甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题

这是一份甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)
1. 下列各关系不属于相关关系的是( )
A.产品的样本与生产数量 B.球的表面积与体积
C、家庭的支出与收入 D. 人的年龄与体重
2. 已知随机变量X服从两点分布,E(X)=0.7,则其成功概率为( )
A. 0 B. 1 C. 0.3 D. 0.7
3. 已知函数 fx=eˣ+kx在x= 0处有极值, 则k=( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. e
4. 已知二面角a-│-β，其中平面α的一个法向量为 m=10−1,，平面β的一个法向量为π=(0,-1,1), 则二面角α-│-β的大小可能为( )
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 135°
5. 某地区气象台统计，该地区四月份吹东风的概率为 310，下雨的概率为 1130，既吹东风又下雨的概率为 830，则在下雨条件下吹东风的概率为( )
A. 25 B. 811 C. 911 D. 89
6. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为吨. ( )
A. 5.25 B. 5.15 C. 5.5 D. 9.5
第 1页x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
7. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局，甲每局赢的概率为 12，已知前两局甲都输了，则甲最后获胜的概率为( )
A. 116 B. 18 C. 316 D. 14
8. 对于三次函数 fx=ax³+bx²+cx+da≠0给出定义:设f'(x)是函数y= f(x)的导数,f''(x)是函数f'(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x₀,则称点(x₀,f(x₀))为函数y =f(x)的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 fx=13x3−12x2+3x−512,请你根据上面探究结果，计算f 12021+f22021+f32021+⋯+f20202021=( )
A. 1010 B. 2020 C. 2023 D. 2024
二、多选题(本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求)
9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布N(70，16)，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有( )
附: 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²), 则P(μ-2σ<ξ<μ+2σ) =0.9545
A.该校学生成绩的均值为70 B.该校学生成绩的标准差为4
C.该校学生成绩的标准差为16 D.该校学生成绩及格率超过95%
10. 设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y =2X-1，则下列结果正确的是 ( )
A. q = 0.2 B. E(X)=2, D(X)=1.8
C. E(X)=2, D(X)= 1.4 D. E(Y)=3, D(Y)=7.2
11. 在长方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中, |AB|= |AD|=1, |AA₁|=2,动点P在体对角线BD₁上(含端点)，则下列结论正确的有( )
A. 当P为BD₁中点时, ∠APC为锐角
B. 存在点P, 使得BD₁⊥平面APC
C. [AP|+|PC|的最小值 25
D. 顶点B到平面APC的最大距离为 22
第2页X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
12. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为Pn，则下列结论正确的是 ( )
A.p1=59 B.PX1=2=16
C. 数列 pn−35是等比数列 D. Xn的数学期望 EXₙ=1
三、填空题(本大题共4小题，共20分)
13. 已知直线l的方向向量为 e=−112,，平面α的法向量为 n=122λ−1λ∈R,若l⊥α,则实数λ的值为 .
14. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p), 若E(X)=20, D(X)= 15, 则p = .
15. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biēnà) . 已知在鳖臑P—ABC中, PA⊥平面ABC,PA= AB = BC = 2. M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为 .
16. 赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元).若随机变量ξ₁和ξ₂分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金, 则E(ξ₁)-E(ξ₂)= (元).
四、解答题(本大题共5小题，每小题14分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.已知函数 fx=x³−3x.
(1)求曲线y= f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点(2,-6)的切线方程.
18. 某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
第3页(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)完成题目中的2×2列联表，并通过计算判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
19. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额), 为了研究计算的方便, 记2011年为x =1, 2012年为x=2依次下去, 得到下表：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少?
附：对于线性回归方程 y=bx+â,其中 b=∑i=1nxiyi−nxy∑i=1nxi2−nx2=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2,â=y−bx
20. 如图, 在Rt△AOB中,∠AOB =π/2, AO=4, BO=2, Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在线段AB上.
(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值.
21. 已知函数h(x) =x-alnx(a∈R).
(1)若h(x)有两个零点,a的取值范围;
(2)若方程 xeˣ−alnx+x=0有两个实根x₁、x₂, 且x₁≠x₂, 证明: ex1+x2>e2x1x2.
第4页
满意
不满意
合计
男顾客

10

女顾客

15

合计



P(X²≥k)
0.050
0.010
0.001
, x²=(a+b)n( ad-b)(x²+x)(b+a)°
k
3.841
6.635
10.828
x
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10