∠OEM;作P点关于OA的对称点F,连接NF,PF,OF,得PN=FN,∠OPN=∠OFN;根据PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF;E,M,N,F共线时,△PMN周长最短,再根据对称性质,即可求出∠MPN的角度.
    【解答】解:作P点关于OB的对称点E,连接EP,EO,EM;
    ∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP,
    作P点关于OA的对称点F,连接NF,PF,OF,
    ∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,
    ∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
    当E,M,N,F共线时,△PMN周长最短,
    又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,
    ∠AOB=∠MOP+∠PON,
    ∴∠EOF=2∠AOB,
    又∵∠AOB=50°,
    ∴∠EOF=100°,
    ∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
    ∴∠OEM+∠OFN=180°﹣100°=80°,
    ∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
    ∴∠MPO+∠OPN=80°,
    ∵∠MPN=∠MPO+OPN=80°,
    故答案为:80°.
    【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题,解题的关键是做出对称点,找到共线时路径最短,利用对称性质,对角等量代换.
    21.(3分)如图,已知A1(1,﹣),A2(3,﹣),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,),A6(9,),A7(10,0),A8(11,﹣)…,依此规律,则点A2024的坐标为 () .
    【分析】观察所给图形及点的坐标,发现横纵坐标的变化规律即可解决问题.
    【解答】解:由题知,
    点A1的坐标为(1,﹣),
    点A2的坐标为(3,﹣),
    点A3的坐标为(4,0),
    点A4的坐标为(6,0),
    点A5的坐标为(7,),
    点A6的坐标为(9,),
    点A7的坐标为(10,0),
    点A8的坐标为(11,),
    点A9的坐标为(13,),
    点A10的坐标为(14,0),
    点A11的坐标为(16,0),
    点A12的坐标为(17,),
    点A13的坐标为(19,),
    点A14的坐标为(20,0),
    …,
    由此可见,每隔七个点,点An的横坐标增加10,且纵坐标按循环出现,
    又因为2024÷7=289余1,
    所以1+289×10=2891,
    则点A2024的坐标为(2891,).
    故答案为:(2891,).
    【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律,能通过计算发现每隔七个点,点An的横坐标增加10,且纵坐标按循环出现是解题的关键.
    22.(3分)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,则点E到矩形对角线所在直线的距离是 或或 cm.
    【分析】分四种情况讨论:如图1,过点E作EF⊥BD于点F,证得△DEF∽△DBA,即可求出EF的值;如图2,过点E作EM⊥AC于点M,证得△AEM∽△ACD,即可求出EM的值;如图3,过点E作EN⊥BD的延长线于点N,证得△END∽△BAD,即可求出EN的值;如图4,过点E作EH⊥AC的延长线于点H,证得△AHE∽△ADC,即可求出EH的值;从而得出答案.
    【解答】解:如图1,过点E作EF⊥BD于点F,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,AC=BD,AD=BC,AB=CD,
    ∵AB=4cm,BC=8cm,
    ∴由勾股定理得cm,
    ∴BD=cm,
    ∵∠EFD=∠BAD=90°,∠EDF=∠BDA,
    ∴△DEF∽△DBA,
    ∴,
    ∴,
    ∴EF=cm;
    如图2,过点E作EM⊥AC于点M,
    ∵AD=BC=8cm,DE=2cm,
    ∴AE=6cm,
    ∵∠AME=∠ADC=90°,∠EAM=∠CAD,
    ∴△AEM∽△ACD,
    ∴,

    ∴EM=cm;
    如图3,过点E作EN⊥BD的延长线于点N,
    ∴∠END=∠BAD=90°,
    ∴∠EDN=∠BDA,
    ∴△END∽△BAD,
    ∴,
    ∴,
    ∴EN=cm;
    如图4,过点E作EH⊥AC的延长线于点H,
    ∴∠AHE=∠ADC=90°,
    ∴∠EAH=∠CAD,
    ∴△AHE∽△ADC,
    ∴,
    ∵AD=BC=8cm,DE=2cm,
    ∴AE=10cm,
    ∴,
    ∴EH=cm;
    综上,点E到矩形对角线所在直线的距离是cm或cm或cm,
    故答案为:或或.
    【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
    三、解答题(本题共6个小题,共54分)
    23.(7分)已知:△ABC.
    (1)尺规作图:画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
    (2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5cm2,则△ABC的面积是 15 cm2.
    【分析】(1)根据三角形的重心是三角形三条中线的交点即可解决问题.
    (2)根据三角形重心的性质即可解决问题.
