2022-2023学年北京市朝阳区日坛中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区日坛中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（ ）
A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°
4．（3分）方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝3时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝4D．（x﹣1）2＝4
6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．抛物线的对称轴是y轴
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当x＜3时，y随x增大而增大
7．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4B．5C．7D．9
8．（3分）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m≤0B．﹣3≤m≤﹣1C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m≤0
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则k的值等于 ．
10．（2分）如果方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是 ．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °．
13．（2分）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米，请问当垂直于墙的一边的长为 米时，花圃的面积有最大值，最大值是 ．
14．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解为 ．
15．（2分）如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为 ．
16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ．
三、解答题（本题共60分，第17-24题每小题5分；第25题6分，第26-27每小题5分）
17．（5分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；
（2）在（1）的条件下，
①点A经过的路径AA'的长度为 （结果保留π）；
②点B'的坐标为 ．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．那么该抛物线在直线AB下方的部分与线段AB组成的图形内部（不包括边界）的整点个数为 ．
20．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
22．（5分）某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为9000人，六月份的骑游人数约为16000人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到0.01）．
23．（5分）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE；
（3）若BC＝5，CD＝4，求BE长．
24．（5分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
25．（6分）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝4．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围．
26．（7分）在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD．
（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N（2，2），点N在线段OM的延长线上，若点P（2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T．求证：；
（2）⊙O的半径为t，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，若点N与点O重合，P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”．当点M在⊙O上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积 （用含t的式子表示）．
2022-2023学年北京市朝阳区日坛中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，
∴OP＜3cm．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（ ）
A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°
【分析】根据垂直求出∠AOB＝90°，根据圆周角定理得出∠C＝AOB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝AOB＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直定义和圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠C＝AOB是解此题的关键．
4．（3分）方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝3时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝4D．（x﹣1）2＝4
【分析】配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．抛物线的对称轴是y轴
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当x＜3时，y随x增大而增大
【分析】将表格内点坐标代入y＝ax2+bx+c中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x，
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意；
B．∵图象对称轴为直线x＝1，
故B错误，不符合题意；
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，
故C正确，符合题意；
D．∵图象对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大
∴x＜3时，y随x不全是增大，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解．
7．（3分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
8．（3分）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m≤0B．﹣3≤m≤﹣1C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m≤0
【分析】先求出顶点坐标，再确定顶点横、纵坐标的取值范围，解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M（m，﹣m+1），
∵A（﹣3，0），C（0，2），顶点M在矩形OABC内部或其边上
∴，
解得：﹣1≤m≤0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是确定二次函数顶点横纵坐标的取值范围．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则k的值等于 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1﹣3+k＝0，
解得k＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2分）如果方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 m＜1且m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝4﹣4m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴4﹣4m＞0且m≠0，
∴m＜1且m≠0，
故答案为：m＜1且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是 60° ．
【分析】根据垂径定理求出＝，求出、、的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
即、、的度数是＝120°，
∴∠ACD＝°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是进而此题的关键．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ 130 °．
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，则∠B＝90°﹣40°＝50°．根据圆内接四边形的对角互补求得∠ADC＝180°﹣50＝130°．
【解答】解：连接BC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论．解题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的对角互补的性质．
13．（2分）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米，请问当垂直于墙的一边的长为 8 米时，花圃的面积有最大值，最大值是 128 ．
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，可得S＝（32﹣2x）x＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32﹣2x）米，
根据矩形面积公式可得：S＝（32﹣2x）x＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∵﹣2＜0，
∴当x＝8时，靠墙一边32﹣2x＝16＜20，S有最大值，最大面积为128．
答：当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128米2，
故答案为：8，128．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
14．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解为 x1＝﹣5，x2＝1 ．
【分析】由抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的交点可得抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k与x轴的交点坐标，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k是由抛物线线y＝a（x﹣h）2+k向左平移3个单位所得，且物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k与x轴交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∴x1＝﹣5，x2＝1为方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解，
故答案为：x1＝﹣5，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象平移的规律，掌握二次函数与方程的关系．
