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高考数学科学创新复习方案提升版第61讲事件与概率学案（Word版附解析）
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这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第61讲事件与概率学案（Word版附解析），共21页。
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点
①试验可以在相同条件下eq \x(\s\up1(01))重复进行；
②试验的所有可能结果是eq \x(\s\up1(02))明确可知的，并且eq \x(\s\up1(03))不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的eq \x(\s\up1(04))基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)eq \x(\s\up1(05))全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)事件：将样本空间Ω的eq \x(\s\up1(06))子集称为随机事件，简称事件．
(2)基本事件：只包含eq \x(\s\up1(07))一个样本点的事件称为基本事件．
(3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(08))总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(09))都不会发生，我们称∅为不可能事件．
4．两个事件的关系和运算
5.概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)eq \x(\s\up1(18))≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为eq \x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq \x(\s\up1(20))1，P(∅)＝eq \x(\s\up1(21))0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(22))P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝eq \x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq \x(\s\up1(24))1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么eq \x(\s\up1(25))P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的eq \x(\s\up1(27))增大，频率偏离概率的幅度会eq \x(\s\up1(28))缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \x(\s\up1(29))概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)eq \x(\s\up1(30))估计概率P(A)．
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．(多选)(2023·海口模拟)下列说法正确的是( )
A．对任意的事件A，都有P(A)>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B)
答案 BCD
解析 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数就是这个事件发生的概率，由此可知B正确；∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴C正确；当随机事件的样本空间一定时，若事件A⊆事件B，则必然有P(A)≤P(B)，∴D正确．故选BCD.
2．(人教A必修第二册习题10.3 T2改编)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是( )
A．朝上的点数是2的概率为1
B．朝上的点数是2的频率为1
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不会是2
D．抛掷第31次，朝上的点数一定是2
答案 B
解析 小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为eq \f(30,30)＝1，故B正确；频率不同于概率，概率是某事件发生的可能性的大小，是一个定值，而频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，故A错误；抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为eq \f(1,6)，所以抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C，D错误．故选B.
3．(人教B必修第二册5.3.2练习A T2改编)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝( )
A．0.5 B．0.6
C．0.8 D．1
答案 B
解析 ∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.2＝0.6.故选B.
4．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
答案 A
解析 对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A.
5．(人教B必修第二册5.3.1练习B T1改编)做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为________．
答案 Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}
解析 这个试验的样本空间为Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．
例1 (1)在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
答案 C
解析 甲、乙不可能同时分得红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都分不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.
(2)(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的是( )
A．A＝B
B．B⊆C
C．D∩E＝∅
D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 ABD
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E可能同时发生，故C错误；因为C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD.
1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
1.(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是( )
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
答案 ABC
解析 对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D错误．故选ABC.
2．(多选)(2024·青岛开学考试)有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )
A．“至少有1件次品”与“至多有1件正品”
B．“至少有1件次品”与“都是正品”
C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”
D．“恰有1件次品”与“恰有2件正品”
答案 BD
解析 对于A，“至少有1件次品”与“至多有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“至少有1件次品”与“都是正品”是对立事件，属于互斥事件，故B正确；对于C，“至少有1件次品”与“至少有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1件次品”与“恰有2件正品”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选BD.
例2 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
计算简单随机事件的频率或概率的步骤
提醒：频率是随机的，而概率是一个确定的值，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示．
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为( )
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
答案 A
解析 通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1.设A1，A2分别表示汽车A选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.
多角度探究突破
角度互斥事件的概率
例3 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设事件A表示“赔付金额为3000元”，事件B表示“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得
P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设事件C表示“投保车辆中，新司机获赔4000元”．
由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
角度对立事件的概率
例4 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，事件A1，A2分别表示“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟、3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
角度概率的一般加法公式
例5 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率．
解 记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P(A)＝eq \f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(35,113)，
P(B)＝eq \f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(13,113)，
P(A∩B)＝eq \f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(5,113)，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(35,113)＋eq \f(13,113)－eq \f(5,113)＝eq \f(43,113).
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
1.甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________．
答案 0.9
解析 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖人数及其概率如下：
(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56，求x的值；
(2)若最多4人获奖的概率为0.96，最少3人获奖的概率为0.44，求y，z的值．
解 记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，
解得x＝0.3.
(2)由最多4人获奖的概率为0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由最少3人获奖的概率为0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.
课时作业
一、单项选择题
1．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则使得方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为( )
A．17 B．18
C．19 D．20
答案 C
解析 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0，样本点中满足此条件的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个．故选C.