    【解答】解:(1)分别作出AB边和BC边的垂直平分线,与AB和BC边分别交于点N和点M,
    连接AM和CN,
    如图所示,点G即为所求作的点.
    (2)∵点G是△ABC的重心,
    ∴AG=2MG,
    ∵△ABG的面积等于5cm2,
    ∴△BMG的面积等于2.5cm2,
    ∴△ABM的面积等于7.5cm2.
    又∵AM是△ABC的中线,
    ∴△ABC的面积等于15cm2.
    故答案为:15.
    【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及作图—复杂图形,熟知三角形重心的定义及性质是解题的关键.
    24.(7分)为了落实国家“双减”政策,某中学在课后服务时间里,开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况,该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查,每人必须选择一项社团活动(且只能选择一项).根据调查结果,绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息,解答下列问题:
    (1)参加本次问卷调查的学生共有 60 人;
    (2)在扇形统计图中,A组所占的百分比是 30% ,并补全条形统计图.
    (3)端午节前夕,学校计划进行课后服务成果展示,准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示,请用树状图法或列表法,求选中的2个社团恰好是B和C的概率.
    【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得参加本次问卷调查的学生人数.
    (2)求出A组的学生人数,用A组的学生人数除以参加本次问卷调查的学生人数再乘以100%可得A组所占的百分比,最后补全条形统计图即可.
    (3)列表可得出所有等可能的结果数以及选中的2个社团恰好是B和C的结果数,再利用概率公式可得出答案.
    【解答】解:(1)参加本次问卷调查的学生共有12÷20%=60(人).
    故答案为:60.
    (2)A组的人数为60﹣20﹣10﹣12=18(人),
    ∴在扇形统计图中,A组所占的百分比是18÷60×100%=30%.
    故答案为:30%.
    补全条形统计图如图所示.
    (3)列表如下:
    共有12种等可能的结果,其中选中的2个社团恰好是B和C的结果有:(B,C),(C,B),共2种,
    ∴选中的2个社团恰好是B和C的概率为=.
    【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图,能够读懂统计图,掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.
    25.(9分)为了响应国家提倡的“节能环保”号召,某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车.若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆,需投入资金30.5万元;若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆,需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.
    (1)求A、B两种电动车的单价分别是多少元?
    (2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A、B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元?
    (3)该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为y1;B种电动车支付费用是10min之内,起步价6元,对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题.
    ①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其它因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8km,那么小刘选择 B 种电动车更省钱(填写A或B).
    ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时,x的值 5或40 .
    【分析】(1)设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元,根据题意列二元一次方程组,解方程组,即可求解;
    (2)设购买A种电动车m辆,则购买B种电动车(200﹣m)辆,根据题意得出m的范围,进而根据一次函数的性质,即可求解;
    (3)①根据函数图象,即可求解;
    ②分别求得y1,y2的函数解析式,根据|y2﹣y1|=4,解方程,即可求解.
    【解答】解:(1)设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元,
    由题意得,,
    解得:,
    答:A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元.
    (2)设购买A种电动车m辆,则购买8种电动车(200﹣m)辆,
    m(200﹣m),
    解得:m≤,
    设所需购买总费用为w元,
    则w=1000m+3500(200﹣m)=﹣2500m+700000,
    ∵﹣2500<0,
    ∴w随着m的增大而减小,
    ∵m取正整数,
    ∴m=66时,w最少,
    ∴w最少=700000﹣2500x66=535000(元),
    答:当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少,最少费用为535000元.
    (3)①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min,小刘家到公司的距离为8km,
    ∴所用时间=26(分钟),
    根据函数图象可得当x>20时,y2<y1更省钱,
    ∴小刘选择B种电动车更省钱,
    故答案为:B.
    ②设y1=k1x,
    将(20,8)代入得,
    8=20k1,
    解得:k1=,
    ∴y1=x,
    当0<x≤10时,y2=6,
    当x>10时,设y2=k2x+b2,
    将(10,6)、(20,8)代入得,

    解得:,
    ∴y2=x+4,
    依题意,当0<x<10时,y2﹣y1=4,
    即6﹣x=4,
    解得:x=5,
    当x>10时,|y2﹣y1|=4,
    即|x+4﹣x|=4,
    解得:x=0(舍去) 或x=40,
    故答案为:5或40.
    【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,一次函数的应用,找到等量关系是解题的关键.
    26.(10分)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的⊙O与AD相切于点E,与AC相交于点F.(1)求证:AB与⊙O相切;
    (2)若正方形ABCD的边长为+1,求⊙O的半径;
    (3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN⊥OC交于点N.当CM:FM=1:4时,求CN的长.
