2021-2022学年北京市西城区北师大实验华夏女子中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城区北师大实验华夏女子中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
3．（2分）抛物线y＝﹣﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（，﹣3）B．（，﹣3）C．（，3）D．（，3）
4．（2分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x+2）2+1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
6．（2分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
8．（2分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共8小题．每题2分，共16分）．
9．（2分）一元二次方程x2＝2x的根是 ．
10．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y＝ ．
11．（2分）点P（2m+n，2）与点Q（1，n﹣m）关于原点对称，则m＝ ，n＝ ．
12．（2分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
13．（2分）已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，BO，∠AOB＝120°，则∠ACB＝ ．
14．（2分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是 ．
15．（2分）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
16．（2分）我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点．
（1）如图，直线上的格点坐标为 ；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是 ．
三、解答题（本题共48分，第17、18题，每小题8分，第19题，每小题8分，第20-25题，每小题8分）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
18．（4分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2021的值．
19．（6分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
20．（5分）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）将y＝﹣x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当﹣2≤x≤1时，利用图象直接写出y的取值范围．
22．（5分）已知：射线AB．
求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．
作法：如图，
①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；
③连接AD，CD．
则△ACD即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC＝ °．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝． （填推理的依据）
∴∠DAC＝30°．
△ACD即为所求的三角形．
23．（5分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直径．
24．（5分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣+3x+1的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
四、解答题（本大题共3小题．第26题6分，第27、28两个题每题7分）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．
①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；
②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）按要求作出图形，∠BAE ∠CAD；
（2）若α＝90°，用等式表示线段DC，DB，DE大小关系，并证明；
（3）若α＝120°，AB＝，M为BC的中点，求ME的最小值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段A'A长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 ；
（2）若点A，B都在直线上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（﹣4，﹣2），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2021-2022学年北京市西城区北师大实验华夏女子中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题．每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上．
1．（2分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，即可判断答案．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2次．
3．（2分）抛物线y＝﹣﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（，﹣3）B．（，﹣3）C．（，3）D．（，3）
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），顶点为（h，k）即可解决问题．
【解答】解：由抛物线y＝﹣﹣3可知顶点为（﹣，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
4．（2分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（ ）
A．MB．PC．QD．R
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x+2）2+1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得对应点的坐标为（2，﹣1），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝﹣3（x﹣2）2﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（2分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+3，如图，
∴对称轴是直线x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．
8．（2分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二、填空题（本大题共8小题．每题2分，共16分）．
9．（2分）一元二次方程x2＝2x的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y＝ x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．
故答案为：x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
11．（2分）点P（2m+n，2）与点Q（1，n﹣m）关于原点对称，则m＝ ，n＝ ﹣ ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标，纵坐标都互为相反数求出m、n的值即可．
【解答】解：∵P（2m+n，2）与点Q（1，n﹣m）关于原点对称，
∴，
∴解得：．
故答案为：，﹣．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，是基础题，求出m、n的值是解题的关键．
12．（2分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据抛物线的对称轴为x＝﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y＝﹣x2+bx+c的完整图象．
13．（2分）已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，BO，∠AOB＝120°，则∠ACB＝ 60°或120° ．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：当C1在上时，
∵∠AC1B＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AC1B＝60°，
当C2在上时，
∵A，C1，B，C2都在⊙O上，
∴∠AC2B＝180°﹣∠AC1B＝120°，
故答案为：60°或120°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是 ．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，
∴，
解得：k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
15．（2分）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 10或70 cm．
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下 水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．（2分）我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点．
（1）如图，直线上的格点坐标为 （0，2） ；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则c的取值范围是 ﹣≤c≤﹣1． ．
【分析】（1）直接根据格点的概念解答即可；
（2）分两种情况画出图象，然后根据图象可得答案．
【解答】解：（1）∵横、纵坐标都为整数的点称为格点．
由图可知，当x＝0时，y＝2，
∴直线上的格点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）；
（2）若抛物线与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，
∴由图象可知临界值的两种情况为：
∴当x＝0时，y＜﹣1，即c＜﹣1，
∵当x＝﹣1时，
∴y＝×（﹣1）2+c＝﹣1，
∴+c＝﹣1，
∴c＝﹣，
∴c的取值范围是：﹣≤c≤﹣1．
故答案为：﹣≤c≤﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练运用二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共48分，第17、18题，每小题8分，第19题，每小题8分，第20-25题，每小题8分）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2﹣3x＝1；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5）．
【分析】（1）移项，求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
（2）先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝1，
x2﹣3x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，
x＝，
x1＝，x2＝；
（2）4（x﹣5）2＝（x﹣5）（x+5），
4（x﹣5）2﹣（x﹣5）（x+5）＝0，
（x﹣5）（4x﹣20﹣x﹣5）＝0，
（x﹣5）（3x﹣25）＝0，
x﹣5＝0，3x﹣25＝0，
