2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高二下学期7月期末学业质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高二下学期7月期末学业质量检测数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,m}，B={1,2}.若A∪B={−1,0,1,2}，则实数m的值为( )
A. −1或0B. 0或1C. −1或2D. 1或2
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，a5=16，则S10=( )
A. 1023B. 511C. −1023D. −511
3.设曲线y=ax−ex−1在点x=1处的切线方程为y=2x，则a=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.若x,y∈R，则x>2y>2是x+y>4xy>4成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若双曲线x2−y2m=1的一个焦点为(−3,0)，则m=( )．
A. 2 2B. 8C. 9D. 12
6.在三棱锥S−ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SA⊥AC，BC⊥AC，SA=6，AC= 21，BC=8，则SB的长为( )
A. 8B. 9C. 11D. 12
7.已知M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2(k1⋅k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为e=( )．
A. 55B. 23C. 33D. 32
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M−3,t，MF= 1532则双曲线的离心率为( )
A. 22B. 33C. 52D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是( )
A. 此人第六天只走了5里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里
D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
10.设抛物线C：y2= 2px(p > 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|= 5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A. y2= 4xB. y2= 8xC. y2= 16xD. y2= 2x
11.我们把离心率为e= 5+12的双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图所示，A1、A2是双曲线的实轴顶点，B1、B2是虚轴顶点，F1、F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是( )
A. 双曲线x2−y2 5+1=1是黄金双曲线
B. 若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线
C. 若∠F1B1A2=90∘，则该双曲线是黄金双曲线
D. 若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线
12.已知数列an的前n项和为Sn=33n−n2，则下列说法正确的是( )
A. an=34−2nB. S16为Sn的最小值
C. a1+a2+⋯+a16=272D. a1+a2+⋯+a30=450
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若sinθ+csθ=15，且θ∈(0,π)，则sin(π+θ)+sinπ2+θ= ．
14.已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5=a6+a3，则S7= ．
15.f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1−x)=12.数列{an}满足：an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯⋯+f(n−1n)+f(1)，则an= ．
16.已知函数f(x)=2x3−6x2+3，对任意的x∈[−2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90∘，求线段PQ的中点的轨迹方程．
18.(本小题12分)
已知数列an中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N∗)．
(1)证明：数列1an+12是等比数列;
(2)若数列bn满足bn=n(3n−1)2n⋅an，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−a(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知点A(1,0)，点P是圆C：(x+1)2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与线段CP交于点E．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点O总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围。
21.(本小题12分)
已知等差数列an满足a3=6，前7项和为S7=49.
(Ⅰ)求an的通项公式；
(Ⅱ)设数列bn满足bn=(an−3)⋅3n，求bn的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知函数fx=13x3−x2−3x+bb∈R有极小值−7．
(1)求实数b的值；
(2)求f(x)在区间−3,4上的最大值和最小值．
答案解析
1.D
【解析】解： ∵A=−1,0,m，根据集合中元素的互异性可知，m≠−1,m≠0，
又∵B=1,2,A∪B=−1,0,1,2,∴m=1或m=2
故本题答案选D．
2.A
【解析】解：设数列{an}的公比为q，由题意可得q3=a5a2=8，
则q=2，a1=1
故S10=a1(1−q10)1−q=1×(1−210)1−2=1023．
