北京市宣武外国语实验学校2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份北京市宣武外国语实验学校2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共23页。

2、试卷分为三个大题，共6页，请考生在答题卡上作答．
3、请考生在左侧认真填写自己的个人信息．
一、选择题（每题2分，共20分）
1．如图是第七届世界军人运动会的吉祥物“兵兵”，将图中的“兵兵”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列各数中的无理数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．实数和数轴上的点是一一对应的
6．如图，下列四个条件中能判定的有（ ）
①；②；③；④
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为（ ）
A．北偏东B．北偏西C．北偏东D．北偏西
9．在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．②③
10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个．
A．①②③B．②③C．②③④D．①②③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．的相反数是 ．
12．比较大小：3 （填＜，＞或＝）．
13．在平面直角坐标系中，点P（－3，4）到x轴的距离为 ．
14．如图，直线、、相交于点，若，，则 ．
15．已知是二元一次方程的一个解，那么a的值为 ．
16．若点在y轴上，则 ．
17．已知，则 ．
18．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则 ．
19．已知线段AB=3，AB∥y轴，若点A的坐标为（-1，2），则点B的坐标为 .
20．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：
①＝2.62；
②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间；
③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21；
④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．
所有合理推断的序号是 ．
三、解答题（第21题8分，第22题6分，第23题8分，第24题4分，第25-28题每小题6分，第29-30题每题5分，共60分）
21．计算：
(1)
(2)
22．求下列各式中x的值：
(1)
(2)
23．解下列方程组：
(1)
(2)
24．已知，如图，点P在射线上．
(1)过点P作射线的垂线l；
(2)过点P作射线的垂线段，比较与的大小： （填“”“”或“”）；理由： ．
25．已知：如图，点D是上任意一点，，交的延长线于点E，，垂足为点F，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴ ，
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；
(2)连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
①画出线段AD，点D的坐标为______；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．
27．如图，已知，平分，，，求证：．
28．列方程（组）解决问题
每年的4月23日是世界读书日．某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜5个，B种书柜2个，共需资金1900元；若购买A种书柜2个，B种书柜5个，共需资金1600元．
(1)A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？
(2)若该校准备用1900元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金1900元须全部用完），请列出所有可能的购买方案．
29．已知，如图，射线分别与直线，相交于E，F两点，的平分线与直线相交于点M，射线交于点N，，．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)在射线上取点G，线段上取点H，使得，依题意补全图形并求的度数（用含的式子表示）．
30．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为．例如，点与的“直角距离”．
(1)已知点．
①点与点的“直角距离” ；
②若点与整点的“直角距离”，则的值为 ；
(2)小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和．

