2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1和3B．1和﹣3C．0和﹣1D．﹣3和﹣1
2．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣9
3．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（ ）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0
4．（2分）抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝x2的图象开口最大的是（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣3x2C．y＝x2D．无法确定
5．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
6．（2分）解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（ ）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
7．（2分）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k≠0
8．（2分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x﹣1）＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
10．（2分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．＞1B．0＜＜1
C．＞1D．0＜＜1
二、填空题（共8小题；共16分）.
11．（2分）方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是 ．
12．（2分）将函数y＝﹣2x2+5的图象向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可以得到函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象．
13．（2分）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
14．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
15．（2分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
16．（2分）抛物线y＝（k+1）x2+k2﹣9开口向下，且经过原点，则k＝ ．
17．（2分）方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是 ．
18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．
其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（共10小题；19题8分，20-26，每题6分，27、28每题7分，共64分）.
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x+5＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B．（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标．
22．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣1≤x≤2时，结合图象直接写出函数y的取值范围；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．
23．（6分）秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形水面宽度AB＝10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．
24．（6分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
25．（6分）探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习．我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索y＝的图象和性质．
（1）在平面直角坐标系中，画出函数y＝的图象．
①列表填空：
②描点、连线，画出y＝的图象；
（2）结合所画函数图象，写出y＝两条不同类型的性质；
① ；② ．
知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ．
（4）不等式＞2的解集是 ．
26．（6分）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；
（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0有两个不相等的整数根，把抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．
27．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？
2021-2022学年北京市西城区宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题；共20分）
1．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1和3B．1和﹣3C．0和﹣1D．﹣3和﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为1和﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
2．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣9
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
3．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（ ）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0
【分析】根据抛物线开口方向以及与y轴的交点情况即可进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，故选项A、B、D错误，选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
4．（2分）抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝x2的图象开口最大的是（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣3x2C．y＝x2D．无法确定
【分析】抛物线的开口大小由|a|确定，先求每一个二次函数的|a|，再比较大小．
【解答】解：∵|﹣3|＞|1|＞||，
∴抛物线y＝x2，的图象开口最大．故选A．
【点评】应识记：抛物线的开口大小由|a|确定：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
5．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
【分析】先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（5，0），
所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，准确识图并求出抛物线与x轴的另一交点的坐标是解题的关键．
6．（2分）解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（ ）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【分析】根据各方程的特点逐一判别即可．
【解答】解：①3x2﹣27＝0适合直接开平方法；
②x2﹣3x﹣1＝0适合公式法；
③（x+2）（x+4）＝x+2适合因式分解法；
④2（3x﹣1）2＝3x﹣1适合因式分解法；
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（2分）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k≠0
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
8．（2分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x﹣1）＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，该抛物线顶点的纵坐标是：y＝（1+1）×（1﹣3）＝﹣4，
∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，
∴m＝＝8，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．（2分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．＞1B．0＜＜1
C．＞1D．0＜＜1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
二、填空题（共8小题；共16分）.
11．（2分）方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是 x2+4x﹣8＝0 ．
【分析】方程去括号，移项合并，整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：x2+4x﹣8＝0，
故答案为：x2+4x﹣8＝0．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．（2分）将函数y＝﹣2x2+5的图象向 右 平移 1 个单位长度，再向 下 平移 2 个单位长度，可以得到函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象．
【分析】分别求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的变化解答．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+5的顶点坐标是（0，5），抛物线线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，5）向右平移1个单位，再向下是平移2个单位得到（1，3），
即将函数y＝﹣2x2+5的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为：右，1，下，2．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（2分）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 5 米．
【分析】开口向下的抛物线的顶点坐标即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝x2+2 ．
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
15．（2分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 y＝50（1+x）2 ．
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
【解答】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为y＝50（x+1）2．
故答案为：y＝50（x+1）2．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键．
16．（2分）抛物线y＝（k+1）x2+k2﹣9开口向下，且经过原点，则k＝ ﹣3 ．
【分析】因为开口向下，所以a＜0，即k+1＜0；把原点（0，0）代入y＝（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验．
【解答】解：把原点（0，0）代入y＝（k+1）x2+k2﹣9中，得
k2﹣9＝0，解得k＝±3
又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1
所以k＝﹣3．
【点评】主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
17．（2分）方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是 2 ．
【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得x与a的关系，故可以解得公共解x，然后求出a．
【解答】解：∵方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1＝0，
∴（a+1）（x+1）＝0，
解得，x＝﹣1，
当x＝﹣1时，
a＝x2﹣x＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值．
18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．
其中正确的结论有 ③、④、⑤ ．（填序号）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
所以错误；
②当x＝﹣1时，由图象知y＜0，
把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴②错误；
③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0．
∴③正确；
④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，
∴2c＜3b，④正确；
⑤∵x＝1时，y＝a+b+c（最大值），
x＝m时，y＝am2+bm+c，
∵m≠1的实数，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b）成立．
∴⑤正确．
故正确结论的序号是③，④，⑤．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答题（共10小题；19题8分，20-26，每题6分，27、28每题7分，共64分）.
