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2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷
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这是一份2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷，共27页。
2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）化简|2-3|的结果正确的是（ ）
A．2-3 B．-2-3 C．2+3 D．3-2
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b2•b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6
4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．16=±4 B．3-8=2 C．﹣a1a=-a D．-64=-8
6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（ ）
A．x+y=1049x+37y=466 B．x+y=1037x+49y=466
C．x+y=46649x+37y=10 D．x+y=46637x+49y=10
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．3m+n B．3m+n+3 C．m+nm+n+3 D．m+n3
9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE=12BC；
②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；
④BC＝25．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 km/h．
14．（3分）因式分解：m3n2﹣m＝ ．
15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 ．
18．（3分）在函数y=x-3x+1+1x-5中，自变量x的取值范围是 ．
19．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 度．
20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 ．
21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 ．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是 ．
23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）
24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1） 月份测试的学生人数最少， 月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若BEOD=54，求EFAC的值．
27．（7分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 ．
28．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．
29．（10分）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）化简|2-3|的结果正确的是（ ）
A．2-3 B．-2-3 C．2+3 D．3-2
【解答】解：∵2-3＜0，
∴|2-3|=-(2-3)=3-2．
故选：D．
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b2•b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6
【解答】解：A．b2•b3＝b5，故本选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；
D．（a3）2•a＝a7，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．16=±4 B．3-8=2 C．﹣a1a=-a D．-64=-8
【解答】解：A.16=4，故本选项不合题意；
B.3-8=-2，故本选项不合题意；
C.-a1a=-a，故本选项不合题意；
D.-64=-8，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（ ）
A．x+y=1049x+37y=466 B．x+y=1037x+49y=466
C．x+y=46649x+37y=10 D．x+y=46637x+49y=10
【解答】解：依题意，得：x+y=1049x+37y=466．
故选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
【解答】解：A．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
故选项A不符合题意；
B..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项B不符合题意；
C..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，
故选项C符合题意；
D..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．3m+n B．3m+n+3 C．m+nm+n+3 D．m+n3
【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，
∴任意摸出一个球是红球的概率是3m+n+3，
故选：B．
9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【解答】解：将将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE=12BC；
②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；
④BC＝25．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；
∵EF＝DE，
∴DF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；
∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴CF＝CD，
∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠CDE＝∠EGF，
∴∠CFE＝∠EGF，
∴EF＝EG，③正确；
作EH⊥FG于H，如图所示：
则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，
∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，
∴△EFH∽△CEH，
∴EHCH=FHEH，
∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，
∴EH＝2，
∴EF=FH2+EH2=12+22=5，
∴BC＝2DE＝2EF＝25，④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 8.5×106 ．
【解答】解：数字8500000用科学记数法表示为8.5×106，
故答案为：8.5×106．
12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学．
【解答】解：∵S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学，
故答案为：甲．
13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 65 km/h．
【解答】解：由图象可得：货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系为y＝78x（x≤2），和x＞2时设其解析式为：y＝kx+b，
把（2，156）和（3，221）代入解析式，可得：2k+b=1563k+b=221，
解得：k=65b=26，
所以解析式为：y＝65x+26（x＞2），
所以2小时后货车的速度是65km/h，
故答案为：65．
14．（3分）因式分解：m3n2﹣m＝ m（mn+1）（mn﹣1） ．
【解答】解：m3n2﹣m＝m（m2n2﹣1）
＝m（mn+1）（mn﹣1）．
故答案为：m（mn+1）（mn﹣1）．
