高考数学科学创新复习方案提升版第9讲函数的奇偶性与周期性学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第9讲函数的奇偶性与周期性学案（Word版附解析），共19页。


1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq \x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq \x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个eq \x(\s\up1(08))最小的正数，那么这个eq \x(\s\up1(09))最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
1．(2023·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|
答案 B
解析 对于A，y＝ln x为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B.
2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 B
解析 显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3).
3.(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 [－5，－2)∪(2，5]
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．
4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))
5．(2024·大庆实验中学月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________．
答案 －1
解析 因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；
(2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；))
(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；
(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(5)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2).
解 (1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)解法一(定义法)：
当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
解法二(图象法)：
作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)的定义域为[－1，4]不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(5)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，定义域为[－1，0)∪(0，1]．
所以f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
1.函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))
C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
答案 B
解析 ∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函数f(x)的图象上．故选B.
2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.
解法二：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq \f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B.
例2 (1)(2024·南昌二中月考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－lg2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝( )
A．－eq \f(1,4) B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(5,4)
答案 D
解析 因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－lg2x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－lg2\f(1,2)))＝－eq \f(5,4).故选D.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C．eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，则其定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝(－x)ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,2x＋1)))eq \s\up12(－1)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.
解法二：设g(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln eq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B.
(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________．
答案 －1 －2－x－2x＋1
解析 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.
已知函数奇偶性可以解决的四个问题
1.(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(a,ex)))cs3x是偶函数，则a＝________．
答案 －1
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(a,ex)))cs3x是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，所以(e－x－aex)cs3x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(a,ex)))cs3x，整理得(a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,ex)))＝0恒成立，所以a＝－1.
2．(2024·襄阳五中阶段考试)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________．
答案 3x＋3－x
解析 因为f(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))两式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x.
3．设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
答案 2
解析 显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
例3 (1)(2023·武汉二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是( )
A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x
C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x
答案 D
解析 依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.
①证明：函数f(x)为偶函数；
②证明：函数f(x)为周期函数；
③求eq \(∑,\s\up7(22),\s\d7(k=1))f（k）.
解 ①证明：因为f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0，可得2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0，可得f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函数f（x）为偶函数.
②证明：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），从而可得f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函数f（x）是周期为6的周期函数.
③令x＝y＝1，可得f（2）＝[f（1）]2－f（0）＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1×1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一个周期内的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以eq \(∑,\s\up7(22),\s\d7(k=1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
函数周期性的判断与应用
1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)且f(2)＝2，则f(2024)＝________．
答案 eq \f(13,2)
解析 因为f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq \f(13,f（0）)，又f(2)＝2，所以f(0)＝eq \f(13,2)，因为f(x＋4)＝eq \f(13,f（x＋2）)＝eq \f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝eq \f(13,2).
2．(2024·成都模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
答案 7
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
例4 (1)(2024·河南部分学校联考)已知函数f(x)＝eq \f(x2,x2－6x＋18)，则( )
A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝3对称D．f(x)的图象关于点(3，1)对称
答案 D
解析 由f(－x)＝eq \f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正确；由题意得f(2)＝eq \f(2,5)，f(4)＝eq \f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正确；f(x)＝eq \f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq \f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq \f(x2,（x－3）2＋9)＝eq \f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的图象关于点(3，1)对称，故D正确．故选D.
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．4为f(x)的周期
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.
1．由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a，0)对称)．
2．函数图象自身对称的两个结论
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．
提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数，后者差为常数．
(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|·f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝( )
A．5 B．1
C．－1 D．－5
答案 B
解析 因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(x＋2)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝1.故选B.
课时作业
一、单项选择题
1．(2024·丹东模拟)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝lg x B．y＝eq \r(3,x)
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(x) D．y＝eq \f(x2,x＋1)
答案 C
解析 函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝eq \r(3,x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \r(3,－x)＝－eq \r(3,x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝eq \f(x2,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C.
2．(2023·成都二模)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \f(x,4－2x)，则f(23)＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．0 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 依题意，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(23)＝f(4×5＋3)＝f(3)．又因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \f(x,4－2x)，所以f(1)＝eq \f(1,4－2×1)＝eq \f(1,2)，所以f(3)＝－f(1)＝－eq \f(1,2).故选B.
3．(2023·上饶一模)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )
A．3 B．5
C．6 D．7
答案 D
解析 函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq \f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq \f(1,x)＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.
4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 C
解析 解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C.
解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C.
