2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若可导函数f(x)满足limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx=4，则f′(3)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则257是这个数列的( )
A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项
3.设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为( )
A. 63B. 64C. 127D. 128
4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1+a2+a3=3.6，a8=0.4，则a1+a2+…+a9=( )
A. 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
5.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种( )
A. 33B. C62⋅C42⋅C22C. C61⋅C52⋅C33⋅A33D. A33+4
7.函数f(x)=sinx−(x+2)csx−1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为( )
A. −2π−3，π+1B. −2π−3，−3
C. −3，π+1D. −3，2
8.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有( )
A. 3125B. 1000C. 1040D. 1020
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (xsinx)′=sinx+xcsxB. (x−1x)′=1+1x2
C. (2x)′=2x⋅ln2D. (xex)′=ex
10.过点(−1,−1)且与曲线y=3x3+2相切的直线方程可能为( )
A. 8x−y+7=0B. 9x−y+8=0C. 9x−4y+5=0D. 8x−3y+5=0
11.将数列{an}中的所有项排成如下数阵：
a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9⋅⋅⋅
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数a1，a2，a5，⋅⋅⋅成等差数列.若a2=2，a10=8，则( )
A. a1=−1B. i=29ai=168
C. a2024位于第45行第88列D. 2024在数阵中出现两次
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}满足a1+a6=12，a4=7，则a3=______.
13.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(1)lnx+x，则f(e)=______.
14.已知首项均为32的等差数列{an}与等比数列{bn}满足a3=−b2，a4=b3，且{an}的各项均不相等，设Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn2−1Sn的最大值与最小值之差的绝对值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，设数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.
(1)共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
17.(本小题15分)
设函数f(x)=x2+(a−2)x−alnx(a∈R).
(1)若a=1，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2(n∈N*)，数列{bn}满足b1=2，bn=3bn−1+2(n≥2,n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn+1}是等比数列；
(3)设数列{cn}满足cn=anbn+1，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，2(Tn+1)≤(n+1)λ恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−exsinx，x∈[0,π2](e为自然对数的底数).
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；
(2)若不等式a≤f(x)≤b对任意x∈[0,π2]恒成立，求实数a−b的最大值；
(3)证明：f(x−1)>1−ex−1sin(x−1)−12(x−32)2.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：limΔx→0f(3+Δx)−f(3)Δx=4，
则f′(3)=4.
故选：D.
根据导数的定义计算可得．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式的应用，考查了判断数列的项的问题．
根据通项公式，令an=257，求出n的值即可求解．
【解答】
解：令an=2n+1=257，
即2n=256，解得n=8，
所以257是数列的第8项，
故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：因为a5=a1q4，即q4=16，
又q>0，所以q=2，
所以S7=1−271−2=127.
故选：C.
先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．
本题考查等比数列的通项公式及前n项公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵{an}为等差数列，
∴a1+a2+a3=3a2=3.6，故a2=1.2，
∴a1+a2+...+a9=92(a1+a9)
=92(a2+a8)=92×(1.2+0.4)=7.2.
故选：C.
根据等差数列性质得a2=1.2，进一步利用a1+a2+...+a9=92(a2+a8)进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题，是中档题.
根据函数y=xf′(x)的图象，依次判断f(x)在区间(−∞,−1)，(−1,0)，(0,1)，(1,+∞)上的单调性即可．
【解答】
解：由函数y=xf′(x)的图象可知：
当x<−1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)增
当−10，f′(x)<0，此时f(x)减
当0当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)增．
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：由题意得，分配方案有三种：第一种方案：两个人各1本，一个人4本，分配的方法数为C31=3；
第二种方案：三个人各2本，分配的方法数为1；
第三种方案：一个人1本，一个人2本，一个人3本，分配的方法数为A33；
因此共有A33+4种方法．
故选：D.
结合排列和组合的定义，根据相同元素的分配问题分类讨论求解即可．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f′(x)=csx−csx+(x+2)sinx=(x+2)sinx，
所以f(x)在区间(0,π)上，f′(x)>0，即f(x)单调递增；
在区间(π,2π)上，f′(x)<0，即f(x)单调递减，
又f(0)=−3，f(2π)=−2π−3，f(π)=π+1，
所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为−2π−3，最大值为π+1.
故选：A.
利用导数求得f(x)的单调区间，从而判断出f(x)在区间[0,2π]上的最小值和最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，
故问题转化为如图A，B，C，D，E五个区域，有5种不同的颜色可用，
要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，
分为以下两类情况：
第一类：A，C，D三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂A，C，D区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有A33种方法，
第二步涂B区域，由于A，C颜色不同，则有3种方法，
第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，
由分步计数原理，则共有3×3×A33=540种方法；
第二类：A，C，D三个区域涂两种不同的颜色，
由于C，D不能涂同一色，则A，C涂一色，或A，D涂同一色，两种情况方法数相同，
若A，C涂一色，
第一步涂A，C，D区域，A，C可看成同一区域，且A，D区域不同色，即涂2个区域不同色，
从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有A52种方法，
第二步涂B区域，由于A，C颜色相同，则有4种方法，
第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，
由分步计数原理，则共有4×3×A52=240种方法；
若A，D涂一色，与A，C涂一色的方法数相同，
则共有2×240=480种方法，
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480=1020种．
故选：D.
