高考数学科学创新复习方案提升版第12讲对数与对数函数学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第12讲对数与对数函数学案（Word版附解析），共22页。


1．对数的定义
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作eq \x(\s\up1(01))x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)lga(MN)＝eq \x(\s\up1(02))lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝eq \x(\s\up1(03))lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
3．对数函数的定义
函数eq \x(\s\up1(04))y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
4．对数函数的图象与性质
5.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝eq \x(\s\up1(09))lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq \x(\s\up1(10))y＝x对称．
1．对数的性质(a＞0，且a≠1)
(1)lga1＝0；(2)lgaa＝1；(3)algaN＝N.
2．换底公式及其推论
(1)lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；
(2)lgab·lgba＝1，即lgab＝eq \f(1,lgba)(a，b均大于0且不等于1)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad；
(4)lgambn＝eq \f(n,m)lgab.
3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1．(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设alg34＝2，则4－a＝( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 由alg34＝2可得lg34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq \f(1,9).故选B.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝lg52，b＝lg83，c＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是 ( )
A．cC．a答案 C
解析 a＝lg523．函数f(x)＝lga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________．
答案 (－1，－2)
解析 由lga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝lga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)．
4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．
答案 1
解析 原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.
5．(人教A必修第一册习题4.4 T1(2)改编)函数y＝eq \r(lg\s\d9(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 由lgeq \s\d7(\f(2,3))(2x－1)≥0得lgeq \s\d7(\f(2,3))(2x－1)≥lgeq \s\d7(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq \f(1,2)例1 (1)下列运算正确的是( )
A．2lgeq \s\d7(\f(1,5))10＋lgeq \s\d7(\f(1,5))0.25＝2
B．lg427×lg258×lg95＝eq \f(8,9)
C．lg 2＋lg 50＝10
D．lg(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(lg2eq \r(2))2＝－eq \f(5,4)
答案 D
解析 对于A，2lgeq \s\d7(\f(1,5))10＋lgeq \s\d7(\f(1,5))0.25＝lgeq \s\d7(\f(1,5))(102×0.25)＝lgeq \s\d7(\f(1,5))52＝－2，A错误；对于B，lg427×lg258×lg95＝eq \f(lg 33,lg 22)×eq \f(lg 23,lg 52)×eq \f(lg 5,lg 32)＝eq \f(3×3,2×2×2)＝eq \f(9,8)，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，lg(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(lg2eq \r(2))2＝－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(5,4)，D正确．
(2)(2024·银川模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋lg2（2－x）（x≤1），,2x－1（x>1），))则f(1)＋f(lg26)＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 A
解析 因为lg26>1，所以f(1)＋f(lg26)＝1＋lg2(2－1)＋2lg26－1＝1＋0＋2lg23＝1＋3＝4.故选A.
(3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则( )
A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg 12
C.eq \f(1,a＋2b)＝lg1810 D．lg365＝eq \f(1－a,2a＋2b)
答案 BCD
解析 因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A错误；2a＋b＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B正确；eq \f(1,a＋2b)＝eq \f(1,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1,lg 18)＝lg1810，C正确；lg365＝eq \f(lg 5,lg (4×9))＝eq \f(lg 5,2lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1－a,2a＋2b)，D正确．故选BCD.
对数运算的策略
1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算lgab时，需依次按下“lg”“(”“a”“，”“b”“)”6个键．某同学使用该计算器计算lgab(a>1，b>1)时，误将“lg”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的eq \f(4,9)，则( )
A．2a＝3b B．a3b2＝1
C．a2＝b3 D．a3＝b2
答案 D
解析 由题意可知lgba＝eq \f(4,9)lgab，∴(lgba)2＝eq \f(4,9)，又a>1，b>1，∴lgba>0，lgba＝eq \f(2,3)，∴a＝beq \s\up7(\f(2,3))，即a3＝b2.故选D.
