2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
4．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，原方程可以变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝15
5．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣4，2）
6．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90°B．80°C．50°D．30°
7．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b﹣c＝0D．﹣a+b+c＝0
8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
9．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）三点，下面四个结论中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．当x＝2时，y取最小值﹣1
C．当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根
D．直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜4
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标为 ．
12．已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是（0，3），则这个二次函数的表达式可以是 ．
13．二次函数y＝﹣﹣4x+5的图象的对称轴是直线x＝ ．
14．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x1+x2＝ ．
15．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1 y2（填“＞”，“＞”或“＝“）．
16．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最 （填“大”或“小”）值为 ．
17．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是 cm．
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④5a＜b．其中，正确的是 ．
三、解答题
19．按要求解下列方程
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2﹣4x﹣2＝0（公式法）．
20．用恰当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2﹣6x﹣7＝0；
（3）2x2+x﹣1＝0．
21．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出二次函数的对称轴与顶点坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当0＜x＜4时，y的取值范围是 ．
22．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠EAB＝∠DAC；
（2）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
23．已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式．
24．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）求线段AB1的长度．
25．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
26．如图，在长30m，宽20m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为551m2，求所修建道路的宽度．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
28．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
29．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
30．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；
（2）在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H＝90°．
（3）在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．
2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
【分析】找出所求的系数及常数项即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣6，﹣1．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
4．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，原方程可以变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝15
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
移项得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，2）D．（﹣4，2）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
6．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90°B．80°C．50°D．30°
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，即可得到∠A′＝40°，再有∠B′＝110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′＝50°，即可得到∠BCA′的度数．
【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠A′＝40°，
∵∠B′＝110°，
∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝50°，
∴∠BCA′＝30°+50°＝80°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可得到一些对应角相等．
7．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b﹣c＝0D．﹣a+b+c＝0
【分析】将x＝﹣1代人方程后即可得到正确的选项．
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴a﹣b+c＝0，
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程左右两边相等，难度不大．
8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．
9．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）三点，下面四个结论中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．当x＝2时，y取最小值﹣1
C．当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根
D．直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜4
【分析】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+1，画出函数图象，进而求解．
【解答】解：A．将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+1，
函数图象如下：
∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；
B．抛物线开口向上，则x＝﹣＝时，取得最小值，
当x＝时，y＝x2﹣3x+1＝﹣，
故B错误，不符合题意；
C．由B知，函数的最小值为﹣＜﹣1，
故m＞﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有两个交点，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根，
故C正确，符合题意；
D．观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，
当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是（0，3），则这个二次函数的表达式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】由抛物线顶点为（0，3）可得y＝ax2+3，由抛物线开口向下可得a＜0．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+3，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴y＝﹣x2+3符合题意，
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13．二次函数y＝﹣﹣4x+5的图象的对称轴是直线x＝ ﹣4 ．
【分析】将抛物线解析式转化为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣﹣4x+5＝，
∴对称轴为x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了抛物线的顶点式的确定方法，顶点式与对称轴及顶点坐标的关系，需要熟练掌握这些性质．
14．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x1+x2＝ 4 ．
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝4．
【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
15．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＞”或“＝“）．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据两点与对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵|﹣2﹣0|＞|1﹣0|，
∴点（1，y2）到y轴距离小于点（﹣2，y1）到y轴距离，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
16．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最 小 （填“大”或“小”）值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标可得答案．
【解答】解：∵x＝1、x＝3时，y的值相同，都为0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∴顶点为（2，﹣1），
∴二次函数有最小值，是﹣1，
故答案为：小；﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数的图象具有对称性．
17．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是 5 cm．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：在直角△AOE中，AE＝4cm，OE＝3cm，根据勾股定理得到OA＝5，则⊙O的半径是5cm．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④5a＜b．其中，正确的是 ①③④ ．
【分析】①由图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，可对①进行判断；
②由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x＝＝﹣1，可以②进行分析判断；
③由x＝1时，由图象可知y＝0，可对③进行分析判断；
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，即可对④进行判断．
【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a+b＝4a，a≠0，故②错误；
③∵x＝1时，
由图象可知y＝0，故③正确；
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
三、解答题
19．按要求解下列方程
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2﹣4x﹣2＝0（公式法）．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．用恰当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2﹣6x﹣7＝0；
（3）2x2+x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣16＝0，
（x﹣1）2＝8，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝1+2，x2＝1﹣2，
（2）x2﹣6x﹣7＝0，
（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x﹣7＝0或x+1＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣1；
（3）2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出二次函数的对称轴与顶点坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当0＜x＜4时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜8 ．
【分析】（1）将二次函数解析式为顶点式求解．
（2）通过二次函数解析式作图．
（3）将x＝0，x＝4分别代入函数解析式求出对应函数值，结合图象求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣1）．
（2）如图，
（3）将x＝0代入y＝x2﹣6x+8得y＝8，
∴0＜x＜4时，﹣1≤y＜8，
将x＝4代入y＝x2﹣6x+8得y＝0，
故答案为：﹣1≤y＜8，
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠EAB＝∠DAC；
（2）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案，
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EAB＝∠DAC；
（2）证明：由（1）知，△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC；
（3）解：如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
∵△EAB≌△DAC
∴∠AEB＝∠ADC＝105°．
∴∠BED＝45°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．
23．已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式．
【分析】根据函数图象知，该函数经过点（3，0）（﹣1，0）（0，﹣1）．所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式．
【解答】解：由对称性，函数图象与x轴另一个交点为（﹣1，0），
设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将（0，﹣1）代入，解得：a＝，
∴二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即二次函数解析式为 y＝2﹣x﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
24．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）求线段AB1的长度．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）利用（1）所画图形确定点A1和点B1的坐标；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）A1（0，1），B1（﹣2，2）；
（3）线段AB1的长度＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
25．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个实数根得Δ＝b2﹣4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
（2）由（1）知m＝2，得出方程，再用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣1）×2＝﹣8m+17，
依题意，得
解得且m≠1；
（2）∵m为正整数，
∴m＝2，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0．
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
26．如图，在长30m，宽20m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为551m2，求所修建道路的宽度．
【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【解答】解：假设修建的路宽应x米，
利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x2﹣50x+49＝0，
解得：x1＝1，x2＝49（不合题意舍去），
答：所修建道路的宽度为1m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，
∵Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∵方程的两个根均为负数，
∴
解得a＜﹣1．
∴a的取值范围为a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
28．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
【分析】（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2），故当x＝1时，y取得最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
则函数表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）
a＝﹣＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
29．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴直线x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴直线x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a的取值范围为a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是分类讨论和数形结合的思想方法．
30．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；
（2）在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H＝90°．
（3）在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据要求画出图形，即可得出结论；
（2）由旋转的性质可得AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，由“SAS”可证△AQD≌△APB，可得PB＝QD，∠AQD＝∠APB，由平角的性质和四边形内角和定理可得∠QHP＝90°，即可得出结论；
（3）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：（1）补全图形如图1：
（2）如图1，延长BP，QD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，
∴∠QAD＝∠BAP，
∴△AQD≌△APB（SAS），
∴PB＝QD，∠AQD＝∠APB，
∵∠APB+∠APH＝180°，
∴∠AQD+∠APH＝180°，
∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠H＝360°，
∴∠H＝90°；
（3）DP2+DQ2＝2AB2．
证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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