根据不相邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可．
本题考查排列、组合的简单应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：(xsinx)′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcsx，故A正确；
对于B：(x−1x)′=(x−x−1)′=(x)′−(x−1)′=1−(−x−2)=1+1x2，故B正确；
对于C：(2x)′=2x⋅ln2，故C正确；
对于D：(xex)′=(x)′ex+x(ex)′=ex+xex=(x+1)ex，故D错误．
故选：ABC.
根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．
本题考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：设切点为(x0,3x03+2)，又y′=9x2，所以y′|x=x0=9x02，
所以曲线y=3x3+2在点(x0,3x03+2)处的切线方程为y−(3x03+2)=9x02(x−x0)，
所以−1−(3x03+2)=9x02(−1−x0)，
整理得(x0+1)2⋅(2x0−1)=0，解得x0=−1或x0=12，
即切线方程为9x−y+8=0或9x−4y+5=0.
故选：BC.
借助导数的几何意义计算即可得．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由第1列数a1，a2，a5，a10，⋯成等差数列，设公差为d，
又由a2=2，a10=8，可得a1+d=2，a1+3d=8，解得a1=−1，d=3，
则第一列的通项公式为ak=−1+(k−1)×3=3k−4，
又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，
可得a2+a3+⋯+a9=2+4+8+5+10+20+40+80=169，所以A正确，B错误；
又因为每一行的最后一个数为a1，a4，a9，a16，⋯，
且452=2025，可得a2024是a2025的前一个数，且a2025在第45行，
因为这一行共有2×45−1=89个数，则a2024在第45行的第88列，所以C正确；
由题设可知第i行第j个数的大小为(3i−4)×2j−1，
令(3i−4)×2j−1=2024=253×23，若j=1，则3i−4=2024即i=676；
若j=2，则3i−4=506即i=170；若j=3，则3i−4=253，无整数解，故D正确．
故选：ACD.
根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】5
【解析】解：根据等差数列的性质，a1+a6=a4+a3=12，解得a3=5.
故答案为：5.
直接利用等差数列的性质求出结果．
本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】−2+e
【解析】解：由f(x)=2f′(1)lnx+x，得f′(x)=2f′(1)x+1，
令x=1，则f′(1)=2f′(1)1+1，解得f′(1)=−1，
所以f(x)=−2lnx+x，f(e)=−2+e.
故答案为：−2+e.
由求导计算公式求出f′(1)，再代入求出f(e)即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】1712
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
由a3=−b2a4=b3，a1=b1=−32，
得32+2d=−32q32+3d=32q2，解得q=−12d=−38，
∴Sn=32[1−(−12)n]1−(−12)=1−(−12)n，
令t=Sn2−1Sn，则t=Sn−1Sn，∵Sn>0，∴t随着Sn的增大而增大，
当n为奇数时，Sn=1+(12)n，Sn随着n的增大而减小，Sn∈(1,32],t∈(0,56]；
当n为偶数时，Sn=1−(12)n，Sn随着n的增大而增大，Sn∈[34,1),t∈[−712,0).
所以，tmin=−712，tmax=56，
因此，Sn2−1Sn的最大值与最小值之差的绝对值等于56−(−712)=1712.
故答案为：1712.
由已知结合等差数列与等比数列的通项公式先求出公比q及公差d，然后结合等比数列的求和公式求出Sn，然后结合数列的单调性即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，还考查了数列单调性的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意可得S1S4=S22，即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，
又a1=1，故d2−2d=0，即d=2或d=0，又d>0，故d=2，
即an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；
(2)bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
故Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1.