    【分析】(1)连接OE,过点O作OG⊥AB于点G,由正方形性质得∠BAC=∠DAC=45°,再由角平分线性质得OC=OE,即可证明;
    (2)设AE=OE=OC=OF=R,表示出OA和OC,再列出关于R的方程,解方程即可解答;
    (3)连接FN,ON,设CM=k,由已知利用k表示出出相关线段,再根据勾股定理表示出MN=2k,CN=k,利用CF长求出k,即可求出CN.
    【解答】(1)证明:如图,
    连接OE,过点O作OG⊥AB于点G,
    ∵⊙O与AD相切于点E,
    ∴OE⊥AD,
    ∵四边形ABCD是正方形,AC是正方形的对角线,
    ∴∠BAC=∠DAC=45°,
    ∴OE=OG,
    ∵OE 为⊙O的半径,
    ∴OG为⊙O的半径,
    ∵OG⊥AB,
    ∴AB与⊙O相切;
    (2)解:如图,
    ∵AC为正方形ABCD的对角线,
    ∴∠DAC=45°,
    ∵⊙O与AD相切于点E,
    ∴∠AEO=90°,
    ∴由(1)可知 AE=OE,
    设AE=OE=OC=OF=R,
    在Rt△AEO中,
    ∵AE2+EO2=AO2,
    ∴AO2=R2+R2,
    ∵R>0,
    ∴,
    又∵正方形ABCD的边长为+1,
    在Rt△ADC中,
    ∴,
    ∵OA+OC=AC,
    ∴,
    ∴,
    ∴⊙O的半径为 ;
    (3)解:如图,
    连接FN,ON,
    设CM=k,
    ∵CM:FM=1:4,
    ∴CF=5k,
    ∴OC=ON=2.5k,
    ∴OM=OC﹣CM=1.5k,
    在Rt△OMN中,由勾股定理得:MN=2k,
    在Rt△CMN中,由勾股定理得:,
    又∵,
    ∴,
    ∴.
    【点评】本题考查了圆的综合应用,其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键.
    27.(10分)综合与实践
    问题情境
    在一次综合与实践课上,老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.
    下面是创新小组的探究过程.
    操作发现
    (1)如图1,取AB的中点O,将两张纸片放置在同一平面内,使点O与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时,设AH=x(1<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系式,并写出解答过程.
    问题解决
    (2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值,并说明理由.
    拓展延伸
    (3)如图3,当点F在AB边上运动(不包括端点A、B),且始终保持∠AFE=60°.请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 2+或2﹣ (结果保留根号).
    【分析】(1)证明△AFH∽△BGF,可得AH•BG=AF•BF,求出,可得,故,=2,从而y与x的函数关系式为;
    (2)求出CH=2﹣x,CG=2﹣y,可得===,将xy=2代入得=,而1<x<2,1<y<2,知x+y>2,故GH=x+y﹣2,可得△CHG 的周长=CH+CG+GH=2﹣x+2﹣y+x+y﹣2=2;
    (3)分两种情况:①过点F作 FN⊥AC于点N,作FH的垂直平分线交FN于点M,连接MH,求出∠AHF=75°,可得∠NMH=30°,设NH=k,则MH=MF=2k,从而FN=MF+MN=(2+)k,;②过点F作FN⊥BC于点N,作FG的垂直平分线交BG于点M,连接FM,同理可得GN=GM+MN=(2+)k,.
    【解答】解:(1)如图:
    ∵∠ACB=∠EDF=90°,且 AC=BC=DF=DE=2cm,
    ∴∠A=∠B=∠DFE=45°,
    ∴∠AFH+∠BFG=∠BFG+∠FGB=135°,
    ∴∠AFH=∠FGB,
    ∴△AFH∽△BGF,
    ∴,
    ∴AH•BG=AF•BF,
    在 Rt△ACB 中,AC=BC=2,
    ∴,
    ∵O是AB的中点,点O与点F重合,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴y与x的函数关系式为;
    (2)△CGH的周长定值为2,理由如下:
    ∵AC=BC=2,AH=x,BG=y,
    ∴CH=2﹣x,CG=2﹣y,
    在Rt△HCG 中,
    ∴===,
    将(1)中xy=2代入得:=,
    ∵1<x<2,y=,
    ∴1<y<2,
    ∴x+y>2,
    ∴GH=x+y﹣2,
    ∴△CHG 的周长=CH+CG+GH=2﹣x+2﹣y+x+y﹣2=2;
    (3)①过点F作 FN⊥AC于点N,作FH的垂直平分线交FN于点M,连接MH,如图:
    ∵∠AFE=60°,∠A=45°,
    ∴∠AHF=75°,
    ∴FM=MH,
    ∵∠FNH=90°,
    ∴∠NFH=15°,
    ∵FM=MH,
    ∴∠NFH=∠MHF=15°,
    ∴∠NMH=30°,
    在 Rt△MNH中,设NH=k,
    ∴MH=MF=2k,
    ∴MN==k,
    ∴FN=MF+MN=(2+)k,
    在Rt△FNH中,

    ②过点F作FN⊥BC于点N,作FG的垂直平分线交BG于点M,连接FM,
    ∵∠AFE=60°,∠B=45°,
    ∴∠FGB=∠AFE﹣∠B=15°,
    ∵GM=MF,
    ∴∠FGB=∠GFM=15°,
    ∴∠FMB=30°,
    在 Rt△FNM中,设FN=k,
    ∴GM=MF=2k,
    由勾股定理得MN==k,
    ∴GN=GM+MN=(2+)k,
    在 Rt△FNG 中,

    综上所述,tan 或 ,
    故答案为:2+或2﹣.