2．(2024·广东重点中学联考)已知4a＝3b＝6，则eq \f(2a＋b,ab)＝________．
答案 2
解析 由题意可得a＝lg46，b＝lg36，则eq \f(1,a)＝lg64，eq \f(1,b)＝lg63，故eq \f(2a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝lg64＋2lg63＝lg64＋lg69＝lg636＝2.
例2 (1)(2024·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝lga(x＋k)的图象是( )
答案 A
解析 由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－eq \f(1,ax)为减函数，所以0－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A.
(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内有解，则实数a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析 构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax.当a>1时不满足条件，当0利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．
1.函数f(x)＝lga|x|＋1(0答案 A
解析 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝lga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则( )
A．x1C．x2答案 D
解析 画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))eq \s\up12(x)，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2多角度探究突破
角度 比较对数值的大小
例3 (1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2lg3eq \f(1,2)，b＝lg25，c＝lg35，则( )
A．cC．a答案 D
解析 因为lg3eq \f(1,2)<0，所以0lg24＝2，1＝lg33(2)(多选)若实数a，b，c满足lga2A．aC．c答案 BCD
解析 由lga2由图象可知B，C，D可能成立．
(3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
答案 ACD
解析 解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p0)－20×lg eq \f(p2,p0)＝20×lg eq \f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)≥0，即lg eq \f(p1,p2)≥0，所以eq \f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg eq \f(p2,p0)－20×lg eq \f(p3,p0)＝20×lg eq \f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg eq \f(p2,p3)≥10，即lg eq \f(p2,p3)≥eq \f(1,2)，所以eq \f(p2,p3)≥eq \r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq \r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg eq \f(p3,p0)＝40，即lg eq \f(p3,p0)＝2，可得eq \f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg eq \f(p1,p2)≤40，即lg eq \f(p1,p2)≤2，可得eq \f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
解法二：因为Lp＝20×lg eq \f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，得p＝p010eq \s\up7(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq \s\up7(\f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq \s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq \s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq \s\up7(\f(Lp2,20))－eq \s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq \f(100p2,p1)＝eq \f(100p010\s\up7(\f(Lp2,20)),p010\s\up7(\f(Lp1,20)))＝10eq \s\up7(\f(Lp2,20))－eq \s\up7(\f(Lp1,20))+2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
比较对数值大小的方法
1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a＝lg2e，b＝ln 2，c＝lgeq \s\d7(\f(1,2))eq \f(1,3)，则下列关系式中，正确的是( )
A．a>b B．a>c
C．c>a D．a＋b＝2
答案 AC
解析 a＝lg2e>lg22＝1，即a>1，b＝ln 2lg2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝lg2e＋ln 2＝eq \f(1,ln 2)＋ln 2，由基本不等式知D错误．故选AC.
2．(多选)对于0A．lga(1＋a)lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))
C．a1＋aa1＋eq \s\up7(\f(1,a))
答案 BD
解析 ∵0lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))，a1＋a>a1＋eq \s\up7(\f(1,a)).故选BD.
3．(2023·聊城二模)已知a＝eq \f(2,ln 4)，b＝eq \f(ln 3,ln 2)，c＝eq \f(3,2)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
答案 D
解析 ∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝eq \f(2,ln 4)－eq \f(3,2)＝eq \f(2－3ln 2,2ln 2)＝eq \f(ln e2－ln 8,2ln 2)<0，∴a＜c；∵b－c＝eq \f(ln 3,ln 2)－eq \f(3,2)＝eq \f(2ln 3－3ln 2,2ln 2)＝eq \f(ln 9－ln 8,2ln 2)＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D.