故选：A．
3.D
【解析】解：y ′=a−ex−1，
∵y′x=1=a−1=2，则a=3．
故选D．
4.A
【解析】
当x>2y>2时，可以得到x+y>4xy>4，充分性；
取x=1,y=5，满足x+y>4xy>4，但是不满足x>2y>2，不必要；
故选：A
5.B
【解析】由双曲线性质：a2=1，b2=m，
∴c2=1+m=9，m=8．
故选：B．
6.C
【解析】如图：建立以A为原点的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(8, 21,0)，S(0,0,6)，
∴SB=SB= (0−8)2+(0− 21)2+(6−0)2=11，
故选：C
7.D
【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点P(x,y),M(x0,y0)，则点N(−x0,−y0)，显然x±x0≠0，

由x2a2+y2b2=1与x02a2+y02b2=1，相减得(x−x0)(x+x0)a2+(y−y0)(y+y0)b2=0，
整理得y−y0x−x0⋅y+y0x+x0=−b2a2，而k1=y−y0x−x0,k2=y+y0x+x0，于是|k1||k2|=b2a2，
因为|k1|+|k2|≥2 |k1||k2|=2ba，当且仅当|k1|=|k2|取等号，因此2ba=1，即ba=12，
椭圆的离心率为e= a2−b2a= 1−(ba)2= 32．
故选：D
8.C
【解析】由题意可知，抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
由M在抛物线的准线上，则−p2=−3，则p=−6，则焦点坐标为F(3,0)，
所以MF= (−3−3)2+t2= 1532，则t2=94，解得t=±32，
双曲线的渐近线方程是y=±bax，将M代入渐近线的方程32=3×ba，即ba=12，
则双曲线的离心率为e=ca= 1+b2a2= 52，故选 C．

9.BCD
【解析】解：设此人第一天行走x里，由题意可得：x+12x+122x+123x+124x+125x=378，化为：1−1261−12x=378，解得x=192．
A.此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；
C.此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确；
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x=8倍，正确．
故选：BCD．
10.AC
【解析】解：抛物线C方程为y2=2px，p>0，
∴焦点F(p2,0)，
设M(x,y)，由抛物线定义可得|MF|=x+p2=5，可得x=5−p2，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心的横坐标为5−p2+p22=52．
由点M到y轴的距离为|MF|−p2=5−p2，
焦点F到y轴的距离为p2，
则MF中点到y轴的距离为52，
又圆半径为12|MF|=52，
据此可知以MF为直径的圆与y轴相切于点(0,2)，
故圆心纵坐标为2，
则M点纵坐标为4，即M(5−p2,4)，
将M(5−p2,4)代入抛物线方程，得p2−10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x，
故选AC．
11.BCD
【解析】解：双曲线x2−y2 5+1=1中，
∵e= 1+ 5+11= 5+2≠ 5+12，
∴双曲线x2−y2 5+1=1不是黄金双曲线，故A不正确；
b2=ac，则e=ca= a2+aca= 1+e，∴e2−e−1=0，
解得e= 5+12，或e=− 5+12(舍)，
∴该双曲线是黄金双曲线，故B正确；
F1，F2为左右焦点，A1，A2为实轴左右顶点，
B1(0,b)，B2(0,−b)，且∠F1B1A2=90°，
∴B1F12+B1A22=A2F12，即b2+2c2=(a+c)2，整理，得b2=ac，
由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确；
MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，∴NF2=OF2，
令双曲线x2a2−y2b2=1中x=c，解得y=±b2a，
∴b2a=c，∴b2=ac，由B知该双曲线是黄金双曲线，故D正确．
故选BCD．
12.AC
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn=33n−n2，n∈N∗
当n=1时，a1=32，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=33n−n2−33(n−1)+(n−1)2=−2n+34，
当n=1时也成立，
∴an=34−2n，故A正确；
由于Sn=33n−n2=−(n−332)2+3324，当n=16或17时，Sn取得最大值，故B错误；
由an=−2n+34≥0，解得n≤17，
∴|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16=16(32+2)2=272，故C正确；
∴|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16−(a17+a18+…+a30)=272−14(0−26)2=454，故D错误．
故选：AC．
13.−75
【解析】sinθ+csθ=15∴sinθ+csθ2=1+2sinθcsθ=125∴sinθcsθ=−1225<0
θ∈(0,π)，故sinθ>0,csθ<0，故sin(π+θ)+sinπ2+θ=csθ−sinθ<0
csθ−sinθ2+csθ+sinθ2=2∴csθ−sinθ=−75
故答案为：−75
14.14
【解析】因为2+a5=a6+a3，
所以2+a1+4d=a1+5d+a1+2d⇒a1+3d=2⇒a4=2，
所以S7=7a1+a72=7a4=14．
故答案为：14．
15.n+14
【解析】解：由题意得，f(0)+f(1)=12，
f(1n)+(n−1n)=12，f(2n)+(n−2n)=12，⋯，
∵an=(0)+f(1n)+f(2n)+⋯f(n−1n)+f(1)，
an=f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+⋯+f(1n)+f(0)，
∴2an=n+12，解得an=n+14．
故答案为n+14．
16.[3,+∞)
【解析】解：f′(x)=6x2−12x=6x(x−2)；