15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 100 度．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π•2.5=nπ×9180，解得n＝100，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．
故答案为：100．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 17 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为（2，4），
∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），
即（4，8）或（﹣4，﹣8）．
故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．
18．（3分）在函数y=x-3x+1+1x-5中，自变量x的取值范围是 x≥3且x≠5 ．
【解答】解：由题可得，x-3≥0x+1＞0x-5≠0，
解得x≥3x＞-1x≠5，
∴自变量x的取值范围是x≥3且x≠5，
故答案为：x≥3且x≠5．
19．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 54 度．
【解答】解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠CPD=12∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 240x-2401.5x=2 ．
【解答】解：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，
依题意，得：240x-2401.5x=2．
故答案为：240x-2401.5x=2．
21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 119 ．
【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，
图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，
图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，
……
∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，
∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．
故答案为：119．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是 2 ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）设内切圆的半径为r．
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴12•AC•BC=12•r•（AB+AC+BC），
∴r=4824=2，
故答案为2．
23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）
【解答】解：由已知得，∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100，
在Rt△PAC中，∵sinA=PCPA，
∴PC＝PA•sin50°≈77，
在Rt△PBC中，∵sinB=PCPB，
∴PB=PCsin37°≈128（km），
答：这时，B处距离观测塔P有128km．
24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则
四边形ABA1B1的面积=S△ABB1+S△A1BB1=12×8×2+12×8×4＝24．
25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1） 1 月份测试的学生人数最少， 4 月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．
【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；
故答案为：1，4；
（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是：1﹣25%﹣40%-72°360°=15%；
（3）根据题意得：
600×25%＝150（名），
答：测试成绩是A等级的学生人数有150名．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若BEOD=54，求EFAC的值．
【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；
（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH=12∠COA，CH=12CA，
∵∠ABC=12∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△COH，
∴EFCH=BEOC，
∵BEOD=54，OC＝OD，
∴EFCH=54，
∵CH=12AC，
∴EFAC=58，
27．（7分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【解答】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，
解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
28．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF；
（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα=EFDE，tanβ=EFBF，
∴tanαtanβ=EFDE⋅BFEF=BFDE．
由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，
∴△AED∽△GBA，
∴AEGB=DEAB，
由①可知，AE＝BF，
∴BFGB=DEAB，
∴BFDE=GBAB，
∵BGBC=k，AB＝BC，
∴BFDE=BGAB=BGBC=k，
∴tanαtanβ=k．
∴tanα＝ktanβ．
（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，
同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．
∵AB＝AD＝4，
∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．
29．（10分）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，得y=-12（x+2）2+6＝﹣2+6＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4）代入y1＝﹣x2+12tx+t﹣2得，t﹣2＝4，
∴t＝6，
∴y1＝﹣x2+3x+4，
∵ON＝OC，
∴N（﹣4，0），
把N（﹣4，0）代入y2＝kx+3中，得﹣4k+3＝0，
解得，k=34；
∴抛物线y1的解析式为y1＝﹣x2+3x+4，k的值为34．
（2）连接AE，如图1，
令y＝0，得y1＝﹣x2+3x+4＝0，
解得，x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴对称轴为：x=-1+42=32，
∴D（32，0），
∴OA＝1，OC＝4，OD=32，AD=52，
①当△AOC∽△EDA时，
OADE=OCDA，即1DE=452，
∴DE=58，
②当△AOC∽△ADE时，
AOAD=OCDE，即152=4DE，
∴DE＝10，
综上，DE=58或10；
（3）点G的横坐标为7+654或7-654或1+52或1-52．
如图，点Q'是点Q关于直线MG的对称点，且点Q'在y轴上时，由轴对称性质可知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG，
∵QG⊥x轴，
∴QG∥y轴，
∴∠Q'MG＝∠QGM，
∴∠QMG＝∠QGM，
∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G，
∴四边形QMQ'G为菱形，
∴GQ'∥QN，
作GP⊥y轴于点P，设G（a，﹣a2+3a+4），则Q（a，34a+3），
∴PG＝|a|，Q'G＝GQ＝|（34a+3）﹣（﹣a2+3a+4）|＝|a2-94a﹣1|，
∵GQ'∥QN，
∴∠GQ'P＝∠NMO，
在Rt△NMO中，MN=NO2+MO2=5，
∴sin∠GQ'P＝sin∠NMO=NOMN=PGGQ'=45，
∴|a||a2-94a-1|=45．
解得a1=7+654，a2=7-654，a3=1+52，a4=1-52．