    【点评】本题考查几何变换综合应用,涉及相似三角形判定与性质,等腰直角三角形性质及应用,锐角三角函数,勾股定理及应用等知识,解题的关键是作辅助线,构造直角三角形解决问题.
    28.(11分)综合与探究
    如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线相交于A,B两点,其中点A(3,4),B(0,1).
    (1)求该抛物线的函数解析式;
    (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C.连接AC,在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB.若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:依题意补全图形,并解答)
    (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点E为原抛物线对称轴上的一点,F是平面直角坐标系内的一点,当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F的坐标.
    【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;
    (2)过点A作AQ⊥BC于Q,设直线CP交y轴于点M,由题意得tan∠BCP=tan∠ACB=×=×=,由=tan∠BCP=,可得BM=BC=×4=2,即|yM﹣1|=2,得出M1(0,3),M2(0,﹣1),利用待定系数法可得:直线CM1的解析式为y=﹣x+3,直线CM2的解析式为y=x﹣1,分别与抛物线联立求解即可;
    (3)先求得平移后的抛物线解析式为y′=﹣x2+5,联立求得D(1,4),由题意设E(2,t),F(m,n),又B(0,1),根据菱形的性质分三种情况:当BD、EF为对角线时,当BE、DF为对角线时,当BF、DE为对角线时,分别根据对角线互相平分,邻边相等建立方程组求解即可.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(3,4),B(0,1),
    ∴,
    解得:,
    ∴该抛物线的函数解析式为y=﹣x2+4x+1;
    (2)存在.理由如下:
    ∵BC∥x轴,且B(0,1),
    ∴点C的纵坐标为1,
    ∴1=﹣x2+4x+1,
    解得:x1=0(舍去),x2=4,
    ∴C(4,1),
    过点A作AQ⊥BC于Q,设直线CP交y轴于点M,如图,
    在Rt△ACQ中,∵A(3,4),
    ∴Q(3,1),
    ∵tan∠BCP=tan∠ACB,
    ∴tan∠BCP=×=×=,
    ∵BC=4,∠CBM=90°,
    ∴=tan∠BCP=,
    ∴BM=BC=×4=2,
    ∴|yM﹣1|=2,
    ∴yM=3或﹣1,
    ∴M1(0,3),M2(0,﹣1),
    ∴直线CM1的解析式为y=﹣x+3,直线CM2的解析式为y=x﹣1,
    由,解得,(舍去),
    由,解得,(舍去),
    ∴P1(,),P2(﹣,﹣),
    综上所述,满足条件的点P的坐标为P1(,),P2(﹣,﹣);
    (3)∵y=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
    ∴原抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5),
    ∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′,
    ∴y′=﹣x2+5,
    联立得,
    解得:,
    ∴D(1,4),
    又B(0,1),
    设E(2,t),F(m,n),
    当BD、EF为对角线时,
    则,
    解得:,
    ∴F(﹣1,3);
    当BE、DF为对角线时,
    则,
    解得:或,
    ∴F(1,4)与点D重合,不符合题意,舍去,或F(1,﹣2);
    当BF、DE为对角线时,
    则,
    解得:或,
    ∴F(3,4﹣)或F(3,4+);
    综上所述,点F的坐标为(﹣1,3)或(1,﹣2)或(3,4﹣)或(3,4+).
    【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的图象和性质,抛物线的平移,解直角三角形的应用,菱形性质,第(3)问要分类讨论,避免漏解.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/7/13 14:27:13;用户:陈莉;邮箱:badywgy52@xyh.cm;学号:39221433鞋码
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