5．(2023·晋中二模)已知函数f(x)＝2x－eq \f(16,2x)(x∈R)，则f(x)的图象( )
A．关于直线x＝2对称B．关于点(2，0)对称
C．关于直线x＝0对称D．关于原点对称
答案 B
解析 f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.
6．(2024·安庆、池州、铜陵三市开学联考)已知函数f(x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋a))为奇函数，则f(eq \r(2))＝( )
A．ln (eq \r(2)－1) B．ln (eq \r(2)＋1)
C．2ln (eq \r(2)－1) D．2ln (eq \r(2)＋1)
答案 D
解析 由已知f(－x)＝ln (－2x＋eq \r(4x2＋a))＝ln eq \f(（－2x＋\r(4x2＋a)）（2x＋\r(4x2＋a)）,2x＋\r(4x2＋a))＝ln eq \f(a,2x＋\r(4x2＋a))，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋a))＋ln eq \f(a,2x＋\r(4x2＋a))＝ln a＝0，所以a＝1，故f(x)＝ln (2x＋eq \r(4x2＋1))，所以f(eq \r(2))＝ln (2eq \r(2)＋3)＝2ln (eq \r(2)＋1)．
7．(2023·张家口一模)下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是( )
A．f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1) B．f(x)＝－x2＋x
C．f(x)＝|sinx| D．f(x)＝xeq \f(1,3)＋x－eq \f(1,3)
答案 A
解析 对于A，f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，f(x)＝eq \f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1)<1，故A正确；对于B，f(－x)＝－x2－x≠－f(x)，f(x)不是奇函数，不满足条件，故B错误；对于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)是偶函数，不满足条件，故C错误；对于D，f(x)＝eq \r(3,x)＋eq \f(1,\r(3,x))，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(8)＝eq \r(3,8)＋eq \f(1,\r(3,8))＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)>1，不满足条件，故D错误．故选A.
8．(2023·南通二模)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为( )
A．e B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3) D．2e
答案 B
解析 因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex ①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x ②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，当且仅当ex＝2e－x，即x＝eq \f(1,2)ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2eq \r(2).故选B.
二、多项选择题
9．(2023·临沂一模)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是( )
A．g(x)＝lg eq \f(1＋x,1－x)B．g(x)＝3x－3－x
C．g(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)D．g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)＋x)
答案 BD
解析 因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2－x＋1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(2x,1＋2x)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)＋ln (eq \r(x2＋1)＋x)＝0，D符合题意．故选BD.
10．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋eq \f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－x
C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x|
答案 BD
解析 若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋eq \f(1,9－x)≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD.
11．(2023·襄阳二模)定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则( )
A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数
C．∀x∈R，f(f(x))＝2024D．f(x)的最小正周期为1
答案 BCD
解析 对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，x不为整数时，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2024·湖北部分名校模拟)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，3]时，f(x)＝x2＋1，则f(2023)＝________．
答案 2
解析 因为对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k，k为常数，所以f(x＋6)f(x＋3)＝k，从而f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6，所以f(2023)＝f(1)＝2.
13．(2024·金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋m，－1答案 1
解析 由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋m＝－eq \f(3,4)＋m，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))＝eq \r(\f(1,16))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(1,4)＝－eq \f(3,4)＋m，解得m＝1.
14．(2024·上海市七宝中学模拟)设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：
①若对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)一定不是奇函数；
②若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数；
③若对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数；
④若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数．
其中为真命题的是________(请写出所有真命题的序号)．
答案 ①③
解析 对于①，对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函数，①为真命题；对于②，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1，1]时满足f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)在x∈R上为非奇非偶函数，②为假命题；对于③，对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数f(x)必为偶函数，③为真命题；对于④，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,\f(1,2)，x＝0，,x－1，x<0))符合题意，但f(x)不是奇函数，④为假命题．
四、解答题
15．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断函数f(x)的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
(2)函数f(x)是R上的奇函数．证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)函数f(x)是R上的增函数．证明如下：
任取x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋216．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.奇函数
偶函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有eq \x(\s\up1(01))－x∈I
且eq \x(\s\up1(02))f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
且eq \x(\s\up1(03))f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
图象特点
关于eq \x(\s\up1(04))原点对称
关于eq \x(\s\up1(05))y轴对称
考向一 函数奇偶性的判断
考向二 函数奇偶性的应用
求函数值
利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出
求参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数
画图象
利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题
考向三 函数的周期性
考向四 函数图象的对称性