2．(2023·宜宾三模)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“骰子向上的点数为奇数”，事件B表示“骰子向上的点数为偶数”，事件C表示“骰子向上的点数大于3”，事件D表示“骰子向上的点数小于3”则( )
A．事件A与事件C互斥
B．事件A与事件B互为对立事件
C．事件B与事件C互斥
D．事件C与事件D互为对立事件
答案 B
解析 由题意可知，事件A可表示为A＝{1，3，5}，事件B可表示为B＝{2，4，6}，事件C可表示为C＝{4，5，6}，事件D可表示为D＝{1，2}，因为A∩C＝{5}，所以事件A与事件C不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件A与事件B互为对立事件，B正确；因为B∩C＝{4，6}，所以事件B与事件C不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件C与事件D不互为对立事件，D错误．故选B.
3．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A∪eq \(B,\s\up6(－))发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 由已知，得P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(2,3)，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件eq \(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”，故事件A与事件eq \(B,\s\up6(－))互斥，∴P(A∪eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋[1－P(B)]＝eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,3).故选C.
4．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为( )
A．19% B．26%
C．68% D．75%
答案 C
解析 该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型血的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%.故选C.
5．(2023·大连模拟)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是( )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1∪A2)≤0.5
答案 D
解析 三个事件A1，A2，A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，且A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件．故选D.
6．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
答案 B
解析 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq \f(900,50)＝18(名)．故选B.
7．(2023·咸阳一模)某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为eq \f(4,15)，出现Y性状的概率为eq \f(2,15)，X，Y两种性状都不出现的概率为eq \f(7,10)，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(1,10)
C.eq \f(2,15) D.eq \f(4,15)
答案 B
解析 设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则X，Y两种性状都不出现为事件eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))，两种性状都出现为事件A∩B，所以P(A)＝eq \f(4,15)，P(B)＝eq \f(2,15)，P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(7,10)，所以P(A∪B)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,10)，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝eq \f(1,10).故选B.
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
答案 A
解析 由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq \f(4,3)二、多项选择题
9．某射击运动员在一次训练中的命中环数情况如下表：
记该射击运动员在一次射击中，命中7环及以上为事件A，命中7环以下为事件B，脱靶为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42
C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；P(B)＝eq \f(42,100)＝0.42，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正确；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D错误．故选ABC.
10．(2024·河南名校联盟月考)现有8张卡片，有3张分别印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”，其余5张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1张，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲获得二等奖”，事件D表示“甲获得三等奖”，事件E表示“甲中奖”，则下列说法正确的是( )
A．事件A和事件E是对立事件
B．事件B和事件C是互斥事件
C．P(B∪C∪D)＝P(E)
D．P(B∩E)＝P(E)
答案 ABC
解析 对于A，因为事件A和事件E必有一个且仅有一个发生，所以事件A和事件E是对立事件，故A正确；对于B，因为事件B和事件C不可能同时发生，所以事件B和事件C是互斥事件，故B正确；对于C，因为B∪C∪D＝E，所以P(B∪C∪D)＝P(E)，故C正确；对于D，P(B∩E)＝P(B)＝eq \f(1,8)，P(E)＝eq \f(3,8)，所以P(B∩E)≠P(E)，故D错误．故选ABC.
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.
三、填空题
12．某城市2023年的空气质量状况如表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50答案 eq \f(3,5)
解析 由题意可知，2023年空气质量达到良或优的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
13．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生如下20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．
答案 0.4
解析 设“恰好成功1例”为事件A，其所包含的样本点为191，270，832，912，134，370，027，703，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝eq \f(8,20)＝0.4.
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，则事件A与B是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
四、解答题
15．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)．
解 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A∪B，
所以P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
16．成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
eq \f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)＝eq \f(500,500＋50＋50)＝eq \f(5,6).
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件eq \(A,\s\up6(－))表示生活垃圾投放正确．
事件eq \(A,\s\up6(－))的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，
即P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(500＋240＋60,1000)＝0.8，
所以P(A)＝1－0.8＝0.2.
17．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100，300，900.