经检验，a1=7+654，a2=7-654，a3=1+52，a4=1-52都是所列方程的解．
综合以上可得，点G的横坐标为7+654或7-654或1+52或1-52．
2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）化简|2-3|的结果正确的是（ ）
A．2-3 B．-2-3 C．2+3 D．3-2
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b2•b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6
4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．16=±4 B．3-8=2 C．﹣a1a=-a D．-64=-8
6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（ ）
A．x+y=1049x+37y=466 B．x+y=1037x+49y=466
C．x+y=46649x+37y=10 D．x+y=46637x+49y=10
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．3m+n B．3m+n+3 C．m+nm+n+3 D．m+n3
9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE=12BC；
②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；
④BC＝25．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 km/h．
14．（3分）因式分解：m3n2﹣m＝ ．
15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 ．
18．（3分）在函数y=x-3x+1+1x-5中，自变量x的取值范围是 ．
19．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 度．
20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 ．
21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 ．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是 ．
23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）
24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1） 月份测试的学生人数最少， 月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若BEOD=54，求EFAC的值．
27．（7分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 ．
28．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．
29．（10分）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）化简|2-3|的结果正确的是（ ）
A．2-3 B．-2-3 C．2+3 D．3-2
【解答】解：∵2-3＜0，
∴|2-3|=-(2-3)=3-2．
故选：D．
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b2•b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6
【解答】解：A．b2•b3＝b5，故本选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；
D．（a3）2•a＝a7，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．16=±4 B．3-8=2 C．﹣a1a=-a D．-64=-8
【解答】解：A.16=4，故本选项不合题意；
B.3-8=-2，故本选项不合题意；
C.-a1a=-a，故本选项不合题意；
D.-64=-8，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（ ）
A．x+y=1049x+37y=466 B．x+y=1037x+49y=466
C．x+y=46649x+37y=10 D．x+y=46637x+49y=10
【解答】解：依题意，得：x+y=1049x+37y=466．
故选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
【解答】解：A．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
故选项A不符合题意；
B..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项B不符合题意；
C..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，
故选项C符合题意；
D..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．3m+n B．3m+n+3 C．m+nm+n+3 D．m+n3
【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，
∴任意摸出一个球是红球的概率是3m+n+3，
故选：B．
9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【解答】解：将将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE=12BC；
②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；
④BC＝25．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；
∵EF＝DE，
∴DF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；
∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴CF＝CD，
∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠CDE＝∠EGF，
∴∠CFE＝∠EGF，
∴EF＝EG，③正确；
作EH⊥FG于H，如图所示：
则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，
∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，
∴△EFH∽△CEH，
∴EHCH=FHEH，
∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，
∴EH＝2，
∴EF=FH2+EH2=12+22=5，
∴BC＝2DE＝2EF＝25，④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 8.5×106 ．
【解答】解：数字8500000用科学记数法表示为8.5×106，
故答案为：8.5×106．
12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学．
【解答】解：∵S甲2＝0.70，S乙2＝0.73，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学，
故答案为：甲．
13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 65 km/h．
【解答】解：由图象可得：货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系为y＝78x（x≤2），和x＞2时设其解析式为：y＝kx+b，
把（2，156）和（3，221）代入解析式，可得：2k+b=1563k+b=221，
解得：k=65b=26，
所以解析式为：y＝65x+26（x＞2），
所以2小时后货车的速度是65km/h，
故答案为：65．
14．（3分）因式分解：m3n2﹣m＝ m（mn+1）（mn﹣1） ．
【解答】解：m3n2﹣m＝m（m2n2﹣1）
＝m（mn+1）（mn﹣1）．
故答案为：m（mn+1）（mn﹣1）．
15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 100 度．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π•2.5=nπ×9180，解得n＝100，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．