角度 解简单的对数不等式
例4 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－x），x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)
答案 C
解析 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>lg\s\d9(\f(1,2))a))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,lg\s\d9(\f(1,2))(－a)>lg2（－a），))解得a>1或－1(2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(lg2x)>f(1)的解集为( )
A．(2，＋∞) B．(0，2)
C．(2，6) D．(2，8)
答案 D
解析 由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(lg2x)>f(1)，可得1f(1)的解集为(2，8)．
对数不等式的类型及其解法
1.(2024·昆明五华区质检)函数y＝eq \f(1,\r(lg0.5（4x－3）))的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
C．(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg0.5（4x－3）>0，,4x－3>0，))解得eq \f(3,4)2．若lga(a2＋1)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又lga(a2＋1)1，所以a>eq \f(1,2).综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
角度 对数函数性质的综合应用
例5 (1)已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))
解析 当a>1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝lga(8－2a)>1，解得11在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝lga(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3))).
(2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋lg2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．
答案 39
解析 函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x≤16，,1≤x2≤16，))解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋lg2x)2＋6＋2lg2x2＝(lg2x)2＋10lg2x＋15＝(lg2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以lg2x∈[0，2]．当lg2x＝2时，g(x)max＝39.
解对数函数综合问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 D
解析 由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D.
2．(多选)已知函数f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 ACD
解析 f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，令eq \f(2x＋1,2x－1)＞0，解得x＞eq \f(1,2)或x＜－eq \f(1,2)，∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1,2x－1)))eq \s\up12(－1)＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，令t＝1＋eq \f(2,2x－1)，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故C正确；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
3．(2023·十堰模拟)已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq \f(3,2)<2，不符合题意；当0课时作业
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，则( )
A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg yB．lg (xeq \r(y))＝lg x＋eq \f(1,2)lg y
C．eln x＋ln y＝x＋yD．eln x－ln y＝xy
答案 B
解析 x，y为正实数，lg (x2y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A错误；lg (xeq \r(y))＝lg x＋lg eq \r(y)＝lg x＋eq \f(1,2)lg y，故B正确；eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C，D错误．故选B.
2．(2022·浙江高考)已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝( )
A．25 B．5
C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3)
答案 C
解析 因为2a＝5，b＝lg83＝eq \f(1,3)lg23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq \f(4a,43b)＝eq \f(（2a）2,（23b）2)＝eq \f(52,32)＝eq \f(25,9).故选C.
3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为( )
A.3 B．12
C．13 D．14
答案 C
解析 因为N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，所以1034≤M31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M<35，于是eq \f(34,31)≤lg M4．若lgaeq \f(2,3)<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
答案 D
解析 因为lgaeq \f(2,3)<1，所以lgaeq \f(2,3)1，则上式显然成立；若05.已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0答案 A
解析 由题图易得a>1，∴06．(2023·宜宾模拟)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是( )
A．[－e3，0) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－e3，－\f(1,e)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－e3，－\f(1,e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－e3，－\f(1,e)))
答案 C
解析 当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，当a≤x＜0时，f(x)＝－ln (－x)≥－ln (－a)，因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))
的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a)≤1，故－1≤ln (－a)≤3，解得－e3≤a≤－eq \f(1,e).故选C.
7．(2023·铜陵三模)已知a＝lg75，b＝lg97，c＝lg119，则( )
A．aC．b答案 A
解析 因为lg75－lg97＝eq \f(lg 5,lg 7)－eq \f(lg 7,lg 9)＝eq \f(lg 5·lg 9－（lg 7）2,lg 7·lg 9)，又因为lg 5·lg 9≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 5＋lg 9,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 45,2)))eq \s\up12(2)8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x>0，y>0，a≥1，若a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(y)＋lg2x＝lg8y3＋2－x，则( )
A．ln |1＋x－3y|<0 B．ln |1＋x－3y|≤0
C．ln (1＋3y－x)>0 D．ln (1＋3y－x)>1
答案 C
解析 由题意可知，a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3y)＋lg2x＝lg2y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，∴lg2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝lg2y－a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3y)0，∴1＋3y－x>1，∴ln (1＋3y－x)>ln 1＝0.故选C.