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x+5＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×5＝﹣31＜0，
∴方程无实数根；
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
则x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴；
（3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），
∴﹣4＝9a+12+2，
解得：a＝﹣2，
∴a的值为﹣2；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
（3）∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B．（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（2m﹣1）＞0，然后解不等式即可；
（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0可得到A、B点的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（2m﹣1）＞0，
解得m＜；
（2）m的最大整数为2，
抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以A（1，0），B（3，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
22．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣1≤x≤2时，结合图象直接写出函数y的取值范围；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据配方法把二次函数配方即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标即可画出图象；
（3）根据x的取值范围和二次函数的最低点即可求解；
（4）根据二次函数与直线没有交点，可知判别式小于0即可求解．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8；
（2）列表：
描点，画出函数y＝2x2﹣4x﹣6的图象如图：
（3）观察图象知：
当x＝﹣1时，y＝0，顶点坐标为（1，﹣8）
即函数的最小值为﹣8，
所以当﹣1≤x≤2时，函数y的取值范围﹣8≤y≤0．
（4）2x2﹣4x﹣6＝k，整理得：
2x2﹣4x﹣6﹣k＝0，
∵△＝16+8（6+k）＝64+8k．
即64+8k＜0，即k＜﹣8．
∴直线y＝k与抛物线没有交点时，k＜﹣8．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数上点的坐标特征，解决本题的关键是观察函数图象解决问题．
23．（6分）秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形水面宽度AB＝10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．
【分析】（1）以AB的中点为原点，建立如下的坐标系，则点C（0，6），点B（5，0），设函数的表达式为：y＝ax2+c＝ax2+6，即可求解；
（2）设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：2，当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×4+6＝＝5.04，4.5＜5.04，故边沿可以安全通过，此时船的顶部高为4.5，4.5+0.5＝5＜6，故顶部通过符合要求，即可求解．
【解答】解：（1）以AB的中点为原点，建立如下的坐标系，
则点C（0，6），点B（5，0），
设函数的表达式为：y＝ax2+c＝ax2+6，
将点B的坐标代入上式得：0＝25a+6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6；
（2）设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：2，
当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×4+6＝＝5.04，
4.5＜5.04，故边沿可以安全通过，
此时船的顶部高为4.5，4.5+0.5＝5＜6，故顶部通过符合要求，
故这艘游船能安全通过玉带桥．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．首先要吃透题意，确定变量，建立适当的坐标系，确立函数表达式，再结合实际问题，确定变量的值进而求解．
24．（6分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）设每个面包的利润为（x﹣5）角．
（2）依题意可知y与x的函数关系式．
（3）把函数关系式用配方法可解出x＝10时y有最大值．
【解答】解：（1）每个面包的利润为（x﹣5）角
卖出的面包个数为[160﹣（x﹣7）×20]）（4分）
（2）y＝（300﹣20x）（x﹣5）＝﹣20x2+400x﹣1500
即y＝﹣20x2+400x﹣1500（8分）
（3）y＝﹣20x2+400x﹣1500＝﹣20（x﹣10）2+500（10分）
∴当x＝10时，y的最大值为500．
∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．（12分）
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．本题难度一般．
25．（6分）探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习．我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索y＝的图象和性质．
（1）在平面直角坐标系中，画出函数y＝的图象．
①列表填空：
②描点、连线，画出y＝的图象；
（2）结合所画函数图象，写出y＝两条不同类型的性质；
① 当x＜0时，y随x的增大而增大 ；② 当x＞0时，y随x的增大而减小 ．
知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ 0 ．
（4）不等式＞2的解集是 ﹣＜x＜0或0＜x＜． ．
【分析】（1）①利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，②利用描点法画出图象即可．
（2）观察图象可知：①当x＜0时，y随x的增大而增大．②当x＞0时，y随x的增大而减小．
（3）由题意可知，A、B关于y轴对称，所以a、b互为相反数，由此即可解决问题．
（4）利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）①x＝﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3时对应的函数值为，，1，2，1，，．
故答案为，，1，2，1，，．