当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.关系或运算
含义
符号表示
包含
若事件A发生，则事件Beq \x(\s\up1(10))一定发生
eq \x(\s\up1(11))A⊆B
相等
事件B包含事件A，事件A也包含事件B
A＝B
并事件(和事件)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(12))至少有一个发生
eq \x(\s\up1(13))A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(14))同时发生
A∩B(或AB)
互斥(互不相容)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(15))不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
事件A和事件B在任何一次试验中eq \x(\s\up1(16))有且仅有一个发生
eq \x(\s\up1(17))A∪B＝Ω，且A∩B＝∅
考向一 事件的关系及运算
考向二 随机事件的概率与频率
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)
所用时间(天)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
考向三 概率基本性质的应用
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
射击次数
命中7环及以上
命中7环以下
100
55
42
所需时间/分钟
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
500
50
50
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
最高
气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点
①试验可以在相同条件下eq \x(\s\up1(01))重复进行；
②试验的所有可能结果是eq \x(\s\up1(02))明确可知的，并且eq \x(\s\up1(03))不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的eq \x(\s\up1(04))基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)eq \x(\s\up1(05))全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)事件：将样本空间Ω的eq \x(\s\up1(06))子集称为随机事件，简称事件．
(2)基本事件：只包含eq \x(\s\up1(07))一个样本点的事件称为基本事件．
(3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(08))总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(09))都不会发生，我们称∅为不可能事件．
4．两个事件的关系和运算
5.概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)eq \x(\s\up1(18))≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为eq \x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq \x(\s\up1(20))1，P(∅)＝eq \x(\s\up1(21))0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(22))P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝eq \x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq \x(\s\up1(24))1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么eq \x(\s\up1(25))P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的eq \x(\s\up1(27))增大，频率偏离概率的幅度会eq \x(\s\up1(28))缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \x(\s\up1(29))概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)eq \x(\s\up1(30))估计概率P(A)．
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．(多选)(2023·海口模拟)下列说法正确的是( )
A．对任意的事件A，都有P(A)>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B)
答案 BCD
解析 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数就是这个事件发生的概率，由此可知B正确；∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴C正确；当随机事件的样本空间一定时，若事件A⊆事件B，则必然有P(A)≤P(B)，∴D正确．故选BCD.
2．(人教A必修第二册习题10.3 T2改编)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是( )
A．朝上的点数是2的概率为1
B．朝上的点数是2的频率为1
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不会是2
D．抛掷第31次，朝上的点数一定是2
答案 B
解析 小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为eq \f(30,30)＝1，故B正确；频率不同于概率，概率是某事件发生的可能性的大小，是一个定值，而频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，故A错误；抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为eq \f(1,6)，所以抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C，D错误．故选B.
3．(人教B必修第二册5.3.2练习A T2改编)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝( )
A．0.5 B．0.6
C．0.8 D．1
答案 B
解析 ∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.2＝0.6.故选B.
4．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
答案 A
解析 对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A.
5．(人教B必修第二册5.3.1练习B T1改编)做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为________．
答案 Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}
解析 这个试验的样本空间为Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．
例1 (1)在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
答案 C
解析 甲、乙不可能同时分得红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都分不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.
(2)(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的是( )
A．A＝B
B．B⊆C
C．D∩E＝∅
D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 ABD
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E可能同时发生，故C错误；因为C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD.
1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
1.(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是( )
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
答案 ABC
解析 对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D错误．故选ABC.
2．(多选)(2024·青岛开学考试)有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )
A．“至少有1件次品”与“至多有1件正品”
B．“至少有1件次品”与“都是正品”
C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”
D．“恰有1件次品”与“恰有2件正品”
答案 BD
解析 对于A，“至少有1件次品”与“至多有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“至少有1件次品”与“都是正品”是对立事件，属于互斥事件，故B正确；对于C，“至少有1件次品”与“至少有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1件次品”与“恰有2件正品”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选BD.
例2 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
计算简单随机事件的频率或概率的步骤
提醒：频率是随机的，而概率是一个确定的值，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示．
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为( )
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
答案 A
解析 通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1.设A1，A2分别表示汽车A选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.
多角度探究突破
角度互斥事件的概率
例3 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设事件A表示“赔付金额为3000元”，事件B表示“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得
P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设事件C表示“投保车辆中，新司机获赔4000元”．
由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
角度对立事件的概率
例4 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，事件A1，A2分别表示“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟、3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
角度概率的一般加法公式
例5 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率．
解 记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P(A)＝eq \f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(35,113)，
P(B)＝eq \f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(13,113)，
P(A∩B)＝eq \f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq \f(5,113)，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(35,113)＋eq \f(13,113)－eq \f(5,113)＝eq \f(43,113).
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
1.甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________．
答案 0.9
解析 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖人数及其概率如下：
(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56，求x的值；
(2)若最多4人获奖的概率为0.96，最少3人获奖的概率为0.44，求y，z的值．
解 记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，
解得x＝0.3.
(2)由最多4人获奖的概率为0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由最少3人获奖的概率为0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.
课时作业
一、单项选择题
1．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则使得方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为( )
A．17 B．18
C．19 D．20
答案 C
解析 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0，样本点中满足此条件的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个．故选C.