二、多项选择题
9．(2024·苏州模拟)已知2x＝3，y＝2lg32，则( )
A．xC．x>y D.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)>eq \r(2)
答案 BCD
解析 由2x＝3，可得x＝lg23>lg2eq \r(8)＝eq \f(1,2)lg28＝eq \f(3,2)，所以A不正确；因为y＝2lg32，所以xy＝lg23·2lg32＝lg23·eq \f(2,lg23)＝2，所以B正确；因为y＝2lg32＝lg34y，所以C正确；eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg23)＋eq \f(1,2lg32)＝lg32＋eq \f(1,2lg32)≥2eq \r(lg32·\f(1,2lg32))＝eq \r(2)，因为lg32≠eq \f(1,2lg32)，所以等号不成立，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)>eq \r(2)，所以D正确．故选BCD.
10．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是( )
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
答案 ABD
解析 函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.
11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝lg2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数
D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)
答案 AD
解析 根据题意，函数f(x)＝lg2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4x)))＋x＝lg2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝lg2eq \f(5,2)>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝lg2(1＋4x)－x＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)＋2x))，设t＝eq \f(1,2x)＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥lg22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.
三、填空题
12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案 －eq \f(1,2) ln 2
解析 因为函数f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq \f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq \f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq \f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．
13．已知函数f(x)＝lg2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
答案 (－eq \r(3)，eq \r(3)) (－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞)
解析 由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－eq \r(3)14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝lg8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝lg2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABDC的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)lg23
解析 设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1＞1，x2＞1.则点A，B的纵坐标分别为lg8x1，lg8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以eq \f(lg8x1,x1)＝eq \f(lg8x2,x2)，点C，D的坐标分别为(x1，lg2x1)，(x2，lg2x2)．由BC平行于x轴，知lg2x1＝lg8x2，即lg2x1＝eq \f(1,3)lg2x2，∴x2＝xeq \\al(3,1).代入x2lg8x1＝x1lg8x2得xeq \\al(3,1)lg8x1＝3x1lg8x1.由x1＞1知lg8x1≠0，∴xeq \\al(3,1)＝3x1.考虑x1＞1，解得x1＝eq \r(3).于是点A的坐标为(eq \r(3)，lg8eq \r(3))，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,6)lg23))，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，\f(1,2)lg23))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)lg23))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，\f(3,2)lg23))，∴梯形ABDC的面积为S＝eq \f(1,2)(AC＋BD)·BC＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)lg23＋lg23))×2eq \r(3)＝eq \f(4\r(3),3)lg23.
四、解答题
15．(2024·镇江模拟)已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝lg2eq \f(x2,8)·lg2eq \f(\r(x),2).
(1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A；
(2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值．
解 (1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0，
得(3x)2－84×3x＋243≤0，
即(3x－3)(3x－81)≤0，则3≤3x≤81，
解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}．
(2)g(x)＝lg2eq \f(x2,8)·lg2eq \f(\r(x),2)
＝(2lg2x－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg2x－1))
＝(lg2x)2－eq \f(7,2)lg2x＋3
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(7,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,16).
∵x∈[1，4]，∴lg2x∈[0，2]，
∴当lg2x＝0时，g(x)max＝3；
当lg2x＝eq \f(7,4)时，g(x)min＝－eq \f(1,16).
故g(x)的最大值为3，最小值为－eq \f(1,16).
16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
解 ∵函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝lgaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，
∴方程lga(ax＋t2)＝eq \f(1,2)x有两个不同的根，∴ax＋t2＝，即ax－＋t2＝0，
令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，
解得t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).a>1
0图象
定义域
eq \x(\s\up1(05))(0，＋∞)
值域
R
定点
过点eq \x(\s\up1(06))(1，0)
单调性
eq \x(\s\up1(07))增函数
eq \x(\s\up1(08))减函数
函数值正负
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
考向一 对数的化简与求值
考向二 对数函数的图象及其应用
考向三 对数函数的性质及其应用
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
lg N
0.30
0.48
0.60
0.70
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18