②y＝d的图象如图所示，
（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大．②当x＞0时，y随x的增大而减小．
（3）∵点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，
∴A、B关于y轴对称，
∴a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
故答案为0．
（4）由图象可知，不等式＞2的解集是﹣＜x＜0或0＜x＜．
故答案为﹣＜x＜0或0＜x＜．
【点评】本题考查函数的图象与性质，解题的关键是掌握画函数图象的步骤，学会利用图象解决问题，所以中考常考题型．
26．（6分）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；
（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0有两个不相等的整数根，把抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得：m≠0，m﹣1≠0，再整理即可；
（2）方法一：由（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，得出x＝，再由x1＝＝﹣1，即可得出抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过定点（﹣1，0）；
方法二：根据题意得出y＝（x2+x）m﹣（x2+2x+1），得出x2+x＝0，求出x的值，再分别讨论，即可得出答案；
（3）由是整数，得出m是整数，且m≠0，m≠1，则m＝2，求出抛物线为y＝x2﹣1，再写出把它的图象向右平移3个单位长度的解析式即可．
【解答】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣2）2+4（m﹣1）＝m2＞0，
∴m≠0，
∵是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m的取值范围是m≠0且m≠1的实数；
（2）方法一：证明：令y＝0得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝＝﹣1，x2＝＝，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（，0），
∴无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过定点（﹣1，0）；
方法二：y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，
＝mx2﹣x2+mx﹣2x﹣1
＝（x2+x）m﹣（x2+2x+1），
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
当x＝0时，y＝1，定点为（0，1），
当x＝﹣1时，y＝0，定点为（﹣1，0）．
（3）解：∵x＝﹣1是整数，
∴只需是整数，
∵m是整数，且m≠0，m≠1，
∴m＝2，
当m＝2时，抛物线为y＝x2﹣1．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+8．
【点评】此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数与坐标轴的交点、二次函数的移动、根的判别式、一元二次方程的定义，关键是根据有关定义和公式列出算式．
27．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝，
设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，＝，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（0，3），
②当AC＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），
③当AE＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣，
∴E（0，﹣），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2或t＝1﹣2，
∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？
【分析】（1）根据有界函数的定义即可得出函数y＝ （x＞0）不是有界函数、函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数，再代入x＝﹣4和x＝2即可得出其边界值；
（2）根据一次函数的性质可得出函数y＝﹣x+1是单减函数，结合函数的最大值为2即可得出a的值，再代入b的值结合有界函数的定义以及该函数的边界值即可得出关于b的一元一次不等式组，解不等式组即可得出b的取值范围；
（3）当m＞1时，代入x＝0即可得出y＝﹣m，由≤t≤1可得出此种情况不存在，从而得出m≤1，结合二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征找出原函数横坐标为﹣1和0时，y的值，根据平移的性质即可得出平移后的函数的最值，根据有界函数的定义以及其边界值≤t≤1，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，此题得解．
【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y＝ （x＞0）不是有界函数；
函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．
∵﹣4+1＝﹣3，2+1＝3，
∴y＝x+1（﹣4＜x≤2）边界值为3．
（2）∵k＝﹣1＜0，
∴函数y＝﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x＝a时，y＝﹣a+1＝2，
解得：a＝﹣1；
当x＝b时，y＝﹣b+1，
∴，
∴﹣1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，函数值小于﹣1，
此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．
当x＝﹣1时，y＝1，函数y＝x2过点（﹣1，1）；
当x＝0时，y最小＝0，函数y＝x2过点（0，0）．
都向下平移m个单位，则函数y＝x2﹣m过点（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m），
∵≤t≤1，
∴或，
解得：0≤m≤ 或 ≤m≤1．
故当0≤m≤ 或 ≤m≤1时，满足≤t≤1．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据有界函数的定义判断一个函数是否为有界函数；（2）找出关于b的一元一次不等式组；（3）找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据有界函数的定义结合边界值找出不等式组是关键．
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