15．（2分）如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为 30° ．
【分析】由旋转的性质得出AC＝AC'，∠CAC'＝α，由三角形的内角和定理求出∠AC'C的度数，由等边三角形的性质得出AB＝AC'，由等腰三角形的性质求出∠AC'B的度数，则可得出答案．
【解答】解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AB＝AC'，
∴∠AC'B＝＝60°﹣，
∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲 ．
【分析】先判断，丙购4票（3124）后，左余6座，右余5座，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，
此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，
即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，
①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，
即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），
或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）；
②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，
此时，四个人购买的票全在第一排，
即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13），
或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13），
因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，
故答案为：丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．
【点评】此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．
三、解答题（本题共60分，第17-24题每小题5分；第25题6分，第26-27每小题5分）
17．（5分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；
（2）在（1）的条件下，
①点A经过的路径AA'的长度为 （结果保留π）；
②点B'的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B'的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 （3，0） ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．那么该抛物线在直线AB下方的部分与线段AB组成的图形内部（不包括边界）的整点个数为 7 ．
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）；
（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象；
（3）通过观察图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）；
（2）将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
图象如下：
（3）由图象可得：该抛物线在直线AB下方的部分与线段AB组成的图形内部（不包括边界）的整点个数为7个，
故答案为：7．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．
20．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
22．（5分）某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为9000人，六月份的骑游人数约为16000人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到0.01）．
【分析】设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为x，根据四月份及六月份的骑游人数，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为x，
根据题意得：9000（1+x）2＝16000，
解得：1+x＝±，
∴x1＝0.33＝33%，x2＝﹣0.67（舍去）．
答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为33%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
23．（5分）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE；
（3）若BC＝5，CD＝4，求BE长．
【分析】（1）连接BD，由AB＝CB，AD＝CD，根据等腰三角形的“三线合一”证明BD⊥AC，则∠ADB＝90°，所以AB是⊙O的直径；
（2）根据圆周角定理证明∠E＝∠A，根据“等边对等角”得∠C＝∠A，所以∠E＝∠C，则DC＝DE；
（3）可由∠E＝∠A，∠C＝∠C，证明△EDC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例求CE的长，再由BE＝CE﹣BC求BE的长；也可以作DF⊥BC于点F，由勾股定理求得BD＝3，再列面积等式BC•DF＝CD•BD＝S△BCD，则DF＝＝＝，所以CE＝2×＝，则BE＝CE﹣BC＝．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB＝CB，AD＝CD，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
（2）证明：∵∠E＝∠A，∠C＝∠A，
∴∠E＝∠C，
∴DC＝DE．
（3）解法一：∵∠E＝∠A，∠C＝∠C，
∴△EDC∽△ABC，
∵BC＝5，CD＝4，
∴＝＝，CA＝2CD＝8，
∴CE＝×8＝，
∴BE＝CE﹣BC＝﹣5＝，
∴BE长是．
解法二：作DF⊥BC于点F，则∠CFD＝90°，
∵∠BDC＝90°，BC＝5，CD＝4，
∴BD＝＝3，
∵BC•DF＝CD•BD＝S△BCD，
∴DF＝＝＝，
∴CF＝＝，
∴BE＝CE﹣BC＝2×﹣5＝，
∴BE长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（5分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）当y＝1.6时，﹣x2+x+＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
25．（6分）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝4．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，分别求解即可．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝9a﹣12a+4a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为二次函数y＝2x2﹣8x+7；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵y＝2x2﹣8x+7＝2（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴是直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
∵x2﹣x1＝4，
∴x1＝0，x2＝4，
当x＝0时，y1＝2×（0﹣2）2﹣1＝7，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝7+1＝8；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+4＞2，≤2，
∴x1＞﹣2，
∵x2﹣x1＝4，
∴x1≤0，
∴﹣2＜x1≤0，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∵4≤（x1﹣2）2＜16，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，
∴x1＜2，≥2，
∵x2﹣x1＝4，
∴x1≥0，
∴0≤x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴4≤（x1+2）2＜16，
∴＜a≤．
综上所述，a的取值范围是＜a≤．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（7分）在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD．
（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）将CA和BA延长，则D点∠D1AD2内部；
（2）①在（1）基础上，取一点D，画出图形；
②作∠ACG＝∠D交AE于G，证明△ADF≌△ACG，从而得出AE＝AF+GE，计算得出∠CGE＝∠ECG，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
从图可得：120°＜α＜180°；
（2）①如图2，
②如图3，
AE＝AF+CE，理由如下：
作∠ACG＝∠D交AE于G，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠D，
设∠ABD＝∠D＝∠ACG＝β，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴AD＝AC，
在△ADF和△ACG中，
，
∴△ADF≌△ACG（ASA），
∴AF＝AG，
∴AE＝AG+GE＝AF+GE，
在△BDE中，
∠BED＝180°﹣∠D﹣∠DBE＝180°﹣β﹣（60°+β）＝120°﹣2β，
∴∠CGE＝∠BED﹣∠ECG＝（120°﹣2β）﹣（60﹣β）＝60°﹣β，
∴∠CGE＝∠ECG，
∴EG＝CE，
∴AE＝AF+CE．
【点评】本题考查了根据条件画图，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N（2，2），点N在线段OM的延长线上，若点P（2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T．求证：；
（2）⊙O的半径为t，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，若点N与点O重合，P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”．当点M在⊙O上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积 πt2 （用含t的式子表示）．
【分析】（1）①根据定义求出点P′，点Q的坐标，画出图形即可；
②连接QN，PM，证明四边形PMQN是平行四边形，可得结论；
（2）根据题意画出图形，可得结论．
【解答】（1）①解：图形如图1所示：
②证明：连接QN，PM．
由题意P′（3，1），Q（1，3），
∵P（2，0），N（2，2），M（1，1），
∴QM＝PN＝2，QM∥PM，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∴MT＝NT，
∴NT＝MN；
（2）解：如图2中，观察图象可知，点Q的运动轨迹是半径为t的圆，点Q所构成的图形的面积＝πt2．
故答案为：πt2．
【点评】本题属于圆综合题，考查圆有关的性质，中心对称，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
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