①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到， 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站的坐标为 ．
参考答案与解析
1．C
【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
【解答】解：将图中的“兵兵”通过平移可得到图为：
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平移的性质，平移变换不改变图形的形状大小．
2．D
【分析】根据各象限内的点的坐标符号规律即可得．
【解答】解：因为点的横坐标为，纵坐标为，
所以点所在的象限是第四象限，
故选：D．
【点拨】本题考查了点所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标符号规律是解题关键．
3．A
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、是无限不循环小数，故该选项符合题意；
B、是整数，故该选项不符合题意；
C、是有限小数，故该选项不符合题意；
D、是分数，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【解答】解：∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°．
故答案为B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了判断命题真假，熟记相关结论即可.
【解答】解：对顶角相等，故A为真命题，不符合题意；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B为真命题，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故C为假命题，符合题意；
实数和数轴上的点是一一对应的，故D为真命题，不符合题意；
故选：C
6．A
【分析】运用平行线的判定定理逐项分析即可解答．
【解答】解：①是被直线所截的内错角，故可说明，即①满足题意；
②是被直线所截的内错角，故可说明，即②不满足题意；
③是被直线所截的同位角，故可说明，即③不满足题意；
④是被直线所截的同旁内角，故可说明，即①满足题意
．
故选A．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理以及三线八角是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据题意可得2＜N＜3，即＜N＜，在选项中选出符合条件的即可．
【解答】解：∵N在2和3之间，
∴2＜N＜3，
∴＜N＜，
∵，，，
∴排除A，B，D选项，
∵，
故选：C．
【点拨】本题主要考查无理数的估算，在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
8．C
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
∵AP∥BC，
∴∠2=∠DAB=40°．
∴∠3=60°-40°=20°，
此时的航行方向为北偏东20°，
故选：C．
【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
9．C
【分析】先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【解答】把代入①得，等式左边不等于右边，不成立；
把代入②得，等式左边等于右边，成立；
把代入③得，等式左边不等于右边，不成立；
把代入④得，等式左边等于右边，成立；
∴只能由②和④组合
故选C
【点拨】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了坐标与图形，①根据、双扭线围成的面积即可判断；②由图即可判断；③两点与原点距离最大，即可判断；④设的高为，可得即可判断；
【解答】解：如图所示：
，
由对称性可知：双扭线围成的面积，故①错误；
由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确；
由图可知：两点与原点距离最大，为3，故③正确；
设的高为，
∵
∴
由图可知：点均满足题意，故④正确；
故选：C
11．
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数．
【解答】解：的相反数是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
12．＜
【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案．
【解答】∵32＝9，9＜10，
∴3＜，
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
13．4
【解答】点P（－3，4）到x轴的距离为|4|＝4．
14．30
【分析】本题考查的是角的和差倍分关系，对顶角的性质，先求解，再利用对顶角的性质可得答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：
15．4
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：将代入方程，得：a＋2＝6，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点拨】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．8
【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征．解题的关键在于理解轴上点坐标的形式．在轴上点的坐标，横坐标为；在轴上点的坐标，纵坐标为．在轴上点的坐标，横坐标为，可知，进而得到的值．
【解答】解：∵在轴上
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出，，代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，平行线的性质，根据、即可求解．
【解答】解：如图所示：
由题意得：
∵
∴
故答案为：
19．(-1，5)，(-1，-1)
【解答】试题解析：∵AB∥x轴,点A坐标为(−1,2)，
∴A，B的纵坐标相等为2，
设点B的横坐标为x，则有AB=|x+1|=3，
解得：x=−4或2，
∴点B的坐标为(−4,2)或(2,2).
故本题答案为：(−4,2)或(2,2).
20．①③④
【分析】估计无理数的大小即可逐个排除．
【解答】解：．
．
，故①正确．
当时．
．
．
整数有：708，709，710，711，712共5个．故②错误．
设小于26的两个正数分别是，，则．
．故③正确．
．
正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查平方根与平方，平方差公式，通过表格数据对平方根进行估计是求解本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式计算，绝对值化简，立方根计算等．
（1）先化简算术平方根，再运算加减，即可作答；
（2）先化简算术平方根、立方根、绝对值，再运算加法，即可作答．．
【解答】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键；
（1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴ ；
（2）解：∵，
∴，
∴ ，
∴；
23．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法与加减消元法解方程组是解本题的关键；
（1）把①代入②先消去，求解，再进一步解方程组即可；
（2）利用加减消元法先消去，求解，再进一步求解即可．
【解答】（1）解：
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
∴此方程组的解为
（2）解：
①×2，得， ③
①+③，得，，
解得， ，
把代入②，得，，
∴此方程组的解为；
24．(1)见解析
(2)见解析，，垂线段最短
【分析】本题考查了垂线的基本作图，垂线段最短．
（1）按照要求作出垂线即可；
（2）按照要求作出垂线即可，根据垂线段最短比较即可解答．
【解答】（1）如图，直线即为所求作．
（2）如图，线段即为所求作．
根据垂线段最短．可得：．
25．90；垂直的定义；90；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．
【解答】证明：∵，
∴（垂直的定义），
∵，
∴，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
26．(1)见解析
(2)①D（2，5）②14
【分析】
（1）根据A，B，C 坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）①利用平移的性质解决问题即可．
②利用分割法求四边形的面积即可．
【解答】（1）解：如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）解：①如图，线段AD即为所求．D（2，5）．
②S四边形ACBD＝4×7﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×4＝14．
【点拨】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，则，进而证明，再由，即可证明．
【解答】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
28．(1)A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元
(2)方案一：购买A种规格书柜1个，B种规格书柜8个；方案二：购买A种规格书柜3个，B种规格书柜5个；方案三：购买A种规格书柜5个，B种规格书柜2个
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设A种规格书柜的单价是元，B种规格书柜的单价是元，再根据购买A种书柜5个，B种书柜2个，共需资金1900元；若购买A种书柜2个，B种书柜5个，共需资金1600元，建立方程组求解即可；
（2）设购买A种规格书柜m个，B种规格书柜n个．利用该校准备用1900元购买两种书柜，建立二元一次方程，再利用方程的整数解可得答案．
【解答】（1）解：设A种规格书柜的单价是元，B种规格书柜的单价是元

解得
答：A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元．
（2）解：设购买A种规格书柜m个，B种规格书柜n个．
则 ．
∵m，n为正整数，
∴此方程的解为， ，
答：方案一：购买A种规格书柜1个，B种规格书柜8个；
方案二：购买A种规格书柜3个，B种规格书柜5个；
方案三：购买A种规格书柜5个，B种规格书柜2个．
29．(1)，见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键；
（1）先证明，结合，可得，从而可得答案；
（2）根据题意先补全图形，证明，可得，可得，再进一步可得答案．
【解答】（1）解：；
理由：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）补图如图所示．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
30．(1)①6；②2或
(2)①，10；②
【分析】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
（1）①根据直角距离的定义直接解答即可；
②根据直角距离的定义直接解答即可；
（2）①先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，确定点的个数；
②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为12，再求出消防站点的坐标即可．
【解答】（1）解：①∵，，
直角距离；
②根据题意可得，即，
或，
解得：或；
故答案为：①6；②2或；
（2）解：①，，
直角距离，
点到，两个点的“直角距离”之和最小值为8，
点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，
或，
点的坐标可以是；
满足条件的消防站点的位置如图所示，且点的位置共有8个；

故答案为；；
②如图，
，，，
则在最左的点为，在最右的点为，则
则在最上的点为，在最下的点为，则，
满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，
消防站的坐标为，
故答案为：．
x
26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
26.7
26.8
26.9
27
x2
676
681.21
686.44
691.69
696.96
702.25
707.56
712.89
718.24
723.61
729