2022-2023学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.25×105B．2.5×105C．2.5×104D．25×104
3．（2分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AC＝1，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．0.618
4．（2分）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
5．（2分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
6．（2分）二次函数y＝﹣x2+5的图象向上平移4个单位，再向右平移3个单位后的解析式（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2+9B．y＝﹣（x+3）2+9
C．y＝﹣（x﹣3）2+4D．y＝﹣（x+3）2+1
7．（2分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
10．（2分）写出一个图象开口向上，对称轴在y轴左侧的二次函数的表达式： ．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明△ABC和△BDC相似，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
14．（2分）点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
15．（2分）函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是 ．
16．（2分）如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 ，的值为 ．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）解不等式组：．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象．
19．（5分）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4，求该二次函数的解析式．
21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．
22．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．
24．（6分）如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
25．（6分）抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），且过点（2，﹣3），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，AB＝4，求BE的长．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝mx2+2以及两点A（﹣3，m）和B（1，m）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线经过点A（﹣3，m），求此抛物线的表达式；
（3）若该抛物线与线段AB只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
28．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）三点．
（1）求抛物线与y轴的交点；
（2）求m，n，p的值（用含有a的代数式表示）；
（3）若mnp＜0，求a的取值范围．
2022-2023学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的只有一个.
1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解．
【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2分）2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.25×105B．2.5×105C．2.5×104D．25×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：250000＝2.5×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AC＝1，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．0.618
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，则AB＝AC，然后利用分母有理化可计算出AB．
【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB，
∴AB＝×1＝．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
4．（2分）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
【分析】根据二次函数的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的一般形式，在y＝ax2+bx+c中正确判断a，b，c的值是解题关键．
5．（2分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，再求出DE的长度即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，
∴＝，
解得：DE＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2分）二次函数y＝﹣x2+5的图象向上平移4个单位，再向右平移3个单位后的解析式（ ）
A．y＝﹣（x﹣3）2+9B．y＝﹣（x+3）2+9
C．y＝﹣（x﹣3）2+4D．y＝﹣（x+3）2+1
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+5的图象向上平移4个单位，再向右平移3个单位后所得图象的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+5+4，即y＝﹣（x﹣3）2+9．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．
7．（2分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．
【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，
点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．（2分）写出一个图象开口向上，对称轴在y轴左侧的二次函数的表达式： y＝x2+2x（答案不唯一） ．
【分析】抛物线开口向上，二次项系数为正，对称轴在y轴的左侧，选择顶点的横坐标为负数即可．
【解答】解：依题意写出抛物线的顶点式：y＝（x+1）2﹣1，即y＝x2+2x．
故答案为：y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题是结论开放型题型，考查了二次函数的性质，通过开口方向，对称轴的位置反映的数量关系写二次函数解析式．
11．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣1）2+2 ．
【分析】根据配方法的操作整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3，
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
所以，y＝（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明△ABC和△BDC相似，这个条件可以是 ∠A＝∠CBD （写出一个即可）．
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【解答】解：添加∠A＝∠CBD，
理由如下：∵∠A＝∠CBD，∠ACB＝∠BCD，
∴△ABC∽△BDC，
故答案为：∠A＝∠CBD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13．（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．（2分）点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可．
【解答】解：把A（﹣1，y1）、B（4，y2）代入二次函数y＝（x﹣1）2得，
y1＝（﹣1﹣1）2＝4；y2＝（4﹣1）2＝9，
所以y1＜y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．
15．（2分）函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是 ﹣1 ．
【分析】直接根据函数的图象顶点坐标求出该函数在所给自变量的取值范围内的最小值即可．
【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∵此抛物线开口向上，
∴此函数有最小值，最小值为﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．
16．（2分）如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 10 ，的值为 ．
【分析】由已知求得CD＝3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BE+DE+BD＝8，DF+CF+CD＝10，再证明△BED∽△CDF，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD＝2，