故答案为：100．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 17 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为（2，4），
∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），
即（4，8）或（﹣4，﹣8）．
故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．
18．（3分）在函数y=x-3x+1+1x-5中，自变量x的取值范围是 x≥3且x≠5 ．
【解答】解：由题可得，x-3≥0x+1＞0x-5≠0，
解得x≥3x＞-1x≠5，
∴自变量x的取值范围是x≥3且x≠5，
故答案为：x≥3且x≠5．
19．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于 54 度．
【解答】解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠CPD=12∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 240x-2401.5x=2 ．
【解答】解：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，
依题意，得：240x-2401.5x=2．
故答案为：240x-2401.5x=2．
21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 119 ．
【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，
图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，
图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，
……
∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，
∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．
故答案为：119．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是 2 ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）设内切圆的半径为r．
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴12•AC•BC=12•r•（AB+AC+BC），
∴r=4824=2，
故答案为2．
23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）
【解答】解：由已知得，∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100，
在Rt△PAC中，∵sinA=PCPA，
∴PC＝PA•sin50°≈77，
在Rt△PBC中，∵sinB=PCPB，
∴PB=PCsin37°≈128（km），
答：这时，B处距离观测塔P有128km．
24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则
四边形ABA1B1的面积=S△ABB1+S△A1BB1=12×8×2+12×8×4＝24．
25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1） 1 月份测试的学生人数最少， 4 月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．
【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；
故答案为：1，4；
（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是：1﹣25%﹣40%-72°360°=15%；
（3）根据题意得：
600×25%＝150（名），
答：测试成绩是A等级的学生人数有150名．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若BEOD=54，求EFAC的值．
【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；
（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH=12∠COA，CH=12CA，
∵∠ABC=12∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△COH，
∴EFCH=BEOC，
∵BEOD=54，OC＝OD，
∴EFCH=54，
∵CH=12AC，
∴EFAC=58，
27．（7分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【解答】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，
解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
28．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF；
（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα=EFDE，tanβ=EFBF，
∴tanαtanβ=EFDE⋅BFEF=BFDE．
由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，
∴△AED∽△GBA，
∴AEGB=DEAB，
由①可知，AE＝BF，
∴BFGB=DEAB，
∴BFDE=GBAB，
∵BGBC=k，AB＝BC，
∴BFDE=BGAB=BGBC=k，
∴tanαtanβ=k．
∴tanα＝ktanβ．
（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，
同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．
∵AB＝AD＝4，
∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．
29．（10分）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，得y=-12（x+2）2+6＝﹣2+6＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4）代入y1＝﹣x2+12tx+t﹣2得，t﹣2＝4，
∴t＝6，
∴y1＝﹣x2+3x+4，
∵ON＝OC，
∴N（﹣4，0），
把N（﹣4，0）代入y2＝kx+3中，得﹣4k+3＝0，
解得，k=34；
∴抛物线y1的解析式为y1＝﹣x2+3x+4，k的值为34．
（2）连接AE，如图1，
令y＝0，得y1＝﹣x2+3x+4＝0，
解得，x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴对称轴为：x=-1+42=32，
∴D（32，0），
∴OA＝1，OC＝4，OD=32，AD=52，
①当△AOC∽△EDA时，
OADE=OCDA，即1DE=452，
∴DE=58，
②当△AOC∽△ADE时，
AOAD=OCDE，即152=4DE，
∴DE＝10，
综上，DE=58或10；
（3）点G的横坐标为7+654或7-654或1+52或1-52．
如图，点Q'是点Q关于直线MG的对称点，且点Q'在y轴上时，由轴对称性质可知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG，
∵QG⊥x轴，
∴QG∥y轴，
∴∠Q'MG＝∠QGM，
∴∠QMG＝∠QGM，
∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G，
∴四边形QMQ'G为菱形，
∴GQ'∥QN，
作GP⊥y轴于点P，设G（a，﹣a2+3a+4），则Q（a，34a+3），
∴PG＝|a|，Q'G＝GQ＝|（34a+3）﹣（﹣a2+3a+4）|＝|a2-94a﹣1|，
∵GQ'∥QN，
∴∠GQ'P＝∠NMO，
在Rt△NMO中，MN=NO2+MO2=5，
∴sin∠GQ'P＝sin∠NMO=NOMN=PGGQ'=45，
∴|a||a2-94a-1|=45．
解得a1=7+654，a2=7-654，a3=1+52，a4=1-52．
经检验，a1=7+654，a2=7-654，a3=1+52，a4=1-52都是所列方程的解．
综合以上可得，点G的横坐标为7+654或7-654或1+52或1-52．
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