x1＝5，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
18．（4分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2021的值．
【分析】将m代入原方程即可求m2+m的值，然后整体代入即可．
【解答】解：根据题意，得m2+m﹣1＝0，
则m2+m＝1，
即m（m+1）＝1，
则m3+2m2+2021
＝m（m2+m+m）+2021
＝m（m+1）+2021
＝1+2021
＝2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．（6分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；
（2）根据轴对称的性质即可作出图形；
（3）根据旋转的性质即可求出图形．
【解答】解：（1）如图所示，
△DCE为所求，
（2）如图所示，
△ACD为所求
（3）如图所示
△ECD为所求．
【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型．
20．（5分）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1＝，x2＝﹣1，然后利用整除性即可得到m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）
＝（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝，x2＝﹣1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m＝1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）将y＝﹣x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当﹣2≤x≤1时，利用图象直接写出y的取值范围．
【分析】（1）由完全平方公式化为顶点式；
（2）由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；
（3）结合函数图象求出y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；
（2）由y＝﹣（x+1）2+4得顶点坐标为（﹣1，4），开口向下，
当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3或1时，y＝0，
作出函数图象如图所示，
（3）由图象可知，当x＝﹣1时，y最大值＝4；当x＝1时，y最小值＝0，
∴当﹣2≤x≤1时，y的取值范围为0≤y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．
22．（5分）已知：射线AB．
求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．
作法：如图，
①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；
③连接AD，CD．
则△ACD即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC＝ 90 °．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝． （一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半） （填推理的依据）
∴∠DAC＝30°．
△ACD即为所求的三角形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接OD，证明△ODC是等边三角形可得结论．
【解答】解：（1）补全的图形如图所示：
（2）连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝∠DOC（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∴∠DAC＝30°．
△ACD即为所求的三角形．
故答案为：90，（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（5分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余
∴∠BCD＝∠BAC．（3分）
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD．（5分）
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝×24＝12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122（8分）
解得R＝13，∴2R＝2×13＝26cm．
答：⊙O的直径为26cm．（10分）
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
24．（5分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣+3x+1的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【分析】（1）将二次函数化简为y＝﹣（x﹣）2+，即可解出y最大的值．
（2）当x＝4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数y＝﹣x2+3x+1化成y＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，y有最大值，y最大值＝，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
（2）能成功表演．理由是：
当x＝4时，y＝﹣×42+3×4+1＝3.4．
即点B（4，3.4）在抛物线y＝﹣x2+3x+1上，
因此，能表演成功．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB＝OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题．第26题6分，第27、28两个题每题7分）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．
①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；
②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣（a+1）x，求出解析式，再利用对称轴公式计算即可；
（2）当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，说明M（x1，y1）与N（x2，y2）对称，根据对称轴公式计算a即可；
（3）利用二次函数的性质，即可求得．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（2，0），
∴0＝4a﹣2（a+1），
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x，
对称轴x＝﹣＝﹣＝1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1．
（2）①∵x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，
二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴，
∴．
②由题意可知，对于任意的x≥﹣2，y随x的增大而减小，从而：，
解得：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）按要求作出图形，∠BAE ＝ ∠CAD；
（2）若α＝90°，用等式表示线段DC，DB，DE大小关系，并证明；
（3）若α＝120°，AB＝，M为BC的中点，求ME的最小值．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAC，即可得出∠BAE＝∠CAD；
（2）利用SAS证明△AEB≌△ADC，得∠EBA＝∠C＝45°，EB＝DC，则∠EBC＝90°，利用勾股定理即可解决问题；
（3）利用SAS证明△AEB≌△ADC，得∠EBA＝∠C＝30°，则∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°，可知点E在射线BE上运动，根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，∵将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
故答案为：＝；
（2）DC2+DB2＝DE2，理由如下：
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵DA＝EA，CA＝BA，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠EBA＝∠C＝45°，EB＝DC，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∴EB2+DB2＝DE2，
∴DC2+DB2＝DE2；
（3）∵∠CAB＝∠DAE＝120°，，
∴∠BAE＝∠CAD，BC＝6，
∵DA＝EA，CA＝BA，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠EBA＝∠C＝30°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°，
∴点E在射线BE上运动，
∵M为BC中点，BM＝3，
作MH⊥BE于H，
∴，
即当ME⊥BE时，ME最小为．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的相似，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEB≅△ADC是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段A'A长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 （﹣5，0）或（7，0） ；
（2）若点A，B都在直线上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（﹣4，﹣2），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）①求出点M的坐标，即可得出结论．
②因为线段AB到⊙O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解决问题．
（2）如图1中，设直线交x轴于C，交y轴于D，则点C（4，0），D（0，3），过点O作ON⊥直线CD于点N，交⊙O于点N'．利用面积法求出ON的长，可得结论．
（3）求出d2的最大值与最小值，可得结论．
【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，
故答案为：．
②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如图1，取AB的中点M，连接OM交⊙O于点M'，以M'为中点作线段A'B'，使得A'B'∥AB且A'B'＝AB＝2，则四边形AA'BB'为平行四边形．
∴M'M＝AA'，
由题意可知，AA'＝d1，
设直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点C（4，0），D（0，3），
∴CD＝5，
过点O作ON⊥直线CD于点N，交⊙O于点N'．
在Rt△COD中，可得ON＝．
∴NN'＝ON﹣ON'＝﹣1＝，
∵MM'≥NN'，
∴MM'≥．
∴AA'≥．
∴d1的最小值是（当点M与点N重合时取得）；
（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，
d2的最小值＝PQ＝2﹣2，d2的最大值＝PR＝2，
∴2﹣2≤d2≤2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了线段AB到⊙O的“平移距离”的定义，一次函数的性质，三角形的面积，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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