∴BD＝6，
由折叠的性质可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝60°，
∴AE+DE+AD＝AC+AD＝10，即△AED周长为10，
故答案为：10；
∴DF+BF+BD＝BC+BD＝14，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠FDB+∠EDA＝∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∵∠B＝∠A＝60°，
∴△AED∽△BDF，
∴（AE+DE+AD）：（DF+BF+BD）＝DE：DF＝CE：CF，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式x﹣1＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象．
【分析】（1）通过配方法把y＝x2+4x+3变为y＝（x+2）2﹣1，即可求出答案．
（2）先列表，再描点即可画函数图象．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）列表：
描点、连线：
【点评】本题考查二次函数的性质和图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的画法．
19．（5分）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠B，＝，把已知数据代入比例式求出AC，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出DC．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴∠ACD＝∠B，＝，即＝，
解得，AC＝，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝BD＝3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4，求该二次函数的解析式．
【分析】设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式．
【解答】解：∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则∠ABC＝ 135 °，BC＝ 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．
【分析】（1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论：△ABC∽△DEF．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】解：（1）观察图象可知，∠ABC＝135°，BC＝＝2．
（2）结论：△ABC∽△DEF．
理由：∵AB＝2，BC＝2，DE＝，EF＝2，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】本题考查系数是局限性的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当‑4＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣1时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．
【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明△DAF∽△AEB，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝∠DAB＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠B＝90°，
∴△DAF∽△AEB，
∴，
∴＝，
∴DF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
24．（6分）如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上，这样便于表达草坪的长（80﹣x）m，宽（60﹣x）m，列出函数关系式．
【解答】解：由题意得：
y＝（80﹣x）（60﹣x），
＝x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
所以函数关系式为：
y＝x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
【点评】本题是用矩形面积公式表示函数关系式．
25．（6分）抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），且过点（2，﹣3），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，再把（2，﹣3）代入解析式求出a即可；
（2）根据（1）的解析式，求出A，B，C坐标，再用分割法求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入解析式得：﹣3＝a（2﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴该抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
如图：连接OD，
∴S四边形ABCD＝S△ACO+S△DCO+S△BOD＝OA•OC+OC•xD+OB•|yD|＝×1×3+×3×1+×3×|﹣4|＝9．
∴四边形ABCD的面积为9．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是求函数解析式．
26．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果BD＝3，BC＝9，AB＝4，求BE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出∠A＝∠C，结合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可证出△BDF∽△BCD；
（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用相似三角形的性质及AB＝DC即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠A，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠DBF＝∠CBD，
∴△BDF∽△BCD；
（2）解：∵△BDF∽△BCD，
∴＝，
即＝，
∵BF＝5，
∵DC∥AE，
∴△DFC∽△EFB，
∴＝，
即＝，
又∵AB＝CD＝4，
∴BE＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△BDF∽△BCD；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝mx2+2以及两点A（﹣3，m）和B（1，m）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线经过点A（﹣3，m），求此抛物线的表达式；
（3）若该抛物线与线段AB只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝mx2+2，即可求该抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线经过点A（﹣3．m），即可求此抛物线的表达式；
（3）根据抛物线与线段AB只有一个公共点，结合图象，即可求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为：y＝mx2+2，
∴顶点坐标为（0，2）；
（2）∵抛物线经过点A（﹣3．m），
∴，
∴此抛物线的表达式；
（3）如图1抛物线顶点在线段AB上时，m＝2；
如图2抛物线经过点A时，．
综上：m＝2或．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象解答．
28．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）三点．
（1）求抛物线与y轴的交点；
（2）求m，n，p的值（用含有a的代数式表示）；
（3）若mnp＜0，求a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）将（2，n）代入解析式求解；
（3）将A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）代入解析式，求出m，n，p与a的关系，分类讨论a＞0，a＜0时满足mnp＜0的条件，进而求解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝ax2﹣4ax+2＝2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，2）；
（2）将A（﹣1，m）代入y＝ax2﹣4ax+2得，
m＝a+4a+2＝5a+2．
将B（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得，
n＝4a﹣8a+2＝﹣4a+2．
将C（3，p）代入y＝ax2﹣4ax+2得，
p＝9a﹣12a+2＝﹣3a+2；
（3）∵y＝ax2﹣4ax+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4a+2），
当a＜0时，抛物线开口向下，
若mnp＜0，
则n＞0，p＞0，m＜0，
∴5a+2＜0，
解得a＜﹣，
当a＞0时，抛物线开口向上，
若mnp＜0，
则n＜0，p＞0，m＞0，
∴，
解得，
综上所述，a＜﹣或．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
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