【解析】(1)借助等差数列前n项和的性质与等比中项的性质计算求出d值即可得；
(2)bn=12(12n−1−12n+1)，再借助裂项相消法计算即可得．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，等比数列的性质的应用，还考查了裂项求和的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，
共有A55=120种不同的安排方案；
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有A41A44=96种不同的安排方案；
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有A22A44=48种不同的安排方案．
【解析】(1)将5项活动进行全排列，即可求得答案；
(2)先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案；
(3)利用捆绑法，即可求得答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=1时，f(x)=x2−x−lnx,f′(x)=2x−1−1x=2x2−x−1x=(2x+1)(x−1)x，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值为f(1)=0，无极大值；
(2)f′(x)=2x+a−2−ax=(2x+a)(x−1)x，
当a≥0时，2x+a>0，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当0<−a2<1，即−20，解得01，令f′(x)<0，解得−a2∴函数f(x)在(−a2,1)上单调递减，在(0,−a2)，(1,+∞)上单调递增；
当−a2=1，即a=−2时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当−a2>1，即a<−2时，令f′(x)>0，解得0−a2，令f′(x)<0，解得1∴函数f(x)在(1,−a2)上单调递减，在(0,1)，(−a2,+∞)上单调递增；
综上所述，当a≥0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当−2当a=−2时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<−2时，函数f(x)在(1,−a2)上单调递减，在(0,1)，(−a2,+∞)上单调递增；
【解析】(1)代入a的值，求导，判断其单调性，进而得到极值；
(2)对函数f(x)求导，分a≥0，−2本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为Sn=n2(n∈N*)，当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
且n=1时，a1=1也符合上式，
所以an=2n−1；
(2)证明：当n≥2时，由bn=3bn−1+2，所以bn+1=3(bn−1+1)，
依题意知：bn+1≠0，所以bn+1bn−1+1=3bn−1+2+1bn−1+1=3(bn−1+1)bn−1+1=3，
而b1+1=3，所以数列{bn+1}是首项为3，公比为3的等比数列．
(3)因为{bn+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以bn+1=3⋅3n−1=3n，
所以cn=anbn+1=2n−13n，
Tn=c1+c2+⋯+cn=13+332+⋯+2n−13n，①
13Tn=132+333+⋯+2n−33n+2n−13n+1，②
①-②得23Tn=13+232+233+⋯+23n−2n−13n+1=13+232(1−(13)n−1)1−13−2n−13n+1
=23−(2n+23)⋅(13)n，
化简得：Tn=1−(n+1)(13)n，
又因为n∈N*，2(Tn+1)≤(n+1)λ，
所以2(1−(n+1)13n+1)≤(n+1)λ，
所以4−2(n+1)3n≤(n+1)λ，整理得λ≥4n+1−23n，
当n=1，4n+1−23n=43；
当n=2时，4n+1−23n=109<43，
因为n∈N*，当n≥3时，4n+1−23n<4n+1≤1，所以(4n+1−23n)max=43，
故λ∈[43,+∞).
【解析】(1)先求a1，再由公式求an，检验n=1是否成立即可；
(2)证明bn+1bn−1+1为定值即可；
(3)先利用错位相减法得Tn=1−(n+1)(13)n，再参数分离得λ≥4n+1−23n，进而研究数列最值即可．
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=ex−exsinx，x∈[0,π2]，f(0)=e0−e0sin0=1，
则f′(x)=ex−ex(sinx+csx)，f′(0)=e0−e0(sin0+cs0)=0，
所以曲线y=f(x)在x=0处的切点坐标为(0,1)，切线斜率为0，
切线方程为y=1；
(2)f′(x)=ex(1−sinx−csx)=ex[1− 2sin(x+π4)]=− 2ex[sin(x+π4)− 22]，
因为x∈[0,π2]，所以x+π4∈[π4,3π4]，
则sin(x+π4)≥ 22，所以f′(x)≤0，
所以函数f(x)在[0,π2]上单调递减，
所以f(x)max=f(0)=e0−e0sin0=1，f(x)min=f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0，
所以函数f(x)的值域为[0,1]，
若不等式a≤f(x)≤b对任意x∈[0,π2]恒成立，
则实数b−a的最小值为1−0=1，
所以实数a−b的最大值为−1；
(3)证明：f(x−1)=ex−1−ex−1sin(x−1)，
所以f(x−1)−[1−ex−1sin(x−1)−12(x−32)2]=ex−1+12(x−32)2−1，
设h(x)=ex−1+12(x−32)2−1，则h′(x)=ex−1+x−32，
令t(x)=h′(x)=ex−1+x−32，则t′(x)=ex−1+1>0，
所以h′(x)在R上单调递增，
所以e−1213>81256=(34)4，
则有h′(12)=e−12−1<0，h′(34)=e−14−34>0，
故存在x0∈(12,34)，使得h′(x0)=0，即ex0−1=32−x0，
所以当xx0时，h′(x)>0，
即h(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
故当x=x0时，函数h(x)有极小值，且是唯一的极小值，
故函数h(x)min=h(x0)=ex0−1+12(x0−32)2−1=−(x0−32)+12(x0−32)2−1=12(x0−52)2−32，
因为x0∈(12,34)，所以12(x0−52)2−32>12(34−52)2−32=132>0，
故h(x)=ex−1+12(x−32)2−1>0，
所以f(x−1)−[1−ex−1sin(x−1)−12(x−32)2]>0，
即f(x−1)>1−ex−1sin(x−1)−12(x−32)2.
【解析】(1)利用导数求曲线在切点处的切线方程；
(2)求出函数f(x)在x∈[0,π2]时的值域，可求实数a−b的最大值；
(3)依题意，构造函数h(x)=ex−1+12(x−32)2−1，利用导数证明h(x)>0即可．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．