2．(2023·宜宾三模)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“骰子向上的点数为奇数”，事件B表示“骰子向上的点数为偶数”，事件C表示“骰子向上的点数大于3”，事件D表示“骰子向上的点数小于3”则( )
A．事件A与事件C互斥
B．事件A与事件B互为对立事件
C．事件B与事件C互斥
D．事件C与事件D互为对立事件
答案 B
解析 由题意可知，事件A可表示为A＝{1，3，5}，事件B可表示为B＝{2，4，6}，事件C可表示为C＝{4，5，6}，事件D可表示为D＝{1，2}，因为A∩C＝{5}，所以事件A与事件C不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件A与事件B互为对立事件，B正确；因为B∩C＝{4，6}，所以事件B与事件C不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件C与事件D不互为对立事件，D错误．故选B.
3．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A∪eq \(B,\s\up6(－))发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 由已知，得P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(2,3)，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件eq \(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”，故事件A与事件eq \(B,\s\up6(－))互斥，∴P(A∪eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋[1－P(B)]＝eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,3).故选C.
4．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为( )
A．19% B．26%
C．68% D．75%
答案 C
解析 该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型血的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%.故选C.
5．(2023·大连模拟)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是( )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1∪A2)≤0.5
答案 D
解析 三个事件A1，A2，A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，且A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件．故选D.
6．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
答案 B
解析 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq \f(900,50)＝18(名)．故选B.
7．(2023·咸阳一模)某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为eq \f(4,15)，出现Y性状的概率为eq \f(2,15)，X，Y两种性状都不出现的概率为eq \f(7,10)，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(1,10)
C.eq \f(2,15) D.eq \f(4,15)
答案 B
解析 设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则X，Y两种性状都不出现为事件eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))，两种性状都出现为事件A∩B，所以P(A)＝eq \f(4,15)，P(B)＝eq \f(2,15)，P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(7,10)，所以P(A∪B)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,10)，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝eq \f(1,10).故选B.
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
答案 A
解析 由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0
9．某射击运动员在一次训练中的命中环数情况如下表：
记该射击运动员在一次射击中，命中7环及以上为事件A，命中7环以下为事件B，脱靶为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42
C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；P(B)＝eq \f(42,100)＝0.42，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正确；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D错误．故选ABC.
10．(2024·河南名校联盟月考)现有8张卡片，有3张分别印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”，其余5张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1张，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲获得二等奖”，事件D表示“甲获得三等奖”，事件E表示“甲中奖”，则下列说法正确的是( )
A．事件A和事件E是对立事件
B．事件B和事件C是互斥事件
C．P(B∪C∪D)＝P(E)
D．P(B∩E)＝P(E)
答案 ABC
解析 对于A，因为事件A和事件E必有一个且仅有一个发生，所以事件A和事件E是对立事件，故A正确；对于B，因为事件B和事件C不可能同时发生，所以事件B和事件C是互斥事件，故B正确；对于C，因为B∪C∪D＝E，所以P(B∪C∪D)＝P(E)，故C正确；对于D，P(B∩E)＝P(B)＝eq \f(1,8)，P(E)＝eq \f(3,8)，所以P(B∩E)≠P(E)，故D错误．故选ABC.
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.
三、填空题
12．某城市2023年的空气质量状况如表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
解析 由题意可知，2023年空气质量达到良或优的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
13．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生如下20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．
答案 0.4
解析 设“恰好成功1例”为事件A，其所包含的样本点为191，270，832，912，134，370，027，703，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝eq \f(8,20)＝0.4.
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，则事件A与B是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
四、解答题
15．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)．
解 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A∪B，
所以P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
16．成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
eq \f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)＝eq \f(500,500＋50＋50)＝eq \f(5,6).
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件eq \(A,\s\up6(－))表示生活垃圾投放正确．
事件eq \(A,\s\up6(－))的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，
即P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(500＋240＋60,1000)＝0.8，
所以P(A)＝1－0.8＝0.2.
17．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100，300，900.
当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.关系或运算
含义
符号表示
包含
若事件A发生，则事件Beq \x(\s\up1(10))一定发生
eq \x(\s\up1(11))A⊆B
相等
事件B包含事件A，事件A也包含事件B
A＝B
并事件(和事件)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(12))至少有一个发生
eq \x(\s\up1(13))A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(14))同时发生
A∩B(或AB)
互斥(互不相容)
事件A与事件Beq \x(\s\up1(15))不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
事件A和事件B在任何一次试验中eq \x(\s\up1(16))有且仅有一个发生
eq \x(\s\up1(17))A∪B＝Ω，且A∩B＝∅
考向一 事件的关系及运算
考向二 随机事件的概率与频率
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)
所用时间(天)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
考向三 概率基本性质的应用
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
射击次数
命中7环及以上
命中7环以下
100
55
42
所需时间/分钟
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
500
50
50
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
最高
气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
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