∴当x∈(−2,0)时，f′(x)>0，f(x)在x∈(−2,0)单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在x∈(0,2)单调递减；
∴f(0)=3是f(x)在[−2,2]上的最大值；
∴a≥3；
∴a的取值范围为[3,+∞)．
故答案为：[3,+∞)．
17.解：(1)设线段AP的中点为M(x,y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x−2,2y)，
因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x−2)2+ (2y)2=4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x−1)2+y2=1;
(2)设线段PQ的中点为N(x,y)，则在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+(x−1)2+(y−1)2=4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2−x−y−1=0．
【解析】
(1)设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程;
(2)利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到PN=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．
18.解：(1)证明：由a1=1且an+1=anan+3(n∈N∗)，知an≠0，则1an+1=3an+1，
整理得1an+1+12=3(1an+12)，
又1a1+12=32，
∴数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列；
(2)由(1)知，1an+12=32×3n−1=3n2，
∴an=23n−1，则bn=n2n−1，
∴Tn=1×120+2×121+3×122+⋯+(n−1)·12n−2+n·12n−1，①
Tn2=1×121+2×122+⋯+(n−1)·12n−1+n·12n，②
①−②得，Tn2=120+121+122+⋯+12n−1−n·12n=2−n+22n，
∴Tn=4−n+22n−1．

【解析】
(1)由an+1=anan+3(n∈N∗)，可得1an+1+12=3(1an+12)，然后可得答案；
(2)由(1)可得an=23n−1，bn=n2n−1，然后用错位相减法可算出答案．
19.(1)∵f(x)=xex−a(a∈R)
所以f′(x)=ex−xex(ex)2=1−xex
∴当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0；
即f(x)的单调递增区间是(−∞,1)，单调递减区间是(1,+∞)．
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，
将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，
由(1)知函数y=xex在x=1时有极大值1e，作出其大致图象，

∴实数a的取值范围是0
【解析】(1)首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，结合(1)中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
20.解：(1)由题意知|EP|=|EA|，|CE|+|EP|=2 2，
∴|CE|+|EA|=2 2>2=|CA|，
∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：x22+y2=1 .
(2)设F(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则将直线与椭圆的方程联立得：y=kx+mx2+2y2=2，
消去y，得：(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，
Δ>0，m2<2k2+1①
x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1 ，
因为O在以FQ为直径的圆的内部，
故OF⋅OQ<0，即x1x2+y1y2<0 ，
而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2−2k22k2+1，
由x1x2+y1y2=2m2−22k2+1+m2−2k22k2+1<0，
得：m2<2k2+23，∴m2<23，且满足①式m的取值范围是(− 63, 63)．
【解析】
(1)利用已知条件推出轨迹方程为椭圆，即可得轨迹方程．
(2)设F(x1,y1)，Q(x2,y2)，则将直线与椭圆的方程联立，消去y，利用判别式以及韦达定理，通过数量积小于0，求出m、k的关系式，求出结果即可．
21.解：(Ⅰ)由 S7=7×a1+a72=7a4=49 ，得 a4=7
因为 a3=6 所以 d=1
所以a1=4,an=n+3
(Ⅱ) bn=an−3⋅3n=n⋅3n
所以Tn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n(1)
3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1(2)
由(1)−(2)得：−2Tn=3+32+33+⋯+3n−n×3n+1=3−3n+11−3−n×3n+1
所以Tn=(2n−1)×3n+1+34。
【解析】(1)根据等差数列的求和公式可得 S7=7×a1+a72=7a4=49 ，得 a4=7 ，然后由已知 a3=6 可得公差，进而求出通项；
(2)先明确 bn=an−3⋅3n = n⋅3n ，利用错位相减法求和即可。
22.解：易知：f′(x)=x2−2x−3，由f′(x)=0得：x1=−1或x2=3，
则：x∈(−∞,−1)时：f′(x)>0，f(x)递增，
x∈(−1,3)时：f′(x)<0，f(x)递减，
x∈(3,+∞)时：f′(x)>0，f(x)递增，
(1)函数f(x)在x=3取得极小值−7，即f(3)=13×33−32−3×3+b=−7，
解可得，b=2；
(2)由以上可知函数f(x)在x=−1取得极大值f(−1)=13×(−1)3−1+3+2=113，
又∵f(−3)=−7，f(4)=−143<113，
故所求最小值为−7，最大值为113．
【解析】
(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系可求；
(2)结合导数与单调性、极值及最值的关系可求．